- Il est avancé qu’un unique opérateur binaire EML de la forme exp(x) − ln(y) peut générer toutes les fonctions élémentaires et constantes
- Avec cet opérateur et la seule constante 1, il est possible d’exprimer les opérations arithmétiques, les fonctions transcendantes (sin, cos, log, √, etc.) et les constantes complexes (e, π, i)
- Toutes les expressions EML sont constituées d’arbres binaires de même structure de nœuds, ce qui permet leur utilisation en régression symbolique et apprentissage fondé sur le gradient
- EML joue le rôle d’un équivalent mathématique de la porte NAND, en tant qu’opérateur universel unique pour les mathématiques continues
- Cette découverte montre que toutes les fonctions élémentaires peuvent être réduites à une seule règle générative, ouvrant de nouvelles possibilités pour la recherche d’expressions et l’IA symbolique
Définition de l’unique opérateur binaire EML
- Il est proposé qu’un unique opérateur binaire de la forme eml(x, y) = exp(x) − ln(y) puisse générer toutes les fonctions élémentaires
- Avec cet opérateur et la seule constante 1, on peut exprimer les opérations arithmétiques (+, −, ×, /, puissances), les fonctions transcendantes (sin, cos, log, √, etc.) ainsi que les constantes (e, π, i)
- Par exemple, e^x = eml(x, 1), et ln x = eml(1, eml(eml(1, x), 1))
- L’opérateur EML (Exp–Minus–Log) effectue ses calculs sur le domaine des nombres complexes (C)
- La constante 1 sert à neutraliser le terme logarithmique via ln(1)=0
- Le calcul de ln(−1) permet de générer des constantes complexes comme i et π
- Cet opérateur est présenté comme l’opération de base unique des mathématiques continues, en correspondance avec la porte NAND de la logique numérique
- De la même façon que NAND permet de construire toute la logique booléenne, EML permet de construire toutes les fonctions élémentaires
Concept d’une calculatrice fondée sur un opérateur unique
- Présentation du concept de « calculatrice à deux boutons »
- Avec un seul opérateur binaire (EML) et une seule constante (1), il devient possible de réaliser toutes les fonctions d’une calculatrice scientifique
- Même sans opérateur supplémentaire, on peut calculer toutes les fonctions élémentaires réelles et complexes
- Il est impossible de réduire davantage le nombre d’opérateurs
- Au minimum, il faut un opérateur binaire et un symbole terminal (une constante)
Caractéristiques structurelles des expressions EML
- Toutes les expressions EML prennent la forme d’une structure d’arbre binaire composée de nœuds identiques
- Forme grammaticale : S → 1 | eml(S, S)
- Cela peut s’interpréter comme un langage hors contexte isomorphe aux structures de Catalan et aux arbres binaires complets
- Cette structure uniforme permet l’application de l’optimisation fondée sur le gradient (Adam, etc.) en régression symbolique
- En utilisant les arbres EML comme circuits entraînables, il est possible de reconstruire avec précision des fonctions élémentaires en forme fermée avec des profondeurs d’arbre faibles (jusqu’à 4)
- Lorsque la loi génératrice est une fonction élémentaire, les poids appris peuvent converger vers la forme exacte de la formule
Processus de découverte et implications mathématiques
- L’opérateur EML a été découvert par une recherche exhaustive systématique
- Les résultats ont confirmé qu’EML constitue une base opératoire complète pour une calculatrice scientifique
- Les auteurs ont utilisé une approche de « calculatrice cassée », consistant à réduire progressivement le nombre d’opérateurs
- En passant de 4 → 3 → 2 → 1 opérateur, tout en conservant la complétude fonctionnelle
- EML présente une simplicité inattendue et se définit comme un opérateur binaire lui-même construit à partir de fonctions élémentaires
- L’existence d’EML montre que les fonctions élémentaires appartiennent à une hiérarchie générative bien plus simple qu’attendu
- Cela étend l’idée selon laquelle diverses fonctions peuvent être réduites à des combinaisons de exp et ln
- Comme il devient possible d’exprimer toutes les formules mathématiques à partir d’un unique composant itérable, on peut envisager
- une représentation circuitaire des expressions mathématiques, analogue à la construction des circuits électroniques à partir de transistors
- Cette représentation uniforme sous forme de circuit ouvre de nouvelles possibilités pour la recherche, l’évaluation et l’apprentissage de formules
Concepts liés et contexte historique
- La universalité d’un élément de base unique est une notion importante en mathématiques, en ingénierie et en biologie
- Exemples : portes NAND/NOR, fonction d’activation ReLU, combinateurs K,S, OISC(SUBLEQ), automate cellulaire Rule 110, etc.
- Les éléments de type Sheffer sont rares, et leur découverte demande du temps, du calcul et de la chance
- EML est présenté comme un exemple de ce type d’opérateur continu de Sheffer
- Le travail s’appuie sur des relations de réduction déjà connues, comme l’expressivité réciproque des logarithmes et des exponentielles (x×y = e^{ln x + ln y}, x+y = ln(e^x × e^y)) ainsi que la formule d’Euler (e^{iφ} = cos φ + i sin φ)
Ensemble des fonctions élémentaires et extensions futures
- L’étude prend comme point de départ un ensemble de fonctions élémentaires au niveau d’une calculatrice scientifique
- Constantes : π, e, i, −1, 1, 2, x, y
- Fonctions unaires : exp, ln, inv(1/x), minus(−x), √, sqr(x²), σ(1/(1+e^−x)), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh, etc.
