- La méthode des éléments finis (FEM) est née au début des années 1940 de discrétisations fondées sur les treillis, les sous-domaines triangulaires et les méthodes variationnelles, et s’est imposée, à l’occasion de ses 80 ans en 2021, comme une méthode centrale de l’ingénierie numérique
- La FEM s’est étendue au-delà de la mécanique des matériaux et des structures pour devenir une base de calcul pour l’ensemble des problèmes pouvant être décrits par des EDP, notamment les écoulements de fluides, la conduction thermique, l’électromagnétisme, la conception de circuits et de puces semiconducteurs, la fabrication additive, le diagnostic médical et la planification chirurgicale
- Les contributions de Hrennikof, Courant, Argyris, Turner, Clough, Zienkiewicz, Kang Feng et d’autres se sont succédé, et le terme s’est imposé après que Clough a introduit en 1960 le nom Finite Element Method
- Entre 1966 et 1991, la théorie de la convergence, les principes variationnels mixtes, l’intégration temporelle, les méthodes de résolution de Navier–Stokes, la génération de maillages, la mécanique des structures non linéaire, l’interaction fluide-structure, la FEM stochastique et l’analyse de contact ont progressé, faisant de la FEM un outil de simulation industrielle
- Depuis 1992, l’estimation d’erreur, la FEM hp, X-FEM, la rupture par champ de phase, l’isogeometric analysis, la FEM multi-échelle, la VEM, les logiciels commerciaux et open source ainsi que le machine learning et les modèles d’ordre réduit se sont combinés, déplaçant l’accent vers le calcul en temps réel et fondé sur les données
Périmètre de la FEM et découpage de 80 ans de développement
- 2021 marque les 80 ans de l’invention de la finite element method (FEM)
- La FEM s’est imposée comme base de calcul dans les domaines suivants
- mécanique des matériaux et des structures
- écoulements de fluides et conduction thermique
- processus biologiques pour le diagnostic médical et la planification chirurgicale
- électromagnétisme
- conception et analyse de circuits et de puces semiconducteurs
- fabrication additive
- ensemble des problèmes pouvant être décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP)
- La FEM a profondément changé les méthodes de modélisation scientifique et de conception d’ingénierie pour les automobiles, les avions, les structures marines, les ponts, les autoroutes, les immeubles de grande hauteur, etc.
- Avec le développement de la FEM, les domaines scientifiques de l’ingénierie appelés computational mechanics ou computational science and engineering se sont également développés
- Son histoire se divise en quatre périodes
- 1941–1965 : les débuts
- 1966–1991 : l’âge d’or
- 1992–2017 : applications industrielles à grande échelle et progrès de la modélisation des matériaux
- depuis 2018 : technologies FEM actuelles et futures de pointe
- L’accent porte principalement sur les applications en mécanique des solides et des structures et les développements associés ; la mécanique des fluides, les transferts thermiques et l’interaction fluide-structure ne sont abordés que de manière limitée
- Le développement de la FEM s’entrelace sur plusieurs périodes, ce qui rend difficile une présentation strictement chronologique
1941–1965 : apparition des treillis, des méthodes variationnelles et des éléments triangulaires
- Les origines du paradigme de modélisation numérique de la FEM remontent au début des années 1940
- En 1941, A. Hrennikof, de l’University of British Columbia, publie un article traitant un membrane and plate model comme un lattice framework
- Le domaine de résolution est discrétisé en un maillage de lattice structure
- Ce travail constitue une forme précoce de mesh discretization
- La même année, R. Courant présente une méthode de traitement numérique, par méthodes variationnelles, d’une EDP du second ordre issue du problème de torsion du cylindre de Saint–Venant
- Il utilise systématiquement des trial functions sur des finite triangle subdomains et la Rayleigh–Ritz method
- Cette présentation est publiée sous forme d’article en 1943
- On trouve également des travaux similaires de discrétisation et de formulation variationnelle dans les publications de McHenry, Prager and Synge, Synge and Rheinboldt
- Au début des années 1950, plusieurs ingénieurs et chercheurs développent ces approches initiales et commencent à résoudre des problèmes concrets en aéronautique et en génie civil
- J.H. Argyris et M.J. Turner mènent des développements parallèles avec des priorités différentes ; R.W. Clough et H.C. Martin rejoignent Turner
- La méthode qu’ils développent est aujourd’hui connue comme une forme précoce de la FEM
