- Tom Leinster a rendu publics via arXiv et son site web des supports de théorie de Galois utilisés dans son cours de licence à Édimbourg entre 2021 et 2023
- Ces supports comprennent des notes de cours, une quarantaine de courtes vidéos explicatives, des exercices et près de 500 questions à choix multiples, ce qui les rend également utilisables en autodidacte
- Ces notes semblent avoir suscité plus d’intérêt que ses précédents supports sur l’analyse de Fourier, la topologie générale, l’algèbre linéaire et la théorie des catégories ; les notes de théorie des catégories constituent un cas à part puisqu’elles ont aussi été publiées en livre
- Le premier cours a eu lieu pendant le confinement total lié au Covid, ce qui rendait les interactions en présentiel difficiles et a nécessité une structure et des indications plus soignées que d’habitude
- Au-delà de la richesse du contenu, la présentation visuelle — couleurs, petites icônes, etc. — semble aussi avoir contribué à l’accessibilité, et les notes, vidéos et problèmes restent des ressources publiques utiles pour les apprenants
Publication des supports du cours de théorie de Galois d’Édimbourg
- Tom Leinster a mis sur arXiv les notes de son cours de théorie de Galois en licence à Édimbourg
- Le cours a été donné de 2021 à 2023
- Les notes étaient déjà partagées sur son site web, mais leur dépôt sur arXiv a été retardé afin de pouvoir publier en même temps la plupart des autres supports du cours
- Les ressources publiées sont disponibles sur Galois theory course materials
- Des notes de cours complètes et autonomes
- Environ 40 courtes vidéos explicatives
- De nombreux exercices
- Près de 500 questions à choix multiples
Différences avec ses précédentes ressources publiées
- Leinster avait déjà publié plusieurs notes de cours par le passé
- Les notes de théorie de Galois semblent avoir attiré davantage d’attention que celles-ci
- À titre exceptionnel, les notes de theory des catégories ont aussi été transformées en livre
Une structure soignée née du contexte de confinement
- Le premier cours a eu lieu pendant le confinement total lié au Covid
- Les étudiants étaient privés d’occasions d’interaction en présentiel
- Leinster a estimé qu’ils avaient besoin de davantage d’indications que d’ordinaire
- Si les notes ont retenu l’attention, ce n’est peut-être pas seulement pour le soin apporté au contenu, mais aussi pour leur présentation agréable
- Les couleurs
- De petites icônes
- Une mise en page visuelle globalement plus facile à lire
Objectif de ces ressources publiques
- Leinster espère que les notes, vidéos et problèmes rendus publics procureront du plaisir à leurs lecteurs
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Avis sur Hacker News
J’ai fait des études d’électrotechnique, mais j’ai appris la théorie de Galois à l’université, un peu par hasard, à Édimbourg. En quatrième année, j’avais choisi Advanced Mathematics comme une sorte d’épreuve ascétique ; il y avait très peu d’étudiants, et le cours était assuré par un « vrai mathématicien » qui venait tous les jours du département de maths.
J’avais reçu pas mal de formation en maths, mais je crois que c’est la seule fois où quelqu’un qui créait de nouvelles mathématiques et publiait des articles m’a directement enseigné. Il enseignait la théorie de Galois en prenant comme exemples des applications à la théorie des codes, et franchement, je considère que ça a été un tournant dans ma vie.
Je n’ai plus jamais repensé à la construction de l’heptagone régulier, et j’ai aussi soigneusement évité les duels et Montparnasse. Blague à part, j’ai vraiment eu l’impression qu’une ampoule s’allumait dans ma tête, et plus tard, quand j’ai rencontré des gens qui essayaient de paraître intelligents en disant connaître ECC ou les ZKP, ça m’a beaucoup aidé dans ma carrière. C’était tout l’inverse des gens qui disent : « Je n’ai jamais rien utilisé de ce que j’ai appris à l’université. »
Les livres de Ian Stewart sont excellents pour l’autoapprentissage, et ils contiennent aussi un contexte historique intéressant.
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
Plus tard cette année, probablement vers l’hiver, si ma progression est bonne, je prévois d’organiser une réunion de club de lecture autour de ce livre. Si certains veulent lire ce genre d’ouvrage ensemble et partager leur avancée, je les invite à rejoindre le canal #bitwise sur IRC et Matrix. Les deux canaux sont bridgés, donc on peut entrer par l’un ou l’autre.
Le canal rassemble des utilisateurs de HN ainsi que des utilisateurs d’autres canaux comme ##math, ##physics et #cs ; c’est un espace en ligne où l’on partage sa progression et le contenu des livres de maths et d’informatique que l’on est en train de lire.
