Générer toutes les fonctions élémentaires à partir d’un unique opérateur binaire

(arxiv.org)

7 points par GN⁺ 17 일 전 | Aucun commentaire pour le moment. | Partager sur WhatsApp

Il est avancé qu’un unique opérateur binaire EML de la forme exp(x) − ln(y) peut générer toutes les fonctions élémentaires et constantes
Avec cet opérateur et la seule constante 1, il est possible d’exprimer les opérations arithmétiques, les fonctions transcendantes (sin, cos, log, √, etc.) et les constantes complexes (e, π, i)
Toutes les expressions EML sont constituées d’arbres binaires de même structure de nœuds, ce qui permet leur utilisation en régression symbolique et apprentissage fondé sur le gradient
EML joue le rôle d’un équivalent mathématique de la porte NAND, en tant qu’opérateur universel unique pour les mathématiques continues
Cette découverte montre que toutes les fonctions élémentaires peuvent être réduites à une seule règle générative, ouvrant de nouvelles possibilités pour la recherche d’expressions et l’IA symbolique

Définition de l’unique opérateur binaire EML

Il est proposé qu’un unique opérateur binaire de la forme eml(x, y) = exp(x) − ln(y) puisse générer toutes les fonctions élémentaires
- Avec cet opérateur et la seule constante 1, on peut exprimer les opérations arithmétiques (+, −, ×, /, puissances), les fonctions transcendantes (sin, cos, log, √, etc.) ainsi que les constantes (e, π, i)
- Par exemple, e^x = eml(x, 1), et ln x = eml(1, eml(eml(1, x), 1))
L’opérateur EML (Exp–Minus–Log) effectue ses calculs sur le domaine des nombres complexes (C)
- La constante 1 sert à neutraliser le terme logarithmique via ln(1)=0
- Le calcul de ln(−1) permet de générer des constantes complexes comme i et π
Cet opérateur est présenté comme l’opération de base unique des mathématiques continues, en correspondance avec la porte NAND de la logique numérique
- De la même façon que NAND permet de construire toute la logique booléenne, EML permet de construire toutes les fonctions élémentaires

Présentation du concept de « calculatrice à deux boutons »
- Avec un seul opérateur binaire (EML) et une seule constante (1), il devient possible de réaliser toutes les fonctions d’une calculatrice scientifique
- Même sans opérateur supplémentaire, on peut calculer toutes les fonctions élémentaires réelles et complexes
Il est impossible de réduire davantage le nombre d’opérateurs
- Au minimum, il faut un opérateur binaire et un symbole terminal (une constante)

Toutes les expressions EML prennent la forme d’une structure d’arbre binaire composée de nœuds identiques
- Forme grammaticale : S → 1 | eml(S, S)
- Cela peut s’interpréter comme un langage hors contexte isomorphe aux structures de Catalan et aux arbres binaires complets
Cette structure uniforme permet l’application de l’optimisation fondée sur le gradient (Adam, etc.) en régression symbolique
- En utilisant les arbres EML comme circuits entraînables, il est possible de reconstruire avec précision des fonctions élémentaires en forme fermée avec des profondeurs d’arbre faibles (jusqu’à 4)
- Lorsque la loi génératrice est une fonction élémentaire, les poids appris peuvent converger vers la forme exacte de la formule

L’opérateur EML a été découvert par une recherche exhaustive systématique
- Les résultats ont confirmé qu’EML constitue une base opératoire complète pour une calculatrice scientifique
Les auteurs ont utilisé une approche de « calculatrice cassée », consistant à réduire progressivement le nombre d’opérateurs
- En passant de 4 → 3 → 2 → 1 opérateur, tout en conservant la complétude fonctionnelle
EML présente une simplicité inattendue et se définit comme un opérateur binaire lui-même construit à partir de fonctions élémentaires
L’existence d’EML montre que les fonctions élémentaires appartiennent à une hiérarchie générative bien plus simple qu’attendu
- Cela étend l’idée selon laquelle diverses fonctions peuvent être réduites à des combinaisons de exp et ln
Comme il devient possible d’exprimer toutes les formules mathématiques à partir d’un unique composant itérable, on peut envisager
- une représentation circuitaire des expressions mathématiques, analogue à la construction des circuits électroniques à partir de transistors
Cette représentation uniforme sous forme de circuit ouvre de nouvelles possibilités pour la recherche, l’évaluation et l’apprentissage de formules

La universalité d’un élément de base unique est une notion importante en mathématiques, en ingénierie et en biologie
- Exemples : portes NAND/NOR, fonction d’activation ReLU, combinateurs K,S, OISC(SUBLEQ), automate cellulaire Rule 110, etc.
Les éléments de type Sheffer sont rares, et leur découverte demande du temps, du calcul et de la chance
- EML est présenté comme un exemple de ce type d’opérateur continu de Sheffer
Le travail s’appuie sur des relations de réduction déjà connues, comme l’expressivité réciproque des logarithmes et des exponentielles (x×y = e^{ln x + ln y}, x+y = ln(e^x × e^y)) ainsi que la formule d’Euler (e^{iφ} = cos φ + i sin φ)

L’étude prend comme point de départ un ensemble de fonctions élémentaires au niveau d’une calculatrice scientifique
- Constantes : π, e, i, −1, 1, 2, x, y
- Fonctions unaires : exp, ln, inv(1/x), minus(−x), √, sqr(x²), σ(1/(1+e^−x)), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh, etc.
- Opérations binaires : +, −, ×, /, log, pow(x^y), avg((x+y)/2), hypot(√(x²+y²))
Il est démontré que cet ensemble complet peut être entièrement remplacé par l’unique opérateur EML et la constante 1
Lors de l’exploration initiale, des opérateurs similaires dotés de propriétés encore plus fortes ont aussi été trouvés
- Par exemple : une variante ternaire ne nécessitant aucune constante
EML est présenté comme un point de départ montrant qu’il peut exister un opérateur générateur unique pour les mathématiques continues
- Avec, à l’avenir, des applications possibles dans la découverte automatique de formules, l’IA symbolique et l’optimisation des représentations mathématiques