Une visualisation née de la curiosité pour l’hélice sphérique

• Introduction au concept de représentation du déplacement d’un objet en 3D à l’aide de fonctions paramétriques
• Explication de la manière de construire mathématiquement des trajectoires de complexité croissante, du cercle à l’hélice, puis à la trajectoire d’hélice sphérique
• En définissant chaque axe de coordonnées (x, y, z) comme une fonction du temps, il devient possible d’implémenter des mouvements variés
• Dans le cas particulier de l’hélice sphérique, une trajectoire hélicoïdale en 3D est créée en multipliant des fonctions trigonométriques qui font varier le rayon
• Un exemple créatif qui montre que cette méthode permet de déplacer un objet selon une trajectoire arbitraire

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Exploration du déplacement d’objets dans l’espace 3D

Cet article présente une exploration personnelle de différentes façons de déplacer un objet dans l’espace 3D, et en particulier de la manière de définir et d’implémenter mathématiquement une trajectoire d’hélice sphérique (spherical helix)

Bases de l’hélice et du déplacement en trois dimensions

• Une hélice désigne une structure tridimensionnelle qui s’enroule en tournant, comme un ressort

• Une hélice sphérique correspond à l’idée d’un parcours en spirale le long de la surface d’une sphère

• La position d’un objet dans l’espace 3D est déterminée par les coordonnées des trois axes x, y et z

  • axe x : déplacement gauche-droite
  • axe y : déplacement haut-bas
  • axe z : variation avant-arrière (profondeur)

• Si l’on définit la position d’un objet à l’aide de fonctions mathématiques en fonction du temps (t), on peut créer une trajectoire de déplacement

Fonctions paramétriques et exemples de trajectoires simples

• Exemple : si la position en x est définie par 10 * cos(πt/2), on obtient un mouvement oscillant en cosinus qui fait l’aller-retour entre -10 et 10 toutes les 2 secondes

• De la même façon, en définissant la position en y par 10 * cos(πt/2), on peut aussi produire un mouvement de va-et-vient vertical

• Si l’on utilise des fonctions différentes pour x et y (par exemple x = 10 * cos(πt/2), y = 10 * sin(πt/2)), on obtient des mouvements déphasés, et leur combinaison crée une trajectoire circulaire

• En multipliant la fonction par un terme proportionnel au temps (par exemple x = 0.03 * t * cos(πt/2)), on peut créer un motif dont le rayon augmente progressivement, autrement dit une trajectoire en spirale (spiral)

Créer une trajectoire d’hélice sphérique (spherical helix)

• Contrairement à une spirale plane classique, une hélice sphérique nécessite une trajectoire en 3D

  • pour z, on peut utiliser une expression comme 10 * cos(0.02 * πt) afin de faire varier progressivement la position avant-arrière

• Pour x et y, l’utilisation d’un produit de fonctions trigonométriques comme sin(0.02 * πt) permet d’obtenir un effet où le rayon est maximal au milieu et plus petit aux deux extrémités

• En appliquant ce produit à la fois à x et à y, il devient possible de créer une trajectoire qui effectue un mouvement circulaire tout en suivant une hélice à la surface de la sphère, donc en trois dimensions

• Cette combinaison de fonctions permet d’aboutir à une implémentation mathématique complète d’une trajectoire d’hélice sphérique

Résumé et usages

• Toute trajectoire 3D peut être construite en définissant x, y et z comme des fonctions paramétriques du temps
• Cela signifie qu’il est possible de spécifier mathématiquement aussi bien un cercle ou une spirale simples que des trajectoires complexes
• Cette approche permet de comprendre visuellement que même des mouvements complexes ne relèvent pas du chaos, mais correspondent en réalité à des trajectoires mathématiques clairement définies

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