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
La manière dont on enseigne aujourd’hui la théorie est souvent reconstruite à travers les progrès de la pensée mathématique et de la notation, mais lire les articles originaux d’avant cette reconstruction était aussi extrêmement intéressant. Pour cet usage, je recommande vivement The mathematical writings of Evariste Galois de Peter Neumann (https://ems.press/books/hem/102). Le texte original en français et une traduction anglaise littérale y sont présentés côte à côte, avec des notes qui expliquent le contexte et les raisonnements possibles. Comme j’étais en train d’apprendre le français, c’était aussi un plaisir d’en lire davantage en français.
Le chapitre 1 est excellent
Cela fait des années que je répète que les cours de mathématiques ont besoin de davantage de contexte. On peut démontrer X, Y, Z, et ce cours enseigne cela, mais les problèmes qui ont motivé la possibilité même de faire X, Y, Z ne sont abordés qu’en passant.
Après avoir résolu quelque chose, on peut le reformuler sous une forme plus générale, et cette reconstruction devient elle-même un objet. C’est formidable que les progrès se fassent ainsi, mais à des fins pédagogiques, les choses restent bien mieux en tête quand on enseigne le chemin, pas seulement la destination. Quand on enseigne l’analyse I, ajouter quels problèmes Newton cherchait à résoudre et pourquoi aurait pu beaucoup plus accrocher les étudiants. Cela leur donne une histoire à suivre et une raison d’apprendre.
Chapeau à l’auteur du chapitre 1. Le reste est probablement bon aussi, mais pour l’instant je n’ai eu le temps que de parcourir ce chapitre. Je pense que cela vaut non seulement pour les maths, mais pour presque toutes les matières.
Quand j’étais étudiant, je travaillais dans un centre de tutorat en mathématiques, et les cours d’analyse étaient séparés entre ceux destinés à l’ingénierie et aux sciences, et ceux destinés à la gestion et à l’économie. Si la mécanique newtonienne vous intéresse ou est liée à votre spécialité, cette approche est très bonne, mais j’ai souvent vu des étudiants en biologie ou en génie industriel être au contraire davantage mis en difficulté par les applications physiques du manuel.
Les étudiants venaient avec un seul problème : « l’analyse est difficile ». Et tout à coup, pour comprendre l’analyse, ils se retrouvaient avec deux problèmes, puisqu’il fallait aussi comprendre la physique. Certains étudiants se débrouillaient bien avec la dérivation et l’intégration elles-mêmes, mais bloquaient dès qu’un problème de physique s’y mêlait. Savoir traduire un problème réel en mathématiques est important, mais quand un domaine spécifique qui ne vous intéresse pas s’interpose, cela devient un obstacle encore plus grand.
C’était similaire pour les étudiants en gestion. La plupart des tuteurs venaient de filières d’ingénierie, et ils avaient du mal à aider les étudiants en gestion qui utilisaient des manuels remplis d’exemples exigeant des connaissances financières de base. Le fait que les quantités financières soient souvent discrètes plutôt que continues ajoutait encore à la confusion des tuteurs.
Si l’on peut trouver une application qui intéresse l’étudiant, il faut évidemment utiliser cette approche. Mais dans un manuel généraliste, le choix d’une application particulière gêne l’apprentissage de nombreux étudiants qui n’y sont pas intéressés.
Apprendre comment les mathématiques se sont développées au fil du temps et comment les gens du passé ont résolu des problèmes importants aide-t-il à résoudre d’autres problèmes aujourd’hui ? Il y a quelques années, j’ai acheté les trois volumes de Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, mais je n’ai pas eu le temps d’aller au-delà des premiers chapitres. Si vous avez des recommandations de grands ouvrages d’histoire des mathématiques de ce genre, cela m’intéresse.
Curieusement, j’ai beaucoup mieux compris après avoir lu Everything and More de David Foster Wallace. Il y expliquait les paradoxes et les impasses auxquels les mathématiciens se heurtaient avant que Cauchy et d’autres ne rendent les choses rigoureuses. Wallace était un romancier postmoderne, et je ne sais pas pourquoi il expliquait l’infini avec une telle clarté. Je n’ai pas apprécié ses autres œuvres.
Avec ma tête de programmeur, que je résolve t^3 = 2 ou t^100 + t + 1 = 7 numériquement, dans les deux cas il faut utiliser une méthode itérative comme la méthode de Newton. Dire « il y a un bouton racine n-ième » n’est pas un argument. On aurait tout aussi bien pu mettre un bouton Newton plus général.
Les deux ne me semblent pas fondamentalement différents. Pourquoi est-il important de pouvoir résoudre par radicaux ? Cela me paraît aussi arbitraire que de demander si l’on peut résoudre sans utiliser le nombre 2. Je pense que je serais plus intéressé par d’autres sens de la résolubilité, comme les méthodes itératives, la méthode de Newton ou la convergence quadratique.