- Opérations binaires : +, −, ×, /, log, pow(x^y), avg((x+y)/2), hypot(√(x²+y²))
- Il est démontré que cet ensemble complet peut être entièrement remplacé par l’unique opérateur EML et la constante 1
- Lors de l’exploration initiale, des opérateurs similaires dotés de propriétés encore plus fortes ont aussi été trouvés
- Par exemple : une variante ternaire ne nécessitant aucune constante
- EML est présenté comme un point de départ montrant qu’il peut exister un opérateur générateur unique pour les mathématiques continues
- Avec, à l’avenir, des applications possibles dans la découverte automatique de formules, l’IA symbolique et l’optimisation des représentations mathématiques
2 commentaires
Si on l’exprime sous forme de formule, cela donne donc $eml(x, y) = e^x - ln(x)$.
Cela dit, il faudrait sans doute qu’apparaisse un processeur capable de calculer $e^x$ ou $ln(x)$ d’un seul coup pour que cela révèle vraiment tout son potentiel.
Commentaires Hacker News
Cette approche n’a rien de particulièrement unique ni de minimal en coût de calcul
Par exemple, si on définit f(x, y) = 1/(x - y), cela devient aussi un opérateur universel
En posant x#y = 1/(x - y), on obtient la réciproque avec x#0 = 1/x, et on peut exprimer la soustraction avec (x#y)#0 = x - y
Le fait qu’on puisse construire les quatre opérations de base avec seulement la réciproque et la soustraction est un exercice classique
On peut trouver une courte preuve correspondante dans cette note
Ravi de voir une idée de type FRACTRAN arriver en page principale
Ça me fait penser à l’encodage d’une pile de 1 bit en binaire.
Push 0 revient à doubler le nombre, push 1 à le doubler puis ajouter 1. Pop revient à diviser par 2
J’utilise un langage concaténatif appelé Rejoice fondé sur une idée proche. Les données y sont représentées comme des multisets composés par multiplication
Wiki Rejoice
C’est un bon benchmark pour tester les performances des LLM
Opus (payant) a échoué en disant que “2” était récursif, mais comme ChatGPT l’avait déjà fait, il a finalement réussi
ChatGPT (gratuit) a réussi du premier coup, Grok a fait de l’estimation de profondeur, Gemini a réussi, Deepseek n’a pas pu charger le PDF, Kimi s’est arrêté en cours de route, GLM s’en est bien sorti
Visualisation de 36 fonctions EML distinctes à deux niveaux d’une seule variable
Les 18 premières donnent des sorties réelles, les autres passent par des valeurs complexes intermédiaires
Lien image
Les tables de fonctions des vieux ouvrages de mathématiques pourraient alors être réinterprétées comme une simple recherche par hachage
L’idée que « tout calcul est possible avec EML et le seul nombre 1 » me fait penser au combinateur Iota
Cela ressemble au concept d’atteindre la complétude de Turing avec un système formel minimal
Le lien actuel vers l’article pointe vers la v1, où les figures manquent. Il faudrait passer à la v2
Je suis encore en train de le lire, mais si c’est vrai, cela pourrait être une grande découverte comme on n’en a pas vu depuis des années
Si l’on pouvait ajuster des données ou des fonctions d’onde avec des arbres EML plutôt qu’avec des splines ou des polynômes,
alors des fonctions à plusieurs variables pourraient aussi être apprises par gradient descent puis converties en arbres d’approximation EML
On pourrait même les entraîner à satisfaire les conditions sur les dérivées de l’équation de Schrödinger
Ça paraît presque trop beau pour être vrai, mais ce genre de chose s’est déjà produit
Pour exprimer une seule multiplication, il faut un arbre de profondeur 8 et plus de 41 feuilles
Il y a un compromis entre l’élégance d’un ensemble minimal d’opérations et la longueur de l’expression
J’ai travaillé sur une approche qui combine la théorie des opérades, la théorie des catégories, des réseaux neuronaux spectraux et la symbolic regression
Les polynômes sont rapides à calculer au regard de leur pouvoir d’expression
Ce que tu décris ressemble à de la symbolic regression classique. C’est déjà un domaine mûr
Cela reste malgré tout une découverte très intéressante
La dérivation de -x semble incorrecte
En suivant l’exécution de la machine à pile, eml(z, eml(x,1)) a la forme e^z - x,
et pour que cela vaille -x, il faudrait que e^z = 0. Or un tel nombre complexe z n’existe pas
En développant z, on tombe en pratique sur des problèmes du type ln(0). C’est similaire pour x^-1
Si on suppose ln(0)=∞ et x/∞=0, alors cela “a l’air” de fonctionner
En suivant l’ordre des calculs, on obtient ln(1)=0 → e-ln(0)=+∞ → e-ln(+∞)=-∞
Quelques idées intéressantes me viennent à l’esprit
Pour le plaisir, j’ai créé hier le projet emlvm
Le passage sur la reconstruction de fonctions en forme fermée avec des arbres EML de profondeur ≤ 4 est vraiment superbe
Je me suis toujours demandé si quelque chose comme ça était possible