- À l’époque, elle est appelée Matrix Stiffness Method
- R.W. Clough forge l’expression Finite Element Method dans un article présenté en 1960, et ce nom est rapidement adopté
- Turner, Clough, Martin et Topp développent des FEM interpolants pour triangular elements adaptés aux composants structurels de forme arbitraire
- L’invention du triangle element est qualifiée, selon certains points de vue, de « quantum leap »
- Dans une grande partie de la communauté de l’ingénierie, l’article de Turner et al. de 1956 est considéré comme le point de départ de la FEM
Berkeley, Boeing, Norfork Dam et première diffusion
- M. Jon Turner, de Boeing, a besoin d’une méthode fiable pour déterminer à l’avance si une conception d’avion pourra résister aux contraintes réelles, et invite Ray Clough et Harold Martin à effectuer des faculty internships d’été chez Boeing
- La collaboration entre Turner, Clough et Martin débouche sur une méthode d’analyse structurelle utilisant l’ordinateur pour effectuer de nombreux calculs et prédire les performances réelles
- Clough crée un groupe de recherche FEM à l’UC Berkeley et utilise la FEM pour divers travaux d’analyse et d’expérimentation
- conception de bâtiments et de structures résistants aux explosions nucléaires ou aux séismes
- analyse des exigences structurelles des engins spatiaux
- analyse des structures de forage marin en eaux profondes
- À l’automne 1957, Clough affiche une annonce recherchant des étudiants intéressés par la finite element research pour l’analyse de membrane, plate, shell, solid structures
- Il n’y a alors pas de financement de recherche, mais des doctorants disposant d’autres sources de financement répondent
- Le premier ordinateur numérique de Berkeley est un IBM 701 à vacuum tubes, produit en 1951, et le nombre maximal de linear equations qu’il peut résoudre est de 40
- En 1959, un IBM 704 est installé sur le Berkeley Campus
- Il dispose d’une 32K 32-bit memory et d’une floating-point arithmetic unit environ 100 fois plus rapide que celle de l’IBM 701
- Il devient possible de résoudre des practical structures avec des fine meshes
- L’analyse du Norfork Dam menée par Clough en 1962 démontre l’utilité pratique initiale de la FEM
- Le Norfork Dam, haut de 250 pieds et situé dans l’Arkansas, présente une vertical crack pendant sa construction en 1942
- L’analyse FEM prédit correctement l’emplacement et la taille de la fissure provoquée par les variations de température
- Elle calcule des realistic displacements and stresses à l’intérieur du dam et de la foundation sous l’effet de la gravity et de plusieurs conditions de hydrostatic load
- Clough fournit librement le FORTRAN listing d’un finite element analysis computer program évaluant les déplacements et les contraintes de plane structures bidimensionnelles
- Il peut être utilisé pour des 2D plane structures ayant d’autres géométries, matériaux et conditions de charge
- Il permet aux ingénieurs professionnels d’utiliser facilement la FEM pour obtenir des stress distributions dans des problèmes d’ingénierie des structures
- R.W. Clough reçoit en 1994 la National Medal of Science des mains d’Al Gore, alors vice-président des États-Unis, pour sa contribution à la création et au développement de la FEM
Premiers acteurs et fondements théoriques
- Selon le consensus actuel, après la contribution de R. Courant aux fondements mathématiques, J.H. Argyris, R.W. Clough et O.C. Zienkiewicz ont joué un rôle central dans la naissance de la FEM et ses premiers développements
- Au début des années 1960, Kang Feng, de la Chinese Academy of Science, a proposé indépendamment une méthode numérique de discrétisation fondée sur des principes variationnels pour résoudre des EDP elliptiques
- Peter Lax a estimé que Kang Feng avait élaboré la théorie de la FEM indépendamment des développements parallèles en Occident
- Les travaux de Kang Feng sont considérés comme l’une des premières études de convergence de la FEM
- E.L. Wilson est cité comme la première personne à avoir développé un logiciel open source d’éléments finis
- En 1958, sous la direction de Clough, il a commencé à développer chez Boeing un programme automatisé d’éléments finis, à partir d’un élément fini rectangulaire en contraintes planes
- J.T. Oden et G.C. Best ont écrit l’un des premiers codes informatiques FEM à usage général
- Il comprenait l’élasticité 3D, l’élasticité plane 2D, des éléments de poutres et de barres 3D, des éléments de plaques et de coques composites stratifiées, ainsi que des éléments pour matériaux composites généraux
- Il a été utilisé pendant plusieurs années dans les industries aérospatiale et de défense pour l’analyse et la conception d’aéronefs