J’en ai parlé avec des étudiants de quelques autres universités, et ils avaient eu des expériences similaires. À l’époque, personne n’aimait ça. Mon professeur avait consacré au moins deux séances entières à écrire uniquement de l’histoire au tableau, et nous nous étions bien ennuyés. Cela dit, nous étions des étudiants de troisième cycle en mathématiques, donc nous n’avions pas vraiment besoin de motivation.
Je considère la théorie de Galois comme une explication et un sommet des mathématiques théoriques dont on peut discuter, dans ses motivations comme dans son contenu, même à table avec des gens qui n’aiment pas les maths.
Si l’on part de la formule des racines de l’équation du second degré, presque tout le monde se souvient de quelque chose. On parle de résoudre x dans des polynômes, puis on passe à la question de savoir si l’on peut toujours résoudre x, et ce que cela signifie. Si l’on trace le graphe d’un polynôme, il croise l’axe des x, donc il a une solution ; mais cela signifie-t-il qu’on peut le résoudre par une formule en fonction des coefficients ? Cela évoque le théorème fondamental de l’algèbre, selon lequel tout polynôme de degré n possède n racines dans les complexes.
Il est vrai qu’il est difficile d’expliquer le lien entre la résolution par radicaux et le fait que cela signifie disposer d’une formule pour x en fonction des coefficients du polynôme.
La conclusion est que, pour un polynôme général de degré 5 ou plus, il n’existe pas de formule pour x exprimée à partir des coefficients et utilisant seulement les quatre opérations et l’extraction de radicaux. La théorie de Galois le démontre.
Si Galois reçoit le mérite de cela, c’est parce qu’il fallait une imagination considérable pour réfléchir à la manière de formaliser et de démontrer « il n’y a pas de formule ». Ce que signifie l’absence de formule, et comment l’établir et le prouver correctement, voilà le point central.
La théorie de Galois apporte beaucoup plus d’intuition, et permet de comprendre par exemple pourquoi certaines équations du cinquième degré sont résolubles par radicaux. Mais on ne devrait pas attribuer à Galois le mérite de la preuve de l’absence de formule pour le quintique. En tout cas, il n’a pas été le premier.
Dans les cours d’algèbre abstraite à l’université, la théorie de Galois m’est toujours restée comme une sorte de dénouement final. Galois était un esprit mathématique exceptionnel, et je me demande ce qu’il aurait encore apporté s’il n’était pas mort en duel à 20 ans.
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
Il y a quelques années, j’ai animé un groupe d’étude avec A Book of Abstract Algebra de Charles C. Pinter. La fin menait à la théorie de Galois, et c’était l’un des meilleurs livres que j’aie utilisés dans un groupe d’étude de maths.
Je me souviens aussi de la partie sur Galois vers la fin du livre. Il y avait aussi un passage intéressant sur l’histoire de la résolution des équations polynomiales, en particulier celle des équations de degré arbitraire.
En tant que non-spécialiste des mathématiques, je me demande si cet article de Simple Wikipedia est à peu près correct. Comme humble ingénieur, j’ai toujours vu la théorie de Galois dans les listes de cours de maths et je me demandais ce que c’était.
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
L’intuition brillante découverte par Galois est le lien fondamental entre les corps et les groupes, mais cela relève plutôt d’une « technique » pour résoudre le problème. Le « pourquoi faire cela » est un peu plus complexe, mais en bref, Galois voulait établir un critère pour déterminer quels polynômes sont résolubles ou non dans quels corps.
Par exemple, on sait que x^2 = -1 se résout dans les nombres complexes C avec x = i, mais pas dans les réels. La question est de savoir si l’on peut généraliser ce type de preuve au point de pouvoir l’exécuter mécaniquement pour un corps arbitraire et un polynôme arbitraire.
J’ai essayé de motiver, pour des programmeurs et ingénieurs plus pragmatiques, les questions qui mènent à la théorie de Galois ici : https://news.ycombinator.com/item?id=41258726
Au deuxième semestre d’algèbre, il y avait un chapitre sur la théorie de Galois ; à l’époque, cela me paraissait être du baratin abstrait, et je n’avais pas compris. J’aimerais suivre cette ressource pour voir si mon point de vue a changé.
La motivation principale de la théorie de Galois était de prouver l’impossibilité d’une solution générale des équations du cinquième degré. La formule générale pour résoudre l’équation quadratique ax^2 + bx + c = 0 était connue depuis des millénaires, et les mathématiciens ont fini, à force d’efforts, par trouver aussi des formules pour les polynômes de degré 3 et 4. Mais personne n’arrivait à trouver une solution fermée pour le degré 5.
