Grille infinie de résistances

• L’énigme classique de la grille infinie de résistances consiste à trouver la résistance effective entre des nœuds adjacents dans une grille carrée infinie
• La résistance effective entre deux nœuds adjacents peut être exprimée comme R/2 en utilisant la symétrie de la grille et la résolution de l’équation de Laplace
• Dans une grille infinie, selon les positions d’injection et d’extraction du courant ainsi que les conditions aux limites, la solution peut être indéterminée
• Contrairement à un circuit physique réel, une grille idéalisée est difficile à analyser rigoureusement
• Il est possible de calculer la résistance entre toutes les paires de nœuds à l’aide de plusieurs méthodes mathématiques (équations aux différences, séries de Fourier, etc.) et de formules intégrales

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Introduction et définition du problème

• La « grille infinie de résistances » suppose une structure où chaque nœud adjacent d’une grille carrée est relié par une résistance R
• Dans cette structure, il s’agit d’une énigme consistant à trouver la résistance effective entre deux nœuds donnés (le plus souvent adjacents)
• Entre deux nœuds adjacents, la résistance vaut R/2 grâce à la symétrie et à une interprétation intuitive
• Cela est analogue aux propriétés de potentiel d’un dipôle électrique, et la tension aux nœuds de la grille suit également une forme discrète de l’équation de Laplace

Solution intuitive et ses limites

• En injectant du courant en un seul nœud d’une grille infinie, on suppose une répartition symétrique où le courant se propage uniformément dans les quatre directions
• En superposant les solutions de deux cas où l’on injecte et extrait du courant entre deux nœuds adjacents, on obtient une résistance de R/2 dans la direction considérée
• Cette méthode paraît intuitive, mais pour la démontrer rigoureusement, il faut une explication plus stricte du comportement de la tension et du courant à l’infini, ainsi que du chemin global d’entrée et de sortie du courant
• En réalité, à partir du nœud central, la résistance diverge vers l’infini lorsqu’on s’éloigne vers l’infini ; interpréter simplement l’infini comme une mise à la terre n’est donc pas physiquement rigoureux

Analyse mathématique rigoureuse

Grille finie et grille infinie

• Pour analyser rigoureusement le problème, il faut en pratique considérer la limite d’une grille finie mais très grande
• Il faut ajuster les conditions aux limites dans une structure de grille qui s’étend progressivement du centre vers la périphérie afin d’obtenir une solution physiquement admissible
• Dans une structure infinie, il existe toujours un problème d’indétermination : sans conditions aux limites, aucune solution propre n’est fixée de manière unique

Méthode par équation aux différences pour une grille unidimensionnelle

• Dans un réseau unidimensionnel de résistances, on établit une équation aux différences puis on applique un terme de résonance dans la solution générale pour obtenir la distribution de tension à chaque nœud
• Le potentiel du n-ième nœud vaut |n|/2, et avec k résistances, la résistance effective devient kR

Analyse de la grille bidimensionnelle

• Dans une grille bidimensionnelle, le potentiel à la position (m,n) peut lui aussi être exprimé par une équation aux différences
• Après avoir construit des séries de Fourier et plusieurs solutions propres, on résout le problème par intégration (superposition) de manière à satisfaire toutes les conditions en différents points
• La tension au nœud adjacent (1,0) est de 1/4V, et lorsque le courant vaut -1A, la résistance est 1/2
• Pour des positions plus complexes (par exemple des nœuds situés sur une diagonale), on obtient une formulation à l’aide de formules intégrales

Formules intégrales et généralisation

• La valeur de la résistance entre toutes les paires de nœuds de la grille peut être généralisée au moyen d’intégrales à plusieurs variables (par exemple α, β et des variables de substitution comme s, σ, etc.)
• Au cours de l’analyse, on peut simplifier les calculs en utilisant des équations propres, des polynômes trigonométriques et des changements de variables
• La résistance entre des nœuds sur une diagonale, ainsi qu’entre d’autres nœuds, peut être calculée au moyen d’intégrales appropriées et de relations de récurrence
• Divers outils mathématiques sont mobilisés : séries de Fourier, substitutions trigonométriques, changements de variables, etc.