- En 1965, la recherche sur la FEM était devenue un domaine très actif dans le monde entier, avec plus de 1 000 articles publiés dans la littérature
- Le principe variationnel de Hellinger–Reissner et le principe variationnel de Hu-Washizu ont ensuite servi de base au développement des FEM mixtes
- En 1964, Pian a reconnu la possibilité d’utiliser des principes variationnels mixtes dans des formulations FE fondées sur la forme faible de Galerkin, et a proposé la FEM à contraintes supposées
1966–1991 : théorie de la convergence, dynamique, fluides, analyse non linéaire
- À partir de la fin des années 1960, une théorie de l’approximation rigoureuse sous-tendant la FEM s’est développée
- Le lemme de Cea et le lemme de Bramble-Hubert sont considérés comme des résultats importants pour les preuves de convergence de la FEM
- Les travaux de Nitsche sur les estimations L∞ pour les problèmes elliptiques linéaires généraux constituent une contribution importante aux fondements mathématiques de la FEM dans les années 1970
- Dans la pratique, les ingénieurs utilisaient des interpolants FEM non conformes ou des quadratures numériques violant les formes variationnelles standard
- G. Strang a qualifié ces techniques numériques de variational crimes
- B. Iron et R. Melosh ont créé les premiers patch tests FEM, qui ont joué un rôle important pour garantir la convergence vers la solution correcte
- Dans les FEM fondées sur des principes variationnels mixtes, la condition de Babuska-Brezzi, ou condition LBB, est apparue comme un résultat clé
- Elle fournit des conditions suffisantes pour qu’un problème de point selle possède une solution unique dépendant continûment des données d’entrée
- Elle est devenue un guide pour construire les fonctions de forme des FEM fondées sur des principes variationnels mixtes
- Dans les années 1970, le développement de la FEM s’est orienté vers la simulation du comportement dynamique des structures, notamment la crashworthiness dans l’industrie automobile
- La méthode Newmark-beta, la méthode Wilson-theta, la méthode alpha de Hilbert-Hughes-Taylor, l’algorithme d’intégration de Houbolt et l’algorithme d’intégration temporelle explicite ont notamment été développés
- L’intégration temporelle explicite a été un game changer dans l’industrie automobile et a fait de la FEM un outil majeur pour la conception des voitures particulières et l’analyse de la sécurité en cas de collision
- À la fin des années 1980, les trois grands constructeurs automobiles américains disposaient de milliers de stations de travail exécutant des codes FEM fondés sur l’intégration temporelle explicite
- L’un des principaux sujets de recherche sur la FEM dans les années 1980 était la résolution des équations de Navier–Stokes par FEM
- Hughes et ses collaborateurs ont développé la méthode streamline upwind/Petrov Galerkin, la FEM de Galerkin stabilisée, la FEM espace-temps et la FEM variationnelle multi-échelle
- De 1986 à 1991, Hughes, L.P. Franca et d’autres ont rédigé une série de dix articles sur les formulations FEM pour la mécanique des fluides numérique
- Au milieu des années 1980, la combinaison de l’infographie interactive, des générateurs de maillages adaptatifs et des techniques de modélisation solide a favorisé le développement d’une génération de maillages FEM avancée
- Les contributions de J. Simo figurent parmi les faits marquants du progrès des technologies FEM dans les années 1980
- opérateur tangent cohérent pour la plasticité computationnelle
- théories géométriquement exactes des poutres et des coques
- méthodes à déformation supposée ou à déformation enrichie
Interaction fluide-structure, FEM probabiliste, analyse de contact
- Du milieu des années 1970 au début des années 1990, les industries aérospatiale et du génie civil avaient une forte demande de technologies capables de résoudre des problèmes de fluid–structure interaction(FSI) à grande échelle
- La formulation FEM fluide-structure Arbitrary Lagrangian–Eulerian(ALE) de Hughes-Liu-Zimmermann traite les problèmes à frontières mobiles
- Dans l’ALE, le maillage de calcul à l’intérieur du domaine peut se déplacer arbitrairement afin d’optimiser la forme des éléments
- Le maillage aux frontières du domaine et aux interfaces se déplace avec le matériau, ce qui permet de suivre précisément les frontières et interfaces des systèmes multi-matériaux
- C. Farhat est cité comme le premier à avoir calculé des problèmes FSI avec un solveur ALE-FEM parallèle à grande échelle
- Le groupe de Farhat a développé la finite element tearing and interconnecting method afin de résoudre de manière scalable de grands systèmes d’équations
