- Des explications insuffisantes en mathématiques du primaire et du secondaire peuvent détourner les élèves des mathématiques, au point qu’il ne reste que ceux qui ont une forte motivation
- Dans de nombreux manuels de mathématiques avancées, les démonstrations ressemblent davantage à des aperçus de haut niveau qu’à des preuves complètes, obligeant l’étudiant à combler lui-même la justification de chaque ligne
- Dans le Galois Theory de Stewart, il a fallu deux jours pour dérouler l’argumentation d’un cas particulier, et même des mathématiciens professionnels jugeaient les étapes intermédiaires ambiguës
- Inclure tous les détails ferait passer un manuel de 200 pages à 2000 pages, si bien que les omissions sont inévitables, mais leur nombre et leur ampleur sont péniblement élevés
- Il faut des ressources, comme les notes complémentaires des bonnes universités, qui développent les raisonnements difficiles en démonstrations rigoureuses et en intuition, et il est prévu de commencer à créer de telles notes pour certains sujets
Les lacunes d’explication mises en évidence dans l’enseignement des mathématiques avancées
- Des explications insuffisantes dans l’enseignement des mathématiques au primaire et au secondaire peuvent éloigner durablement les élèves des mathématiques et ne laisser continuer que ceux qui ont une forte motivation
- Les mathématiques sont présentées comme une discipline qui apporte la rigueur du raisonnement, la clarté de la pensée et l’entraînement à construire une argumentation à partir des premiers principes
- Un problème similaire se prolonge aussi dans les mathématiques avancées, et de nombreuses démonstrations dans les manuels de niveau master ou doctorat ressemblent davantage à des aperçus de haut niveau qu’à des preuves complètes
- Lorsque les manuels ne montrent pas suffisamment les étapes intermédiaires, les étudiants doivent fournir un effort considérable pour comprendre et justifier chaque ligne
- Une argumentation de 10 lignes dans un manuel peut devenir 10 pages lorsqu’on la réécrit sous forme de démonstration réellement convaincante
Les omissions des manuels et le besoin de compléments
- Même en retravaillant les étapes intermédiaires des manuels avec des mathématiciens professionnels, certaines étapes d’une démonstration donnée restaient ambiguës même pour eux
- Dans le Galois Theory de Stewart, il a fallu deux jours pour déplier une argumentation complexe dans un cas particulier, et le résultat devait satisfaire à la fois l’exactitude, l’exhaustivité et l’accessibilité pour un étudiant suffisamment motivé
- Si des plaisanteries comme « proof by obviousness » et « proof by intimidation » circulent, c’est parce que ce type de situation apparaît fréquemment dans les manuels réels
- Le problème ne se limite pas à omettre des résultats de base de licence comme en théorie des groupes ou des corps ; même en supposant maîtrisé tout le contenu de licence, les démonstrations des manuels de niveau graduate ne montrent souvent pas suffisamment pourquoi elles fonctionnent
- Les étudiants doivent apprendre les sujets dans des délais limités ; lorsque les explications des manuels sont insuffisantes, ils n’ont pas le temps de transformer eux-mêmes chaque raisonnement de 10 lignes en preuve de 10 pages et peuvent ainsi ne jamais apprendre la véritable raison
- Le problème est encore plus grave dans les articles de recherche, mais ici l’accent est mis sur les manuels
- Les manuels avancés font aussi face à une contrainte pratique importante : ils ne peuvent pas justifier en détail tous les raisonnements
- En incluant tous les détails, un manuel de 200 pages pourrait devenir un ouvrage de 2000 pages
- Ni les étudiants ni les enseignants n’ont le temps ou la patience de lire des milliers de pages de raisonnements techniques peu intéressants
- Les auteurs se concentrent sur les parties intéressantes et s’attendent à ce que les étudiants complètent les éléments omis
- Malgré cela, le nombre et l’ampleur des omissions dans les manuels ordinaires restent péniblement élevés
- De nombreuses bonnes universités fournissent des notes complémentaires qui développent les raisonnements difficiles avec des démonstrations rigoureuses et de l’intuition, et cette méthode semble être une bonne pratique
- Les manuels de niveau graduate restent bien préférables à leur absence, car ils rendent les sujets visibles dans le monde, mais ils ont aussi pour limite d’être souvent difficiles d’accès
- Avec un temps illimité, on aimerait créer des ressources complémentaires détaillant tous les raisonnements de ces manuels, mais cela est irréaliste en pratique