Galois et Abel ont finalement prouvé qu’il n’existe pas de formule générale pour le degré 5. Du moins, pas exprimable avec l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, les puissances et les radicaux. On peut même identifier des équations concrètes, comme x^5 - x + 1, dont les racines ne peuvent pas être exprimées sous cette forme.
J’ai suivi un cours entier consacré à cette preuve, et c’était en réalité très intéressant. On établit une correspondance profonde entre les groupes et les corps, au point de pouvoir transporter des théories sur les groupes vers des théories sur les corps, et inversement. Cela fournit aussi un outil très puissant pour analyser les symétries.
La preuve proprement dite est presque décevante par sa brièveté. Après avoir empilé quantité de preuves profondes sur la structure des racines des équations polynomiales, on voit finalement que la structure de symétrie d’un polynôme particulier du cinquième degré, comme x^5 - x + 1, ne correspond pas à celle des opérations mathématiques élémentaires. Littéralement, le corps des solutions de ce polynôme ne correspond pas à un groupe résoluble : https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
Dans un déroulé presque identique, on prouve aussi qu’il est impossible de trisecter un angle avec seulement une règle et un compas. C’est un problème qui a tourmenté les mathématiciens pendant des millénaires. De façon presque un peu décevante, après avoir passé tout un semestre à définir ce « baratin abstrait » que sont les groupes, les corps et les extensions de corps, la preuve de l’impossibilité d’une solution générale du degré 5 prend 10 minutes, et celle de l’impossibilité de la trisection de l’angle aussi.
Il existe quelques points de contact intéressants entre la théorie de Galois et les compilateurs et la programmation.
L’interprétation abstraite projette un ensemble potentiellement infini de comportements de programme vers un modèle plus simple, souvent fini, approximé de façon sûre et plus facile à raisonner. Elle utilise ici des connexions de Galois, par analogie avec la théorie de Galois qui relie des corps infinis et des groupes finis. Je pense souvent à cela quand je travaille sur la numérotation de valeurs.
Autre analogie peut-être un peu forcée, mais il est intéressant de voir l’ajout de valeurs supplémentaires, comme des valeurs d’erreur, à un domaine de calcul tel que les entiers comme une sorte d’extension de corps. Comme dans les extensions de corps, une complexité inattendue apparaît parfois : par exemple la perte de l’unicité de la factorisation,
poisonetundefdans LLVM, ou encore NaN.Fondamentalement, elle permet d’approximer de façon sûre l’ensemble des états atteignables dans un programme, ce qui permet de vérifier que de mauvais états ne peuvent pas être atteints, ou de déterminer que certains contrôles sont inutiles et peuvent être supprimés. Parmi les autres applications, on trouve le nouveau vérificateur d’emprunts de Rust, qui repose sur plusieurs passes de flux de données déterminant, à chaque point du programme, quelles variables sont vivantes et empruntées.
À propos de l’idée selon laquelle « il n’y a aucun moyen de distinguer i de -i », je ne sais toujours pas comment distinguer, de façon purement algébrique, un repère lévogyre d’un repère dextrogyre
La base [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] est-elle lévogyre ou dextrogyre ? Sans dessin, je ne vois pas. Je me demande si quelqu’un le sait
« Gauche » et « droite » forment une paire opposée. L’un n’existe pas sans l’autre, et ils sont symétriques. C’est le même problème que celui des conjugués dont parle la théorie de Galois
En fait, d’un point de vue algébrique, c’est-à-dire ni ordinal, ni arithmétique, ni analytique, noter avec + et - les conjugués d’une extension de corps comme sqrt2 ou i peut être trompeur. Pour ce genre de paires conjuguées, Left et Right sont de meilleurs noms que + et -. Ce n’est que lorsqu’on introduit un ordre arithmétique qu’il devient pertinent d’utiliser + et -. Par exemple, si x est un réel positif, on peut dire que -sqrt(x) < 0 < +sqrt(x)
Si x est un réel négatif, le problème avec - apparaît immédiatement. -i et i ne peuvent pas être séparés par un ordre autour de 0
Les nombres complexes sont essentiellement une théorie de l’espace à deux dimensions. La question porte sur l’espace à trois dimensions. La phrase citée nous dit qu’en théorie, on ne peut pas distinguer le haut du bas
Tout espace à trois dimensions contient un espace à deux dimensions. Il y a plusieurs façons de le voir, mais la plus simple consiste à ignorer la coordonnée z
Si l’on supposait pouvoir distinguer, dans l’espace à trois dimensions, un repère lévogyre d’un repère dextrogyre, on obtiendrait une façon de distinguer le haut du bas dans l’espace à deux dimensions qu’il contient. Mais comme cette distinction est impossible en deux dimensions, on ne peut pas non plus distinguer lévogyre et dextrogyre en trois dimensions