- Les recherches FEM sur la FSI ont fourni, au milieu des années 1990, les bases de la modélisation patient-spécifique des maladies vasculaires et de la médecine prédictive fondée sur la FEM
- W.K. Liu et T. Belytschko ont développé pour la première fois, à la fin des années 1980, la FEM probabiliste ou FEM à champs aléatoires
- Elle prend en compte les incertitudes sur les conditions de charge, le comportement des matériaux, la géométrie, ainsi que les supports ou conditions aux limites
- Elle peut être appliquée à l’analyse de fiabilité des structures
- Au début des années 1980, M.E. Botkin, du General Motors Research Lab, et le groupe de N. Kikuchi à l’University of Michigan ont développé une FEM d’optimisation de forme structurelle pour l’industrie automobile
- L’article de 1976 de Hughes, Taylor, Sackman, Curnier et Kanoknukulchai compte parmi les toutes premières analyses FEM en mécanique computationnelle du contact
- Il est considéré comme la première étude sur la modélisation FEM des problèmes de contact dynamique et d’impact
- La mise en forme de tôles, l’impact et la pénétration de cibles, ainsi que l’interaction entre chaussée et pneu sont cités comme exemples
- La recherche sur les algorithmes de contact est restée un sujet actif jusqu’à la fin des années 1990
1992–2017 : estimation d’erreur, fissures, méthodes sans maillage
- Le premier événement majeur dans l’évolution de la FEM entre 1992 et 2017 est la formalisation de l’estimateur d’erreur a posteriori de Zienkiewicz-Zhu
- Il permet de contrôler la qualité des solutions FEM tout en optimisant l’usage des ressources de calcul grâce au raffinement adaptatif du maillage
- Aujourd’hui, l’amélioration de la qualité par estimation d’erreur a posteriori s’est étendue jusqu’au niveau de l’inférence bayésienne et de la mise à jour bayésienne
- Ce sujet est étroitement lié à la validation and verification
- Szabo et Babuska ont développé la hp FEM, qui combine h et p
- Elle montre une convergence exponentielle lors du raffinement du maillage en combinant de façon appropriée h-refinement et p-refinement
- Cela contraste avec la plupart des autres FEM, qui convergent à un rythme algébrique
- En 1994, Xu et Needleman ont développé le cohesive zone model (CZM) FEM, qui permet de simuler la propagation de fissures sans remaillage
- Belytschko et W.K. Liu ont développé des meshfree particle methods afin de réduire les problèmes de biais de maillage dans la modélisation de la rupture et de l’endommagement des matériaux
- L’element-free Galerkin method et la reproducing kernel particle method en sont des exemples représentatifs
- Par rapport à la SPH method, la RKPM apporte de la consistency et améliore la convergence
- En 2001, J.S. Chen et ses co-auteurs ont proposé une stabilized conforming nodal integration method pour la RKPM sans maillage
- Elle est simple, stable et variationnellement consistent avec la formulation faible de Galerkin
- La partition of unity finite element method a ensuite été appelée generalized finite element method
- Il s’agit d’une généralisation des versions h, p et hp de la FEM
- Elle permet d’embarquer une solution analytique dans la discrétisation FEM
- À la fin des années 1990, Belytschko, Black, Moes, Dolbow et d’autres ont développé X-FEM
- Elle utilise des enriched discontinuous shape functions pour capturer la géométrie d’un corps fissuré sans remaillage
- C’est devenu une percée importante en mécanique de la rupture computationnelle et dans les techniques de refinement FEM
- Vers 2000, Bourdin, Francfort et Marigo ont développé la phase-field approach pour la modélisation de la rupture des matériaux
- En résolvant conjointement les équations du mouvement des milieux continus et la phase equation avec la FEM de Galerkin, elle permet d’obtenir des solutions de fissures sans singularité de contrainte ni remaillage
Intégration CAD, multiscale et éléments virtuels
- L’une des grandes raisons du succès de la FEM est sa large applicabilité à l’analyse et à la conception d’ingénierie dans l’ensemble des disciplines scientifiques
- T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs et d’autres ont développé la FEM d’isogeometric analysis (IGA)
- Elle utilise les fonctions NURBS comme shape functions FEM
- Elle intègre la FEM dans les outils CAD existants fondés sur NURBS, sans conversion de données entre les packages CAD et FEA
- Avec l’émergence des nanotechnologies, des multiscale methods combinant des méthodes atomistiques et la FEM à l’échelle des milieux continus ont été développées
- La molecular dynamics, la density functional theory et les ab initio methods sont mentionnées
- Le hand-shake method, la quasi-continuum FEM et la bridging scale method constituent des contributions majeures
