Grille infinie de résistances
(mathpages.com)- Dans une grille carrée infinie où tous les nœuds adjacents sont reliés par une résistance R, la résistance équivalente entre deux nœuds adjacents vaut R/2 par symétrie et superposition
- Ce calcul additionne un champ où l’on injecte du courant dans un nœud et un champ où l’on retire du courant dans le nœud voisin, en utilisant l’équation de Laplace discrète, selon laquelle la tension de chaque nœud est la moyenne de celles des quatre nœuds voisins
- Mais l’explication selon laquelle « le courant s’échappe vers l’infini » n’est pas rigoureuse, et la résistance entre un nœud et l’infini diverge comme une série harmonique impaire
- Pour déterminer la solution, il faut donc des conditions aux limites asymptotiques, par exemple la limite d’une grande grille finie ; dans une véritable grille infinie sans condition, la solution peut être arbitraire
- La résistance entre deux nœuds quelconques se calcule par superposition de solutions d’équations aux différences et de séries de Fourier ; avec des résistances unitaires, la résistance entre deux nœuds voisins en diagonale vaut 2/π
Calcul par symétrie de la résistance entre nœuds adjacents
- Supposons qu’il y ait une résistance R entre chaque paire de nœuds adjacents d’une grille carrée, et que la grille s’étende à l’infini dans toutes les directions
- La question centrale est de savoir comment calculer la résistance équivalente entre deux nœuds adjacents, ou plus généralement entre deux nœuds quelconques de la grille
- La méthode standard pour les nœuds adjacents consiste à décomposer puis additionner deux champs de courant
- une grille où l’on injecte du courant dans un nœud
- une grille où l’on extrait le même courant d’un autre nœud adjacent
- La tension de chaque nœud suit l’équation de Laplace discrète, c’est-à-dire qu’elle est égale à la moyenne des tensions des quatre nœuds voisins, et la linéarité permet de superposer les solutions
- Par exemple, si l’on injecte 4 A dans un nœud, la symétrie permet de considérer que 1 A circule dans chacune des résistances des quatre directions
- Si l’on y ajoute le champ de courant qui extrait 4 A du nœud adjacent, le lien reliant directement les deux nœuds transporte au total 2 A
- Comme les autres chemins de la grille, hors lien direct, transportent aussi une part du même courant, la résistance du lien direct et la résistance équivalente du reste de la grille sont identiques
- Le lien direct et le reste de la grille étant en parallèle, la résistance équivalente totale vaut R/2
Le piège créé par les conditions aux limites à l’infini
- L’argument par symétrie est intuitif et donne la même réponse que d’autres méthodes, mais il ne traite pas clairement la question de savoir où va le courant injecté dans un nœud d’une grille infinie
- Dire que la grille est « mise à la terre à l’infini » ne suffit pas
- Si l’on considère des chemins carrés concentriques autour du nœud central, le nombre de liens augmente vers l’extérieur comme 4, 12, 20, 28, …
- La résistance totale correspondante jusqu’à l’infini prend alors approximativement la forme d’une série harmonique impaire, qui diverge
- Pour faire circuler un courant d’un nœud vers l’infini, il faudrait une tension infinie entre le nœud et « l’infini »
- Une approche plus rigoureuse consiste à partir d’une grande grille finie, puis à vérifier que l’on approche le résultat voulu lorsque la taille de la grille augmente vers la limite
- Les limites d’une grille finie centrée sur le nœud à courant positif et d’une grille finie centrée sur le nœud à courant négatif doivent converger vers des conditions aux limites compatibles ; dans ce cas, le courant net vers l’infini doit être nul
- Une discussion connexe figure dans une autre note ; une véritable grille infinie reste indéterminée sans conditions aux limites asymptotiques
Idéalisation physique et indétermination de la solution
- L’hypothèse selon laquelle le champ de courant d’une grille infinie serait déjà entièrement établi jusqu’à l’infini ne peut pas être réalisée en un temps fini par un processus physique réaliste
- Comme la grille de ce problème est considérée comme ne contenant que des résistances idéales, sans capacité ni inductance, la dynamique du circuit n’est pas prise en compte
- Si l’on pousse cette idéalisation jusqu’au bout, on aboutit à l’idée qu’un champ de courant pourrait s’établir instantanément jusqu’à l’infini, ce qui est incompatible avec la vitesse de propagation finie des circuits réels
- Tous les circuits réels ont de la capacité et de l’inductance, donc la vitesse de propagation ne peut pas être infinie
- Si l’on a l’impression que la réponse est unique, c’est parce que l’on attribue implicitement un comportement asymptotique physiquement plausible issu de sources locales, comme la limite de grandes grilles finies
Généralisation par équations aux différences
- La résistance entre deux nœuds plus quelconques s’obtient en superposant des solutions de l’équation aux différences fondamentale
- Dans une grille unidimensionnelle de résistances unitaires, si l’on extrait 1 A à l’origine et que l’on impose un courant net nul aux autres nœuds, la solution en tension est proportionnelle à la valeur absolue de la distance
- Par conséquent, en une dimension, la résistance équivalente entre deux nœuds séparés par k résistances est, comme prévu, kR
