Attracteurs étranges (Strange Attractors)

• Projet de visualisation des attracteurs étranges (Strange Attractors) avec Three.js, montrant comment des équations mathématiques simples peuvent générer des motifs complexes et magnifiques
• Présente les concepts de base des systèmes dynamiques (Dynamical Systems) et de la théorie du chaos (Chaos Theory), en se concentrant sur l’état d’un système qui évolue dans le temps et sur les règles qui déterminent cette évolution
• Les attracteurs étranges sont définis par quatre caractéristiques : structure fractale, sensibilité aux conditions initiales, trajectoires apériodiques et ordre au sein du chaos
• Illustre l’effet papillon avec une visualisation du Thomas Attractor, en montrant comment de minuscules variations du paramètre a produisent des motifs totalement différents
• Met en œuvre une visualisation en temps réel en calculant et en rendant efficacement des milliers de particules grâce à la technique GPU de ping-pong rendering

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Systèmes dynamiques et théorie du chaos

• Un système dynamique est une manière de modéliser mathématiquement des phénomènes qui évoluent dans le temps, avec des exemples variés comme le mouvement des planètes, la croissance démographique ou le marché boursier

  • Il se compose de l’espace des phases (Phase Space), qui représente tous les états possibles du système, et de la dynamique (Dynamics), qui fait passer d’un état au suivant
  • Par exemple, dans un modèle de croissance démographique, la taille de la population et son taux de croissance constituent l’état dans l’espace des phases, tandis que le taux de natalité, le taux de mortalité et la capacité de charge de l’environnement déterminent la dynamique

• La théorie du chaos (Chaos Theory) est le domaine qui étudie les systèmes imprévisibles, et de nombreux phénomènes naturels relèvent de ces systèmes non linéaires et sensibles

  • Elle explique des phénomènes où des règles existent, mais où la prédiction devient impossible à cause d’informations incomplètes
  • L’effet papillon, où une petite différence dans les conditions initiales modifie fortement le résultat, en est une caractéristique emblématique

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Attracteur (Attractor) et attracteur étrange (Strange Attractor)

• Un attracteur (Attractor) est un ensemble d’états vers lequel un système converge au fil du temps, comme par exemple le point d’arrêt d’un pendule

  • La convergence vers un attracteur s’explique par des facteurs comme la stabilité, la dissipation d’énergie (Dissipation) ou la contraction (Contraction)

• Un attracteur étrange (Strange Attractor) est un attracteur dont les trajectoires deviennent imprévisibles à cause d’équations non linéaires complexes, avec les caractéristiques suivantes

  1. Structure fractale : des motifs complexes qui se répètent à différentes échelles
  2. Sensibilité aux conditions initiales : de petites variations conduisent à des résultats totalement différents
  3. Trajectoires apériodiques : elles ne répètent pas exactement le même chemin
  4. Ordre dans le chaos : l’ensemble peut sembler aléatoire, mais une structure interne subsiste

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Effet papillon et visualisation du Thomas Attractor

• L’effet papillon désigne le phénomène par lequel un petit changement produit à long terme une grande différence, souvent illustré par la métaphore selon laquelle « le battement d’ailes d’un papillon en Chine provoque un ouragan dans les Caraïbes »
• Lorsque la valeur du paramètre a du Thomas Attractor est modifiée à 0.10, 0.13, 0.19 ou 0.21, les trajectoires des particules et la forme globale changent complètement
• Si l’état initial passe de cube à sphere surface, les particules suivent des chemins différents, mais convergent finalement vers le même état attracteur

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Détails d’implémentation

• La visualisation utilise Three.js pour calculer et rendre directement sur le GPU un grand nombre de particules
• La technique de ping-pong rendering minimise les transferts de données entre CPU et GPU en alternant deux framebuffer objects (FBO)
  • Les buffers ping et pong stockent respectivement l’état courant et l’état suivant
  • Le programme de shader met à jour la position de chaque particule en fonction des équations de l’attracteur
  • À chaque frame, les buffers sont échangés pour rendre le nouvel état des particules

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Références et ressources supplémentaires

• Les ressources citées incluent notamment la visualisation d’attracteurs de Maxim, Wikipedia: Attractor, List of Chaotic Maps et WebGLFundamentals: Ping Pong Rendering
• D’autres exemples de visualisations 3D d’attracteurs sont présentés sur chaoticatmospheres.com, dynamicmath.xyz et Reddit r/generative
• L’auteur recueille des retours via la page GitHub Discussion du blog et prévoit une intégration au blog à l’avenir