- En 2007, Gavini, Bhattacharya et Ortiz ont développé une quasi-continuum orbital-free DFT FEM pour des calculs DFT portant sur des millions d’atomes
- Depuis la fin des années 1990, les computational homogenization methods se sont développées rapidement
- Elles se divisent en multiscale computational homogenization pour les matériaux composites à microstructure périodique
- Et en computational micromechanics methods, principalement destinées aux matériaux composites à microstructure aléatoire
- En 2013, une équipe de chercheurs italiens menée par L. Beirão da Veiga et F. Brezzi a proposé la virtual element method (VEM)
- Il s’agit d’une extension de la FEM classique aux formes d’éléments arbitraires
- Elle permet une polytopal discretization, par exemple sous forme de polygones 2D ou de polyèdres 3D
- Le terme virtual vient du fait qu’il n’est pas nécessaire de calculer explicitement la base locale de shape functions
- Elle présente des propriétés plus avantageuses que la FEM classique pour les problèmes à géométrie complexe où il est difficile d’obtenir un maillage de bonne qualité, ainsi que pour ceux nécessitant un refinement local
Enseignement et industrie du logiciel
- En 1957, R. Clough a introduit à l’UC Berkeley le premier cours de FEM de niveau master/doctorat
- Par la suite, des cours de FEM de niveau master/doctorat et licence ont été ajoutés aux cursus d’ingénierie des grandes universités et écoles d’ingénieurs du monde entier
- Fin 2015, plusieurs centaines de monographies et manuels sur la FEM avaient été publiés dans des dizaines de langues à travers le monde
- Les manuels de FEM de Zienkiewicz and Taylor ou de Zienkiewicz et al. ont probablement eu une grande influence sur la popularisation de la technologie FEM
- Le code du programme informatique de recherche FEM FEAP, écrit par Taylor, figurait en annexe du livre
- Il fournissait des instructions immédiates pour implémenter la FEM sur ordinateur
- Le développement des technologies logicielles FEM a commencé au début des années 1960
- En 1963, E.L. Wilson et R. Clough ont développé le Symbolic Matrix Interpretive System (SMIS)
- Sur la base de SMIS, Wilson a lancé et développé le Structural Analysis Program (SAP)
- K.J. Bathe a développé le code FEM non linéaire ADINA à partir de SAP IV et NONSAP
- La NASA a développé son propre code FEM, NASTRAN
- La première version, COSMIC Nastran, est apparue en 1969
- En 1971, MSC Software a lancé MSC Nastran, la version commerciale de Nastran
- J.A. Swanson a développé le premier code FEM ANSYS
- ANSYS est aujourd’hui l’un des principaux logiciels FEM commerciaux au monde
- DYNA3D a été développé par J.O. Hallquist au Lawrence Livermore National Laboratory
- Il est largement utilisé pour l’analyse des impacts, du contact dynamique et de la rupture des structures
- Il a ensuite évolué en LS-DYNA
- En 2018, lorsque Livermore Software Technology a été racheté par ANSYS, LS-DYNA est devenu une partie d’ANSYS sous le nom ANSYS LS-DYNA
- ABAQUS est un logiciel FEM commercial de grande ampleur lancé par HKS, société fondée par Hibbitt, Karlsson et Sorenson
- Il autorise les sous-routines définies par l’utilisateur, ce qui permet aux chercheurs d’utiliser plus facilement un solveur FEM standard dans leurs travaux
- De la fin des années 1990 au début des années 2000, l’industrie du logiciel FEM est devenue une activité de plusieurs milliards de dollars
- ANSYS, ABAQUS, ADINA, LS-DYNA, NASTRAN, COMSOL Multiphysics et CSI sont mentionnés parmi les logiciels FEM bien connus
- Il existe aussi des logiciels FEM open source comme FreeFEM, OpenSees, Elmer, FEBio, FEniCS Project et DUNE
Depuis 2018 : apprentissage automatique, FEM pilotée par les données, modèles d’ordre réduit
- La FEM moderne permet de résoudre au quotidien des problèmes industriels vastes et complexes, et rend possibles l’analyse prédictive et la compréhension fondamentale pour la conception de produits
- Avec les nouvelles inventions, de grandes quantités de données sont générées dans l’espace, le temps et l’espace des paramètres de conception, si bien que le développement des principes scientifiques ne suit parfois pas le rythme des inventions
- Pour y répondre, les chercheurs en FEM étudient des approches fondées sur le machine learning et le deep learning
- La FEM de Mechanistic Data Science (MDS) combine les principes scientifiques connus et les données nouvellement collectées, et constitue une direction de recherche importante pour les nouvelles inventions
- Elle utilise des méthodes comme l’active deep learning et les hierarchical neural networks