- Dans une grille bidimensionnelle, le courant net au nœud
(m,n)s’exprime par les différences avec les tensions des quatre voisins, et les nœuds de courant net nul satisfont une équation aux différences bidimensionnelle - La solution peut se construire en superposant des composantes de la forme
μ^m ν^n, avec une équation caractéristique reliantμetν - En posant
μ = exp(iα)etν = exp(iβ), on peut superposer les solutions sous forme de Fourier par intégration - En prenant la valeur absolue des indices pour construire une solution qui extrait 1 A à l’origine, on obtient près de l’origine
V(1,0) = 1/4, ce qui concorde avec la résistance 1/2 Ω entre nœuds adjacents - Pour éliminer les courants indésirables le long des axes, on intègre plusieurs solutions par rapport à α et l’on détermine la fonction de pondération par série de Fourier
Formules de résistance pour les nœuds diagonaux et quelconques
- La résistance entre l’origine et
(m,n)s’exprime comme le double de la différence de tension par rapport à l’origine, et se réécrit sous forme intégrale - La résistance du nœud
(1,1), situé à un pas en diagonale, vaut 2/π pour des résistances unitaires - Ce résultat peut aussi être déduit de façon purement algébrique, sans séries de Fourier ; les détails figurent dans une note séparée
- Connaître la résistance
1/2entre nœuds adjacents et la résistance2/πentre nœuds voisins en diagonale permet de calculer, à partir de la seule équation aux différences fondamentale, les résistances de plusieurs nœuds environnants - La formule générale peut être simplifiée en exprimant
cos(mα)comme un polynôme trigonométrique des = cos(α) - En se concentrant sur la direction axiale
R(0,n), on peut encore réduire l’intégrale et calculer plusieurs valeurs par substitution - Une autre substitution consiste à poser
α = r+setβ = r-s, puis à réexprimer l’intégrale en utilisant la relationcos(r)cos(s)=1 - La résistance du nœud diagonal
(m,m)s’écrit, pour des résistances unitaires, comme2/πmultiplié par1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) - La résistance des autres nœuds peut être calculée par la relation de récurrence fondamentale
1 commentaires
Commentaires Hacker News
Du point de vue de quelqu’un qui est à la fois mathématicien et ingénieur électricien, l’ingénieur électricien dira qu’on ne peut pas mesurer sans faire circuler de courant ; et même après avoir fait circuler du courant, à cause de l’inductance et de la capacité distribuées, ainsi que de la vitesse de propagation du champ, il demandera « quand mesure-t-on ? »
En entendant ça, le mathématicien partira au bar boire quelque chose de fort
Parce qu’en allant assez loin, à certains nœuds, le nombre d’électrons qui se déplacent par seconde, autrement dit le flux de courant, sera de 0 ou 1
Ensuite, l’ingénieur peut ajouter des résistances en périphérie jusqu’à ce que le financement de la recherche soit épuisé ou que l’échéance de l’article du physicien approche
La vraie question difficile est de savoir quel pourcentage d’erreurs de soudure dans la grille, à chaque distance, on peut tolérer avant que le multimètre Fluke aux bornes du carré central ne détecte une panne
J’ai déjà entendu parler de la détection de fissures à distance dans des structures conductrices, par exemple une coque de sous-marin en fibre de carbone, via des variations locales de résistance ; le problème pourrait donc avoir un réel intérêt pratique
Dans la première, les composants du schéma représentent des objets physiques : les résistances ont un peu d’inductance, de non-linéarité, de capacité par rapport au plan de masse, etc. C’est généralement ce que signifie un schéma lorsqu’on utilise des outils comme OrCad
Dans la seconde, une résistance est un composant idéal obéissant à la loi d’Ohm, et les fils n’ont ni inductance, ni délai de propagation, ni résistance. Relier les bornes d’une source de tension par un fil devient alors un peu comme diviser par zéro
Parfois, en passant de la première interprétation à la seconde, on ajoute explicitement des résistances, des inductances, etc. pour modéliser le comportement réel du câblage. Si on ne le fait pas soi-même, SPICE peut parfois le faire à notre place
La grille infinie de résistances n’existe que dans la seconde interprétation
Alors la grille atteint l’état stationnaire et devient vraiment conforme au schéma
Il est facile de penser que cela n’a rien à voir avec les problèmes réels, mais en fait si. Simplement, le calcul en lui-même n’est pas entièrement utile
Vu depuis un point local d’un circuit intégré, la résistance du substrat de silicium ressemble en pratique à une grille de résistances unitaires infiniment grande
Le substrat de silicium est souvent de type p fortement dopé, et les informations fournies par la fonderie se limitent généralement à la résistivité, le plus souvent entre 1 et 100 Ω·cm. Sur les nœuds de procédés les plus avancés, elle est souvent de 10 Ω·cm
Pour se faire une idée du couplage de bruit à travers le substrat, il faut raisonner en termes de grille plutôt que de simplement calculer la résistance entre les points A et B. Comme il faut aussi répartir une grille de contacts de substrat pour collecter le courant de bruit, la grille réapparaît finalement
D’un point de vue pédagogique, il me semble beaucoup plus utile de demander la résistance équivalente entre deux sommets opposés d’un cube fait de résistances de 1 Ω