Conclusion et autres remarques

• La grille infinie de résistances semble admettre une solution intuitive claire grâce à la symétrie et à la structure mathématique, mais rigoureusement il faut examiner les conditions aux limites et la plausibilité physique
• Le calcul des résistances peut être généralisé à l’aide de techniques mathématiques (équations aux différences, intégrales, traitement des singularités, etc.)
• La grille idéale n’obéit pas aux lois physiques d’un circuit réel (propagation à vitesse finie, résistance finie, etc.), et il existe un écart de sens entre la réalité et la théorie
• Les cas d’usage pratiques ou d’autres approches mathématiques sont traités plus en détail dans une note de mathématiques séparée

[GN⁺]

Commentaires sur Hacker News

• Les gens pensent que cela n’a aucun rapport avec les problèmes réels de l’industrie, mais je voudrais souligner qu’en pratique la résistance d’un substrat de silicium ressemble beaucoup à une grille infinie de résistances. Le substrat de silicium est généralement fortement dopé (type p), et les informations fournies par la fab ne donnent en général que la résistivité (resistivity, en général 1 à 100 ohmcm). Dans les procédés récents, on est souvent autour de 10 ohmcm. Pour comprendre le couplage du bruit à travers le substrat, il faut une intuition qui ne repose pas sur le calcul d’une seule résistance point à point, mais sur la grille dans son ensemble. Comme il faut répartir les contacts de substrat sous forme de grille pour collecter le bruit, on retombe finalement sur le problème de la grille infinie de résistances

  • J’avais vaguement l’impression que la photolithographie était juste quelque chose de difficile, mais je ne savais pas que c’était un domaine vraiment assez complexe pour qu’on y croise le nom d’une déesse égyptienne (Lito). C’est mon ressenti après l’avoir expérimenté directement

  • Je pense que la situation décrite est plutôt un modèle continu, donc mathématiquement plus simple

  • Je veux insister sur le fait que l’unité de la résistivité est bien ohm*cm. C’est quelque chose que j’ai appris autrefois en travaillant chez Fairchild

• J’ai à la fois une perspective de mathématicien et d’ingénieur en électronique. En tant qu’ingénieur, je soutiens que pour mesurer une résistance expérimentalement, il faut réellement injecter un courant. Et ensuite on en vient à demander à quel moment ce courant a été appliqué, ce qui fait intervenir l’inductance et la capacité distribuées, ainsi que la vitesse de propagation du champ. Le mathématicien qui entend cela va au bar se calmer avec un verre bien fort

  • Au final, on se retrouve dans une situation où il faut faire venir un physicien. Le physicien fait remarquer qu’à une distance suffisamment grande, les effets quantiques finissent par dominer. Pour un nœud très éloigné, le nombre d’électrons qui se déplacent par seconde, autrement dit le courant, finit par être soit 0 soit 1

  • À la question « Quand ? », on peut répondre qu’il suffit d’attendre un temps infini, jusqu’à la disparition de toutes les réponses transitoires. À ce moment-là, la grille entre en régime permanent et se retrouve exactement dans l’état qu’on voit sur un schéma électrique

  • Je pense qu’il existe deux façons d’interpréter un schéma électrique. La première consiste à représenter de vrais composants physiques — résistances, inductances, non-linéarités logiques, capacité du plan de masse, etc. C’est l’interprétation que l’on vise avec un outil comme OrCad. La seconde est un monde virtuel idéal où les résistances n’obéissent qu’à la loi d’Ohm idéale, et où les fils n’ont ni inductance, ni retard, ni résistance. Dans ce cas, relier directement les deux bornes d’une source de tension revient à diviser par zéro. Parfois, quand on veut modéliser un circuit réel, on traduit de la première interprétation vers la seconde en ajoutant explicitement des inductances, résistances, etc. Sinon, le simulateur SPICE s’en charge de lui-même. La grille infinie de résistances n’existe que dans la seconde interprétation

  • Il est certain que la grille infinie de résistances est un simple problème « jouet », mais supposer que l’univers est effectivement infini reste quelque chose de très concret en astrophysique. Je me demande si notre manque d’intuition à cette échelle crée des angles morts invisibles dans notre manière de comprendre l’univers

  • Je me demande, pour le plaisir, si une grille infinie de résistances pourrait donner naissance à des structures comparables à des planètes