- Elle assure le traitement des données d’entrée, l’extraction de caractéristiques mécanistes, la réduction de dimension, la régression et la classification, ainsi que la fourniture de bases de connaissances
- Avec les progrès récents du machine learning et du deep learning, la résolution de la FEM au moyen de deep neural networks est devenue une technologie de pointe
- Les Physics-Informed Neural Networks résolvent des EDP de grande dimension sous forme forte et utilisent des contraintes permettant de prendre en compte les conditions aux limites naturelles et essentielles
- Des méthodes combinant structures FEM et réseaux de neurones sont étudiées, notamment la Deep Ritz Method, la Deep Galerkin Method, le physics-constrained deep learning et les partition of unity networks
- Zhang et al. ont publié un article sur la construction de fonctions de forme FEM fondée sur la nature hiérarchique des DNN, qu’ils appellent HiDeNN
- Ils montrent plusieurs constructions de fonctions d’interpolation en deep learning, comme RKPM, NURBS et IGA
- HiDeNN-AI peut intégrer plusieurs outils data-driven et fournit une approche générale pour résoudre des problèmes scientifiques et d’ingénierie à forte demande de calcul, avec peu ou pas de connaissances physiques disponibles
- Pour réduire le coût de calcul de la FEM, une méthode data-driven en deux étapes a été proposée : construire une base de données FEM lors d’une phase offline, puis calculer la solution finale lors d’une phase online
- FE-SCA utilise l’apprentissage automatique non supervisé pour regrouper les points matériels et résout une équation micromécanique de Lippmann–Schwinger d’ordre réduit afin de réduire le coût de calcul de l’analyse multi-échelle
- La modélisation d’ordre réduit répond à la demande industrielle de simulations rapides, presque en temps réel
- contrôle online des systèmes dynamiques
- surveillance de l’état de santé des structures
- surveillance de l’état des véhicules
- contrôle par rétroaction online de la fabrication avancée
- contrôle et décision pour la conduite automatisée
- Le contrôle optimal pratique peut nécessiter des prédictions fiables dans des plages de l’ordre de la milliseconde, voire de la sous-milliseconde
- Les méthodes de machine learning d’ordre réduit peuvent rendre possible un modèle combinant physique et données, afin de dépasser les goulets d’étranglement de la réduction de modèle et des approches de machine learning purement data-driven
1 commentaires
Avis de Hacker News
Je travaille à plein temps comme analyste FEM depuis 15 ans et, même si l’article est correct en soi, j’ai fortement l’impression qu’il dépeint les 20 dernières années de façon bien plus rose que la réalité.
Dans la pratique, l’utilisation de la FEM est restée assez longtemps stagnante. Il y a eu des améliorations de la stabilité des algorithmes numériques qui rendent les problèmes fortement non linéaires un peu plus faciles, des solveurs plus optimisés, un matériel nettement meilleur, et le stockage flash en particulier a beaucoup aidé.
Mais les technologies avancées et de nouvelle génération mises en avant par l’article ont presque toutes échoué lorsqu’on les applique à des problèmes réels. Elles donnent des résultats corrects sur des problèmes de laboratoire très simples, mais, dans le monde réel, la précision est souvent catastrophique. Par exemple, un cylindre en traction simple peut bien correspondre, mais dès qu’on ajoute de la flexion, tout se dégrade fortement.
Il n’y a toujours rien de mieux que la FEM, mais, avec le recul, il est surprenant de constater que je travaille presque de la même manière qu’à l’époque où j’étais Engineer 1. Ce n’est pas faute d’avoir essayé : j’ai vu d’innombrables projets de développement qui semblaient prometteurs mais n’ont pas passé l’épreuve de la validation réelle.
Dans l’industrie, l’accent s’est au contraire beaucoup plus porté sur la vérification et validation (ASME V&V 10/20/40), ce qui a mis en lumière de nombreux pièges et limites. Le monde académique et les éditeurs de logiciels se sont montrés peu enclins à réexaminer les problèmes que nous découvrons, censés avoir été « résolus ».
La FEEC m’avait semblé assez prometteuse la dernière fois que je l’ai lue, mais elle ne semble pas s’être beaucoup diffusée dans l’univers plus large de la FEM.
Il y a eu des progrès avec les éléments de contact, la précontrainte des boulons, la modélisation individuelle des fibres composites, le délaminage et l’endommagement progressif des stratifiés, la modélisation de couches de matériau de quelques millièmes de pouce d’épaisseur, ainsi que l’optimisation de conception.
ANSYS Workbench ressemble davantage à de la FEA pour débutants, et il y a encore bien d’autres exemples.