- Il est néanmoins prévu de commencer par des notes complémentaires sur les sujets pour lesquels la qualité de l’explication paraît particulièrement importante, par exemple la s-arc transitivity des graphes et des thèmes liés aux extensions de corps
1 commentaires
Avis sur Lobste.rs
Ah, ça fait mal. Pour partager une anecdote personnelle mêlée de lamentation, l’une des raisons pour lesquelles j’ai fini par faire de l’ingénierie logicielle plutôt que des maths/de l’informatique théorique, c’est que l’écart dans ma compréhension des maths entre ce que j’entendais à l’oral en cours et ce que je lisais seul dans un livre était énorme
J’ai besoin d’un temps anormalement long pour comprendre un théorème écrit, et au final je reste très insatisfait avec l’impression que, rétrospectivement, quelque chose de simple avait été très mal expliqué pour ce qui me convient
Mais mon diagnostic est un peu différent. Le problème n’est pas le manque de détails, mais plutôt le manque de motivation et de vue d’ensemble. On dirait que les preuves sont toutes écrites exactement à l’envers. On passe longtemps à réfléchir au problème, on trouve la preuve, puis on efface ce cheminement de pensée et on commence à rédiger la preuve par la dernière étape
Par exemple, une preuve commence souvent par « choisissons ɛ = n^2 / 36 », et il faut d’abord une lecture pour comprendre pourquoi cet epsilon est mécaniquement nécessaire, puis encore réfléchir pour comprendre l’idée derrière cet artifice technique, ensuite refaire dans sa tête une preuve informelle à partir de cette idée, et enfin relire la preuve en gardant cette idée à l’esprit pour voir si c’est bien une formalisation correcte. La formalisation est utile, mais ce n’est pas la compréhension elle-même
Reed-Solomon en est aussi un exemple. Wiki aurait pu dire « un polynôme de degré N peut être interpolé à partir de N+1 points. Si on retransmet K points en doublon, on peut récupérer les coefficients même si on en perd certains », mais à la place on a une explication interminable et obscure (previously)
Exemple récent : le théorème 1.5.8 d’Analysis de Tao, à savoir que dans un ensemble compact, tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. On entre immédiatement dans « choisissons y, choisissons V_a, il y a une boule, un rayon r, etc. », et ce n’est pas faux, mais il est difficile de voir pourquoi on fait cela
Ce n’est qu’après avoir absorbé la forme qu’on voit l’idée centrale. Puisqu’il faut un sous-recouvrement fini, il est naturel de choisir de manière gloutonne les « plus grands » ensembles, mais il faut définir ce que veut dire « le plus grand ». Si on fixe un point, on peut choisir le plus grand ensemble relativement à ce point, et il suffit de faire grandir une boule jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul élément du recouvrement. Les boules ne peuvent pas être infiniment petites, sinon on utiliserait la compacité pour choisir un point avec une boule de rayon nul. Donc les boules ont une largeur d’au moins ɛ, et il suffit de continuer à choisir le plus grand ensemble pour les points qui ne sont pas encore couverts. Si ça s’arrête en un nombre fini d’étapes, c’est gagné ; sinon on obtient une suite de points séparés d’au moins ɛ, ce qui contredit la compacité
L’idée essentielle est toujours bien plus simple que sa formalisation, et une fois qu’on l’a saisie, on a l’impression qu’en ajustant assez les inégalités, une formalisation quelconque finira forcément par tenir. La formalisation reste nécessaire, bien sûr. Sinon on pourrait avoir recours par erreur à quelque chose comme l’axiome du choix sans s’en rendre compte. Mais comme moyen de transmettre l’idée, c’est catastrophique. C’est comme reconstituer le tri rapide à partir d’un code assembleur
Je pense que la bonne manière de présenter les maths consiste à faire du théorème non pas le point de départ mais le résultat, et à expliquer les choses dans le mode « comment aurait-on pu découvrir cela ? »
Bien sûr, je ne nie pas qu’il existe parfois des arguments qu’il faut « secouer jusqu’à être réellement convaincu que ça prouve bien ce qu’il faut », mais dans les mathématiques relativement douces que j’ai rencontrées, c’est plutôt rare
Les théorèmes des manuels ressemblent à la photo d’un gâteau terminé dans un livre de recettes, et les preuves à la recette elle-même. Le bazar qu’on produit en préparant le gâteau, lui, ne se voit pas vraiment
