- Cette figure fractale (« wallflower »), née d’un gribouillage de l’auteur au collège, présente une structure singulière générée d’une manière différente des méthodes habituelles
- L’auteur explore comment les caractéristiques de ce fractal peuvent être décrites mathématiquement à l’aide des L-systèmes et d’un encodage de position fondé sur des matrices
- En utilisant certaines matrices de déterminant ±5, on peut expliquer efficacement les changements d’échelle et les rotations de la figure, ainsi que sa disposition répétée dans l’espace
- L’auteur tente aussi une généralisation en 3D et 4D ; dans les dimensions supérieures, la conception des matrices devient essentielle pour tenir compte de la symétrie et de l’efficacité du pavage
- Il met en lumière les liens entre fractales, algèbre linéaire et systèmes de numération, et montre à travers cette exploration la valeur de la résolution créative de problèmes
Pour commencer : le secret du fractal accroché au mur
- Au collège, l’auteur a découvert un gribouillage sur papier quadrillé consistant à recopier et faire tourner des carrés pour remplir l’espace, qu’il appellera plus tard « wallflower », et y a gardé un intérêt pendant de longues années
- La structure lui semblait si particulière qu’il soupçonnait une signification mathématique profonde, sans parvenir à l’analyser à l’époque
- Maintenant que ses connaissances mathématiques ont progressé, il se met sérieusement à explorer le problème que son moi passé lui a laissé
Comment dessiner le fractal
- Commencer avec un seul carré
- Copier la figure actuelle et la placer une fois à gauche, à droite, en haut et en bas
- Ensuite, faire pivoter légèrement l’état existant d’environ 27 degrés dans le sens horaire, puis en recopier des versions dans les quatre directions
- Répéter les étapes 2 et 3 jusqu’à remplir la feuille
- On obtient ainsi un fractal qui se déploie comme une fleur
- Ce processus lui-même, comme la courbe de Gosper, peut couvrir tout le plan si on le répète à l’infini
Génération du contour du fractal via un L-système
- Une approche par L-système (règles de substitution de chaînes) est également possible : on n’utilise que des rotations de 90 degrés à droite
R ou à gauche L
- Règle initiale : départ avec
RRRR, puis substitutions R→RLR et L→RLL
- Le contour obtenu par L-système et celui de la méthode du collège commencent à diverger nettement à partir du 4e terme
- La méthode drag-and-drop place différemment chaque copie
- La méthode par L-système se caractérise par des copies en diagonale
Caractéristiques du wallflower sans image
- Le wallflower généré par la méthode drag-and-drop n’apparaît pratiquement nulle part sur Internet
- Il présente une propriété d’inversion répétée des directions selon les règles de substitution
L→RLR, R→LLR
- Il existe un lien entre l’angle de placement des copies (« 27 degrés »), la structure matricielle et les règles de substitution du L-système
Comment numéroter les cases (encodage de position du fractal)
- À la manière de la fonction de couplage de Cantor, on peut attribuer un numéro à chaque carré du fractal pour repérer efficacement l’espace
- À chaque itération, tout est étroitement lié aux multiples de 5 et aux puissances de 5 ; pour un encodage efficace, l’auteur adopte la base 5
- En observant les motifs de copie à gauche et à droite, il met au jour un lien entre déplacement géométrique et addition, comme « ajouter 200 »
Le sens spatial des matrices dans le fractal
- Le vecteur de position est exprimé comme un produit matriciel, avec une puissance de matrice appliquée à chaque chiffre selon sa position
- Exemple : avec la matrice
M=[−2 1; 1 2], de déterminant det(M)=-5, l’orientation s’inverse de façon répétée
- Avec
M′=[2 1; -1 2], de déterminant det(M′)=5, on obtient une structure proche des fractales de type Gosper ordinaires
- La valeur absolue du déterminant correspond exactement au taux de croissance de la taille du fractal et à son efficacité de remplissage de l’espace
- Si le déterminant est trop grand, des vides apparaissent ; s’il est trop petit, il y a collision
- Les vecteurs colonnes de chaque matrice doivent impérativement être entiers pour s’aligner correctement sur toute la grille de coordonnées
- Le calcul de l’angle du vecteur
|1,2|, arctan(2/1) ≈ 63.43 degrés, explique pourquoi il est incliné de « 27 degrés » par rapport à l’axe
Explorer la structure additive à travers le fractal
- On ne peut pas prédire toutes les positions par simple composition vectorielle (par exemple,
→2+→2≠→4)
- Les valeurs de 1 à 4 sont interprétées comme les quatre directions (haut, droite, bas, gauche), et une forme de « retenue » bidimensionnelle apparaît