Ils semblent être un candidat très en vue, susceptible de produire de meilleurs résultats à l’avenir.
Au début de ma carrière, je faisais de la modélisation et de l’analyse par éléments finis avec ANSYS et NASTRAN, et cette époque me manque parfois.
J’ai toujours trouvé amusant de réfléchir à la façon de simplifier des problèmes réels pour pouvoir les résoudre avec les ressources de calcul disponibles. Et passer des heures à déplacer des éléments quadrilatères jusqu’à obtenir un bon maillage avait presque un effet méditatif. En revanche, je ne suis pas particulièrement débordant de motivation à l’idée d’apprendre un nouveau logiciel ou un nouveau langage.
Étonnamment, le domaine ne semble pas avoir beaucoup changé. ANSYS paraît toujours être en tête pour la simulation généraliste et la multiphysique, et NASTRAN reste très utilisé. Il n’existe toujours pas non plus d’alternative open source vraiment pratique.
Le seul nouvel acteur semble être COMSOL ; je me demande si certains l’ont utilisé. Pour quelqu’un qui connaît bien ANSYS et NASTRAN, est-ce que cela vaut la peine d’essayer ?
Chaque année, je me bats davantage contre le logiciel, et il est clair que les commerciaux ont pris le volant.
Ils rachètent des logiciels d’« intégration verticale », les intègrent, puis les laissent mourir lentement. Ils ont annoncé qu’un produit acquis il y a 10 ans serait arrêté l’an prochain, afin de pousser un produit concurrent qui n’a que 20 % de ses fonctionnalités.
J’ai aussi utilisé NASTRAN pendant environ moitié moins longtemps, et ce n’est pas beaucoup mieux. Tout est piloté par les ventes.
J’ai un peu utilisé Abaqus, et ça m’a semblé correct. C’est peut-être parce que je ne l’ai utilisé que brièvement.
Moi, je veux juste faire mon travail, mais ces entreprises ne font que déplacer les fonctionnalités entre les niveaux de licence et faire bouillir la grenouille aussi vite qu’elles le peuvent.
Par « intuitif », j’entends que cela suit assez fidèlement les mathématiques, pas que c’est du niveau lycée.
[1]: https://fenicsproject.org/
[2]: https://jsdokken.com/dolfinx-tutorial/chapter2/linearelastic...
Si vous voulez faire du couplage structure-fluide ou électromagnétique-mécanique, c’est probablement parmi les plus faciles à utiliser.
Pris séparément, chaque domaine physique n’a rien d’exceptionnel. Il existe de bien meilleurs solveurs pour la mécanique, la dynamique des fluides numérique ou l’électromagnétisme, mais ils viennent tous de fournisseurs différents et ne s’imbriquent pas bien entre eux.
Le « deal » de deal.II signifie Differential Equation Analysis Library.
Elle est écrite en C++, utilise beaucoup les templates, et est développée depuis 2000. Ce n’est pas une bibliothèque dédiée spécifiquement à la mécanique des solides ou à la mécanique des fluides, mais plutôt une bibliothèque pour la résolution FEM générale d’équations aux dérivées partielles.
La documentation est vaste, les exemples sont nombreux, et elle s’intègre aussi avec d’autres bibliothèques comme Petsc et Trilinos. Les résultats peuvent également être exportés dans plusieurs formats.
À ma connaissance, la prise en charge des éléments triangulaires et tétraédriques n’a été ajoutée que récemment. Pourtant, l’une des particularités de la bibliothèque est qu’elle appelle les maillages des « triangulations ».
