La stratégie de Kelly qui ne peut pas échouer

Introduction

• La stratégie d’allocation de mise de Kelly est un système qui exploite au maximum l’information dans les situations de jeu, et elle est connue comme une stratégie très agressive avec une forte volatilité.
• Le livre de Peter Winkler, Mathematical Puzzles, présente un jeu de cartes appelé « Next Card Bet » et décrit un cas où la stratégie de Kelly s’applique dans une situation sans risque ni volatilité.

Le jeu

• Le jeu se déroule avec un paquet de 52 cartes (26 rouges et 26 noires), et le joueur commence avec un capital de 1 $.
• Chaque carte n’est révélée qu’une seule fois, et le joueur peut miser une partie de son capital actuel sur la couleur de la prochaine carte, rouge ou noire.
• En comptant les cartes, il est possible d’inférer la couleur des cartes restantes et d’élaborer une stratégie de mise.

La stratégie de Kelly

• La stratégie de Kelly consiste à choisir une mise qui maximise le logarithme espéré du capital.
• En supposant que r est le nombre de cartes rouges restantes et b le nombre de cartes noires restantes, lorsque r > b, la fraction misée est calculée avec bet_fraction = (r - b) / (r + b).
• Lorsque r = b, on ne mise pas ; lorsque r > b, on mise sur le rouge ; lorsque b > r, on mise sur le noir.

Tentative de stratégie

• La stratégie de Kelly est simulée en Python.
• Sur 10 000 parties, chaque exécution a produit un gain de 9.08 fois le capital initial, sans aucune variation des résultats.
• Contrairement à la stratégie de Kelly habituelle, le résultat est ici dépourvu de volatilité.

Explication

• Lorsqu’un des arrangements possibles des cartes parmi (52 choose 26) se réalise exactement, la stratégie de portefeuille augmente le capital d’un facteur multiple de 2^(52).
• Cela montre que la stratégie de Kelly et la stratégie de portefeuille produisent le même résultat, et explique pourquoi la stratégie de Kelly n’a ici aucune volatilité.

Interprétation

• En misant sur la couleur majoritaire, la stratégie de Kelly devient plus favorable à chaque mauvais pari, car le paquet devient alors plus déséquilibré.
• Cela met en avant la capacité de la stratégie de Kelly à correctement valoriser l’information et l’incertitude.
• Le livre Mathematical Puzzles de Winkler est recommandé, car il traite de problèmes similaires.

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Commentaires sur Hacker News

• Il faut pouvoir fractionner sa mise à l’infini pour toujours réaliser un profit

  • Par exemple, lorsque les 26 cartes rouges sont au-dessus, une mise initiale de 1,00 $ descend jusqu’à 0,000000134 avant de remonter à 9,08

• Le débat sur le portefeuille semble être un détour inutile

  • Il existe une preuve en deux lignes par récurrence
  • Dans le cas de base (0,1) ou (1,0), le gain est de 2

• Un exemple similaire de jeu de cartes est expliqué dans le livre de Timothy Falcon sur les entretiens en finance

  • Gwern l’explique et a écrit du code prouvant la stratégie d’arrêt optimale

• Complément d’explication intéressant sur le critère de Kelly

  • Le paradoxe de Proebsting est un argument montrant que le critère de Kelly peut mener à la ruine
  • C’est soluble mathématiquement, mais cela soulève des questions intéressantes pour l’application réelle

• Le critère de Kelly est l’un des concepts de la théorie des jeux, largement utilisé par les joueurs professionnels pour la gestion de leur bankroll

  • C’est un critère pour des issues binaires, mais son application à des situations non binaires peut produire des résultats déformés

• Ce serait une meilleure démo si on le ramenait à des nombres plus faciles à gérer

  • Ex. : un paquet composé de 2 cartes noires et 2 cartes rouges

• Il est très intéressant de voir qu’il n’y a aucune variabilité des résultats

  • Je me demande si la stratégie de Kelly est optimale pour ce problème

• En tant que personne portant le nom Kelly, j’apprécie ce regain de confiance

• Le problème et sa solution semblent venir de Thomas Cover

  • Je l’ai appris dans un cours où il enseignait le critère de Kelly, et ses cours étaient toujours intéressants et précieux

• Vérifié avec plusieurs seeds RNG

  • Comme le RNG progresse à chaque exécution, ce n’est pas un problème