- Cela se relie notamment à la generalized balanced ternary, et mène à des systèmes de numération 2D ou de dimension supérieure ainsi qu’à des structures sans point fixe
Possibilités de généralisation aux dimensions supérieures (3D, 4D)
Tentative d’extension en 3D
- Dans une matrice 3x3, chaque vecteur colonne doit être entier, avoir une distance de Hamming de 3, et la matrice doit avoir un déterminant de ±7
- En pratique, certaines zones restent vides lors de la visualisation, et un arrangement parfait est impossible
- On peut compenser partiellement avec des copies supplémentaires (une « forme en plus » à de nouvelles positions), mais obtenir une symétrie complète reste difficile
Extension en 4D
- Dans une matrice 4x4, chaque vecteur colonne doit être entier et satisfaire la condition « trois composantes à ±1 et une composante à 0 »
- Une nouvelle structure fractale appelée orthotopeflower devient alors possible en 4D
- On peut visualiser efficacement la structure entière sur le plan comme une grille 7x7 de grilles 7x7
Limites de la généralisation en dimension supérieure
- Si l’on combine les contraintes sur les matrices, la croissance d’échelle et les vecteurs entiers entre points, cette structure n’est valable qu’en dimensions 1, 2 et 4
- Au-delà, il est impossible de construire des matrices entières satisfaisant toutes les conditions
Connexions avec d’autres systèmes de numération
- Comme avec la base quater-imaginaire (un système de numération dont la base est le nombre imaginaire
2i), on peut étendre ce système fondé sur des matrices jusqu’aux nombres complexes et aux quaternions
- L’auteur a exploré l’idée d’un encodage quaternionique via une matrice 4D (base :
i+j+k), mais en laisse la vérification rigoureuse complète à son lui futur
Conclusion
- Une longue exploration personnelle des fractales, des systèmes de numération et de l’algèbre linéaire débouche ici sur une belle découverte mathématique
- Un simple gribouillage créatif et la curiosité peuvent réellement devenir le point de départ d’une mise au jour de principes profonds
- C’est un exemple de la manière dont le hasard, les essais-erreurs et la persévérance dans l’exploration peuvent faire émerger de nouvelles idées en mathématiques et en informatique
- L’auteur souligne aussi l’importance d’accepter les visualisations imparfaites ou les erreurs de règles comme faisant partie intégrante de la recherche
1 commentaires
Commentaires Hacker News
Une œuvre remarquable et une lecture très agréable
Impression d’un texte extrêmement perspicace et réfléchi ; mention que la visualisation 3D a particulièrement plu, et souvenir d’un projet réalisé il y a quelques années en utilisant une décimation récursive (recursive decimation) pour produire, à partir de n’importe quelle image, un effet proche d’un fractal, avec la possibilité d’expérimenter directement via le lien https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/ ; indication qu’on peut appuyer plusieurs fois sur Blursort 2x2 puis cliquer sur Animate pour générer une animation ; prise en charge aussi du copier/coller d’images ; fonctionne uniquement dans le navigateur sans backend séparé ; information partagée selon laquelle ce n’est pas recommandé sur mobile
Je m’attendais à une lecture légère, mais le texte était assez long ; je l’ai parcouru rapidement pendant une pause au travail, avec l’intention de revenir plus tard pour essayer plusieurs choses ; vraiment impressionné par la qualité de l’article
Avis selon lequel le texte est très bien écrit ; demande de partager comment le système de numérotation « middle out » a été imaginé ; inquiétude sur le fait que, lorsqu’on résout seul des problèmes de maths, ce genre d’idée inspirée ne vient pas facilement
En se laissant happer par le sujet, idée d’un L-system pour dessiner le fractal « wallflower », consultable via le lien https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip... ; puis aveu qu’en y repensant, cela génère probablement un autre fractal
Compliment sur la qualité du texte ; souhait qu’il y ait eu une photo de l’installation du fractal sur le mur ; le lien vers la vidéo de Knuth était très bien, mais surprise de ne jamais l’avoir connue jusque-là
Se demande si une méthode similaire pourrait aussi s’appliquer à la création de motifs de dithering dont le niveau de détail peut être ajusté
Appréciation positive du texte et recommandation du Heighway dragon, connu notamment grâce à Jurassic Park, qu’on trouve aussi assez impressionnant : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve
Mention qu’il ressemble un peu à une hélice
Impression que l’expérience était amusante