Notation comme outil de pensée (1979)

• La notation est un outil essentiel pour aider la pensée, et joue un rôle central aussi bien en mathématiques que dans les langages de programmation
• Le langage APL a été développé comme une tentative de combiner les avantages de la notation mathématique avec l’exécutabilité et l’universalité d’un langage de programmation
• Les caractéristiques d’une bonne notation incluent la concision, la clarté, le pouvoir de suggestion, la subordination des détails et la possibilité de preuve formelle
• Il est possible de représenter et transformer efficacement avec APL diverses structures mathématiques (polynômes, transformations, graphes, etc.)
• L’introduction et l’apprentissage d’une notation doivent se faire naturellement dans le contexte, et sa structuration ainsi que sa polyvalence sont également importantes

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La notation comme outil de pensée

• Dans des domaines scientifiques comme la chimie ou la botanique, une nomenclature systématique favorise aussi le progrès des disciplines
• George Boole soulignait que le langage lui-même est un moyen de penser
• La notation mathématique est un exemple représentatif de langage au service de la pensée, réduisant la charge cognitive et renforçant la capacité de raisonnement
• A.N. Whitehead et Charles Babbage ont souligné l’importance de la notation mathématique

Le potentiel des langages de programmation comme outils de pensée

• Les langages de programmation présentent les atouts de la polyvalence et de la clarté
• Ils permettent d’expérimenter des idées via l’ordinateur et de mener des expériences de pensée avec précision
• Cependant, la plupart des langages de programmation restent moins efficaces que la notation mathématique comme outils de pensée
• APL a été conçu comme une notation au service de la pensée, orientée vers la clarté et la précision

Principales caractéristiques d’une bonne notation

• Facilité d’expression du problème : elle doit permettre d’exprimer facilement des structures dérivées directement du problème
• Pouvoir de suggestion : la forme exprimée doit suggérer des problèmes analogues ou des extensions
• Subordination des détails : elle doit fournir une structure qui simplifie les détails complexes afin de faciliter la réflexion
• Concision : elle doit permettre une large gamme d’expressions avec un minimum de symboles et de règles
• Possibilité de preuve formelle : la notation doit se prêter aux preuves formelles et au raisonnement déductif

Introduction aux techniques de base de notation en APL

• Les structures fondées sur les tableaux, comme les vecteurs et les matrices, y sont utilisées naturellement
• Les fonctions et opérateurs s’appliquent automatiquement élément par élément aux vecteurs et matrices
• Des opérateurs comme la réduction (/), le scan(\) et le produit intérieur(.) permettent d’exprimer des compositions de fonctions
• Des symboles de base comme ⍳, ⌽, ⍴, +, ×, * permettent de construire des expressions riches
• Toutes les fonctions suivent une règle de priorité à droite, ce qui permet d’écrire naturellement des expressions sans parenthèses

Exemples de résolution de problèmes et de stimulation de la pensée

• Des suites mathématiques comme les nombres triangulaires ou les factorielles peuvent être exprimées par des formules simples
• La représentation des polynômes ainsi que des opérations comme la multiplication ou la dérivation sont traitées de manière concise avec des règles cohérentes
• La théorie des graphes (arbres, fermeture transitive, arbre couvrant) peut elle aussi être exprimée clairement au moyen d’opérations sur tableaux
• L’approche peut s’étendre à de nombreux domaines, comme les permutations, l’algèbre booléenne ou les conversions entre systèmes numériques (factorisation en nombres premiers)

Preuve formelle et pensée structurée

• Comme toutes les opérations et expressions sont formulées sous une forme clairement exécutable, une vérification automatique par ordinateur est possible
• Divers exemples de preuves formelles sont présentés à l’aide de la récurrence, de la recherche exhaustive et de l’énumération d’identités
• Démonstrations formelles de l’identité de partition de la réduction et du scan, ainsi que de l’associativité et de la distributivité du produit intérieur
• Preuves directes des fonctions symétriques de Newton, de la multiplication des polynômes et des formules de dérivation