Pendant mon doctorat industriel, j’ai créé un framework de programmation orientée objet pour la simulation de la pollution atmosphérique à grande échelle (LSAP)
Ce framework reposait sur la FEM de Petrov-Galerkin et gérait à la fois de la vraie 2D et de la 3D « en couches »
Avant mon doctorat, les personnes avec qui je travaillais utilisaient des méthodes spectrales et la FEM à directions alternées, c’est-à-dire une façon d’approximer la 2D par de la 1D
Dans certaines conférences et interviews, des scientifiques disaient parfois que programmer la FEM pour la LSAP était facile. J’acquiesçais généralement, puis je leur demandais combien de fois ils l’avaient fait. Je n’ai jamais obtenu de réponse, que ce soit pour la LSAP ou autre chose
Appliquer la FEM à des problèmes réels peut exiger de résoudre pas mal de petits pièges et bugs à la fois pratiques et théoriques
Obtenir par des méthodes analytiques la solution d’un problème pratique satisfaisant à la fois les conditions aux limites et le domaine est pratiquement impossible. La FEM échange l’exactitude contre l’approximation : elle peut être exacte pour les conditions aux limites spécifiées, mais elle reste une approximation tant dans la représentation du domaine que dans la solution
En contrepartie, si l’on affine l’approximation, elle a la bonne propriété de faire converger l’erreur d’approximation vers la solution exacte. Le prix à payer est que le coût de calcul augmente de façon exponentielle
J’ai étudié la FEM en licence et en master/doctorat. Il y a une réelle satisfaction à décomposer un problème réel difficile à résoudre en une réalité simulée simplifiée composée d’unités finies, puis à en tirer une réponse explicitement imparfaite mais utile
Je repense souvent à cette approche
Il y avait à l’époque un fil avec 45 commentaires : https://news.ycombinator.com/item?id=33480799
Prédire comment les choses évoluent dans l’espace-temps est un besoin fondamental
La méthode des éléments finis mérite l’honneur de figurer en tête de la liste HN. Pour mes propres modèles, j’avais choisi à l’époque la « méthode de collocation orthogonale », car elle était plus rapide et mieux adaptée au problème que je traitais. Quelques collègues chercheurs utilisaient la FEM, et dans les années 90 c’était clairement très en vogue
Récapitulatif issu de “Chaos researchers can now predict perilous points of no return” (2022) https://news.ycombinator.com/item?id=32862414
FEM : Finite Element Method : https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
La FEM est la méthode des éléments finis, qui sert à résoudre des équations aux dérivées partielles couplées, tandis que la FEA est l’analyse par éléments finis, c’est-à-dire l’application de la FEM
Finite Element Analysis dans awesome-mecheng : https://github.com/m2n037/awesome-mecheng#fea
Il existe aussi un fil lié à la “relaxation technique” de “Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time” (2024) https://arxiv.org/abs/2310.02243 : https://news.ycombinator.com/item?id=40396171
Point de vue intéressant. Je reviens justement d’une conférence sur l’analyse isogéométrique (IGA), brièvement mentionnée dans cet article
Tom Hughes, cité à plusieurs reprises, est désormais de fait le leader de la communauté de recherche sur l’IGA. L’IGA a un fort potentiel pour résoudre de nombreux points douloureux de la FEM. En général, elle offre de meilleurs taux de convergence, permet de meilleurs pas de temps dans les solveurs explicites et fournit de meilleures façons de garantir la stabilité dans des problèmes comme les solides incompressibles
Un point particulièrement intéressant est qu’elle rend possibles les approches immergées : il suffit de placer la géométrie dans une grille de fond facile à mailler, ce qui fait presque disparaître le problème de génération de maillage. Il reste encore beaucoup à faire avant une adoption industrielle, mais c’est probablement l’avenir de la FEM
Si ma mémoire est bonne, le taux de convergence est exactement le même, et cette approche ne rend pas correctement compte du fait que, sauf aux frontières, la géométrie et le champ de la grandeur physique étudiée n’ont pas la même distribution spatiale
L’IGA existe depuis longtemps, mais n’a jamais vraiment dépassé l’astuce consistant à « réutiliser les fonctions CAD ». Au final, par rapport à une subdivision P ordinaire, elle ne fait que compliquer le problème sans bénéfice pratique réel. Je me demande donc quel potentiel il lui reste
Le nom de Tom Hughes me revient. J’ai aussi son livre sur la FEM, et il a été pendant longtemps, peut-être des décennies, quasiment le seul à pousser ce concept. La raison, c’est que l’ensemble de la communauté de mécanique numérique l’a regardé, l’a trouvé intéressant, puis a conclu que cela n’en valait pas la peine. Il existe en FEM des idées bien plus intéressantes et prometteuses que l’utilisation de splines pour créer des éléments
J’ai suivi un cours là-dessus en licence et je l’ai revu en master/doctorat, mais je n’arrive toujours absolument pas à comprendre la dérivation de Galerkin ni la dérivation variationnelle
Dans ma tête, le déroulé est le suivant : 1. équation aux dérivées partielles sous forme forte, 2. forme faible, 3. forme faible discrétisée, 4. calcul numérique des intégrales sur chaque élément, 5. assemblage du système linéaire, 6. résolution du système linéaire
Si une implémentation moderne vous intéresse, SELF est une bibliothèque d’éléments spectraux écrite en Fortran orienté objet[1]
Les développeurs de Fluid Numerics devraient bientôt publier des benchmarks sur des systèmes MI300A et d’autres matériels intéressants
[1] https://github.com/FluidNumerics/SELF