Cela aide à développer l’intuition sur la symétrie des circuits et la loi des nœuds de Kirchhoff
La grille infinie semble pouvoir être résolue dans un cours d’introduction aux circuits, mais en réalité elle relève plutôt d’un problème mathématique beaucoup trop ardu
C’était précisément le genre de problème que je détestais pendant mon cursus d’ingénierie électrique
C’était une expérience de pensée que les professeurs adoraient
En cours, nous avions étudié les réseaux de résistances en échelle infinie, mais à l’époque, appliquer cette connaissance à ce problème me semblait être un saut assez considérable
Ce que je ne comprends pas dans la solution simple fondée sur la symétrie, c’est l’hypothèse selon laquelle « si l’on accepte que les champs de courant dus au nœud positif et au nœud négatif puissent être traités séparément »
Je me demande pourquoi les courants de la solution à deux nœuds, c’est-à-dire une solution non symétrique, seraient simplement la somme de deux solutions à nœud unique, qui elles sont symétriques
Bien sûr, la solution à deux nœuds possède aussi certaines symétries, mais pas la symétrie d’origine qui permettait de déduire que les courants étaient identiques dans toutes les directions
C’est la même logique qui explique le fonctionnement des interférences ou des réseaux optiques
Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans l’explication par la symétrie et le principe de superposition
Je ne vois pas pourquoi les nœuds adjacents sont alpha-bêta-alpha et non alpha-alpha-alpha. Autrement dit, pourquoi une seule direction est distinguée et les deux autres considérées comme identiques ?
Mais comme le problème est symétrique par rapport à l’axe vertical, on peut retourner le dessin, et le courant qui passe par le chemin retourné doit être identique à celui d’avant le retournement ; on peut donc noter quels i sont égaux entre eux
On fait la même chose pour l’axe horizontal, puis pour la symétrie par rotation de 90 degrés
Au final, plusieurs i se révèlent égaux, et on peut les regrouper en deux ensembles distincts. On peut appeler ces groupes alpha et bêta
Vu autrement, avec les seules opérations de symétrie données, on ne peut pas passer d’un alpha à un bêta. Ce n’est pas pareil que de passer d’un alpha à un autre alpha, ou d’un bêta à un autre bêta
Pendant ma licence de physique, j’ai travaillé en équipe sur une expérience de théorie de la percolation
Nous fabriquions plusieurs grilles avec de l’encre conductrice, en retirant un certain nombre de liens, c’est-à-dire d’arêtes du graphe
Il était difficile de produire une encre conductrice qui s’écoule uniformément, et j’ai écrit tout le logiciel pour le traceur XY afin de lui faire dessiner des grilles rectangulaires et triangulaires
Ensuite, nous mesurions la résistance d’un côté à l’autre
Je n’ai pas un niveau de maths suffisant pour suivre tout l’article, mais mon intuition en tant que personne qui travaille en électronique est que lorsqu’un système quantifié interagit avec l’infini, cet infini est limité par la taille de l’élément quantifié
La charge est quantifiée. Puisque moins d’un électron ne peut pas traverser un nœud, j’ai l’impression qu’une grille infinie de résistances se comporte comme une grille finie de résistances dont la taille varie selon la quantité de charge injectée dans le système
Les électrons sont aussi des ondes, et cette onde peut se propager sur toute la grille
Autre point intéressant : dans une grille infinie, il existe toujours quelque part une haute tension spontanée. Probablement très loin, mais cela reste étrange
Dans beaucoup de cas, on ne s’intéresse qu’à une moyenne sur un certain temps et un certain espace. Par exemple, l’écoulement macroscopique de l’eau se comporte très différemment de la vitesse des molécules individuelles
Les seules personnes qui ont une chance, même vaguement non nulle, de se former une intuition de l’infini sont les mathématiciens
C’est le cas discret de la résistance de couche. [1]
Dans ce cas, la résistance entre deux points quelconques, ici deux nœuds, est la même
Cela faisait autrefois partie du programme universitaire d’ingénierie électrique, mais je ne me souviens plus de la dérivation de la solution
[1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance
À propos, Veritasium avait une excellente vidéo assez similaire, sur le chemin emprunté par la lumière
Je mets le lien vers ce qui est, parmi celles que j’ai vues, la meilleure démonstration de physique
https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500
Bien sûr, la même théorie sous-jacente explique aussi qu’avec des frontières finies il y a toujours de la diffraction, ce qui donne une réalité indiscernable d’un monde où la lumière emprunterait effectivement tous les chemins possibles
Mais affirmer que la lumière le fait réellement relève peut-être davantage de la métaphysique que de la physique
En plus, les performances de diffraction du laser sont probablement loin des limites physiques, ce qui rend la démonstration encore moins convaincante
Un observateur cynique dirait : « n’est-ce pas simplement qu’une partie de la lumière du laser sort de l’axe ? », et il aurait raison. Les lois de la physique font qu’une partie de la lumière sort toujours de l’axe, mais cette démonstration ne le prouve pas