Comparaison entre APL et la notation mathématique traditionnelle

• APL fournit une définition claire des fonctions, des opérations cohérentes sur tableaux et un système de symboles riche
• Toutes les opérations suivent une règle d’évaluation de droite à gauche plutôt qu’un système classique de priorités
• Il réduit la complexité liée à l’usage des symboles mathématiques et prend en charge la manipulation formelle (formal manipulation)
• Sa syntaxe est concise et ses règles cohérentes, ce qui profite autant aux débutants qu’aux utilisateurs expérimentés

Introduction et apprentissage de la notation

• Il met l’accent sur une introduction naturelle, dans le contexte, des seules notations nécessaires, sans « cours de langue » séparé
• De nouveaux symboles s’apprennent intuitivement dans des situations de problème concrètes
• Plus que la difficulté intrinsèque de la notation, l’important est de reconnaître les diverses possibilités et son extensibilité

Possibilités d’extension et propositions autour d’APL

• Proposition d’étendre les fonctions, notamment pour le traitement des nombres complexes
• Nécessité de standardiser les fonctions d’éléments uniques (unique elements) et de résumé (summary)
• L’introduction d’opérateurs plus généralisés pourrait prendre en charge des sujets supplémentaires comme le calcul vectoriel
• Objectif : améliorer la clarté de la conception du langage et ses capacités de raisonnement

Équilibre entre efficacité et clarté

• Il est recommandé de définir d’abord une notation claire et analysable, puis d’en améliorer l’efficacité par l’optimisation
• La clarification des algorithmes aide ensuite à l’optimisation et à l’optimisation par le compilateur
• Les expressions de base écrites en APL peuvent contribuer à la fois à la recherche académique et aux applications industrielles

[GN⁺]

Commentaire Hacker News

• La notation a une signification plus profonde que le simple remplacement d’une représentation par une autre

  • Une nouvelle notation permet de penser un problème d’une manière nouvelle
  • De nombreux problèmes non résolus pourraient l’être grâce à une notation puissante
  • C’est une évidence pour les mathématiciens et les informaticiens, mais cela reste controversé chez les linguistes et les pédagogues
  • L’hypothèse de Sapir-Whorf affirme que la langue détermine la pensée
  • Les langues naturelles sont des produits culturels, et dans le monde académique il est tabou de relier culture et pensée
  • Même dans l’enseignement, on empêche les étudiants d’apprendre les notations qui leur permettraient de vraiment comprendre les problèmes

• Le déclin d’APL est dû à l’arrivée de Lotus 123 et de MS Excel

  • APL aurait pu avoir un impact bien plus grand
  • La communauté CS se concentrait sur Symbolics, l’IA et LISP

• L’hypothèse de Sapir-Whorf suggère que la langue peut limiter la pensée

  • Le langage et la pensée peuvent être déterminés par les règles de l’interaction sociale
  • La musique peut exprimer ce qui ne peut pas l’être autrement

• Un projet utilisant APL est en cours de développement

  • Les concepts d’APL servent de base à la pensée
  • NAATOT est enseigné dans un programme d’architecture
  • Le rêve est d’amener les étudiants à créer leur propre système de notation symbolique

• Il est regrettable qu’une application de notes Freeform n’ait pas pu être menée à terme

  • C’était une idée adaptée aux contenus techniques des domaines STEM
  • D’anciens carnets de chimie sont partagés en exemple

• Il s’agit du cours où l’expression « outil de pensée » a été utilisée pour la première fois

  • En apprenant APL, on découvre qu’il est possible de faire tenir beaucoup de code dans un tweet
  • La notation mathématique manque d’universalité et peut être interprétée différemment
  • Quand la notation est séparée de la visualisation et de l’ergonomie du problème, le coût est élevé
  • Les notations standard peuvent limiter la pensée créative

• Le document connexe mentionné est « Notation as a Tool of Thought » d’Iverson