• D’un point de vue pédagogique, je pense que le problème de la résistance entre deux sommets opposés d’un cube constitué de résistances de 1 ohm est bien plus utile pour apprendre l’intuition, la symétrie des circuits et des concepts comme la loi des nœuds de Kirchhoff. La grille infinie paraît trop lointaine, même mathématiquement, pour être un problème réaliste dans un cours d’introduction

• Dans les solutions centrées sur une simple explication par symétrie, j’ai du mal à comprendre à quel moment on doit accepter l’hypothèse selon laquelle « on peut séparer les nœuds plus/moins et considérer pour chacun son propre champ de courant ». Il reste bien une symétrie entre les deux nœuds, mais on ne peut plus supposer comme au départ un courant identique dans toutes les directions, donc cela me laisse perplexe

  • On explique que les équations de Maxwell sont linéaires pour les champs électriques et magnétiques, ce qui permet d’additionner et de soustraire les champs et les potentiels. C’est le même principe que celui à l’œuvre dans l’interférence ou dans les réseaux optiques

• Ce problème était tombé dans un cours de génie électrique et électronique pendant ma licence, et je le détestais vraiment. C’était le genre d’expérience de pensée que les professeurs adoraient

  • Personnellement, la première et la dernière fois que je l’ai vu, c’était comme première question parmi quatre à l’examen final de fin de première année. En cours, on avait travaillé le problème de la résistance en échelle infinie, mais devoir appliquer cette idée à ce problème m’a paru assez difficile au début

• Ce problème est une version discrète de la « résistance surfacique » (sheet resistance). La résistance entre chaque paire de nœuds est identique. On en parlait dans les anciens cursus universitaires d’EE, mais je ne me souviens plus très bien de la méthode pour obtenir la solution. (Voir le wiki sur la résistance surfacique)

• Veritasium avait mis en ligne une excellente vidéo sur un sujet voisin montrant les chemins empruntés par la lumière. Je joins un lien horodaté vers ce qui est, à mon avis, la meilleure démo de physique que j’aie vue : démo YouTube de Veritasium

  • En réalité, il est difficile de dire que cette démo est si impressionnante, parce que la « lumière du chemin ajouté » est en fait un effet qui s’explique par la diffraction du laser. Dès qu’une frontière est finie, il y a toujours diffraction, si bien qu’au final il devient difficile de distinguer cela de l’interprétation selon laquelle « la lumière emprunte tous les chemins possibles ». Mais cela ne constitue pas pour autant une preuve équivalente de l’énoncé selon lequel elle suit réellement plusieurs chemins. De plus, les caractéristiques de diffraction du laser lui-même seront probablement bien moins bonnes que les limites physiques réelles. En étant cynique, on peut se demander : « Est-ce que ce n’est pas simplement parce que le laser émet aussi un peu de lumière hors axe ? » Et physiquement, c’est effectivement le cas. La démo ne peut pas tout expliquer à elle seule

• Dans les explications fondées sur la symétrie et la superposition, je ne comprends pas bien pourquoi on obtient alpha-bêta-alpha sur les nœuds adjacents, et non alpha-alpha-alpha. Pourquoi une seule direction est-elle distinguée, tandis que les autres sont traitées de la même manière ?

  • Au départ, on suppose que les courants adjacents peuvent tous être différents, et on les note de i_1 à i_12. Ensuite, comme la figure est symétrique par rapport à l’axe vertical, on marque les cas où les courants prennent la même valeur aux positions qui se replient l’une sur l’autre. On applique la même chose pour l’axe horizontal. On cherche aussi la symétrie de rotation à 90 degrés, et on exploite toutes les vérifications possibles. De cette manière, plusieurs valeurs de i se regroupent naturellement en deux ensembles, qu’on peut appeler alpha et bêta. En outre, la symétrie ne permet pas d’échanger alpha et bêta entre eux — ils ont donc des propriétés différentes — d’où cette distinction

• Si on étend cela à l’infini, on retombe finalement sur la formule R = rl/A (résistivité * longueur / section). Mais comme la longueur (l) est infinie et la section (A) aussi, on obtient « infini / infini », donc une valeur indéfinie. J’aurais envie de dire qu’au lieu de perdre du temps à résoudre ce genre de problème « inutile », on ferait mieux de l’employer à des choses plus utiles

• Ce problème est aussi connu comme un problème de filtre passe-haut appris par les étudiants de première année en EE