Ce qui manque, c’est que pour refaire ce même gâteau, il faut quand même une compréhension et une technique de pâtissier. La recette peut passer sous silence la bonne consistance de la pâte ou la manière de rattraper quelque chose qui tourne mal. Et connaître les « premiers principes » de la pâtisserie ne suffit pas non plus pour devenir pâtissier. On peut avoir les idées de base, encore faut-il les combiner pour faire un gâteau
À mes yeux, les maths sont comme les autres disciplines modernes. La vitrine est pleine de gâteaux, et les meilleurs pâtissiers reçoivent des financements pour en faire encore davantage. Si on veut devenir pâtissier soi-même, il faut faire son apprentissage dans la boulangerie, apprendre les tours de main, puis commencer à faire ses propres gâteaux au lieu de simplement suivre les recettes du chef. Cela demande du temps, des efforts, et un peu de chance
https://betterexplained.com/articles/…
Une séquence ADN peut être une description extrêmement précise d’un chat, mais on ne peut pas se représenter l’animal mentalement à partir de cela seul
Présenté ainsi, la vérification et la correction sont plus efficaces, et on appelle cela la vision BCH de R-S. Mais BCH est aussi toute une classe de codes
Cela dit, même après avoir énormément lu sur le sujet en l’implémentant, je suis d’accord pour dire que les articles Wikipedia sur R-S et BCH sont pour l’essentiel incompréhensibles. Sans l’excellente bibliothèque gf256 en style literate programming, en particulier gf256::rs, je n’aurais sans doute pas avancé
Cela dit, d’expérience, certains théorèmes sont plus faciles à prouver que d’autres. Dans un cours d’Algebra I, l’un de nos examens consistait à prouver un théorème choisi au hasard sur le moment par le professeur. Ça peut sembler intimidant, mais à force de prouver longtemps des choses déjà prouvées, on commence à voir des motifs. En plus, on finit aussi par mémoriser davantage de théorèmes utilisés dans d’autres preuves
Je ne dis pas que c’est facile, mais quand on étudie les maths à ce niveau, on a l’impression que quelque chose s’ouvre dans sa tête et que cela devient possible. La formalisation peut paraître excessive, mais c’est aussi ce qui permet aux mathématiciens d’atteindre des conclusions que les autres ne voient pas
D’après mon expérience personnelle dans les sciences physiques, une grande partie de cela vient de la manière dont les articles scientifiques sont écrits, publiés et évalués
Le processus de rédaction et de publication n’incite pas vraiment à expliquer la science ; il pousse plutôt à dire des choses plausibles et un peu convaincantes sans trop « gaspiller » de temps sur les détails. Ce biais qu’on voit dans les preuves me semble très similaire
Il faut sortir les éditeurs de la science
Expliquer « comment on a trouvé cela » oblige à faire des énoncés vagues, grossiers, pas complètement justifiés ni précis. Les relecteurs, même si le lieu de publication est de l’auto-édition indexée comme des actes de conférence ou un overlay journal, n’aiment pas qu’il reste dans la version finale des phrases qui sont en un certain sens fausses
Donc même s’il y avait une explication intuitive dans la première soumission, elle finit par disparaître
Il y a encore pire. Un de mes co-auteurs, qui sait très bien écrire des introductions et optimiser les articles pour qu’ils soient acceptés, explique souvent qu’au moment de choisir la formulation d’un résultat, il y a généralement un arbitrage. La version la plus facile à faire accepter est souvent la pire pour les gens qui aimeront l’article et le citeront. Et cela même si toutes les versions sont vraies et peuvent être prouvées avec un niveau de qualité comparable
Les incitations sont donc mal alignées. Mais cette fois, ce n’est peut-être pas tant la faute des éditeurs que celle d’un système où les chercheurs sont récompensés sur des indicateurs de publication plutôt que sur le travail réel qu’ils devraient faire
En ce qui concerne les manuels, je ne suis pas forcément d’accord avec le billet. Une bonne ellipse peut rendre une preuve plus lisible et aussi pousser le lecteur à réfléchir. Au pire, on peut toujours consulter d’autres manuels ou les sources originales. En revanche, tomber sur une preuve incomplète dans un article de recherche peut être extrêmement agaçant. Là, on commence à se demander si quelqu’un possède vraiment la preuve complète, et quand on revient à soi, une semaine / un mois / un an a pu passer
En tant que doctorant en mathématiques, je pense qu’il y a deux faces à ce problème. Parfois, la preuve présentée est vraiment d’un niveau assez élevé, et c’est frustrant quand on ne comprend pas réellement une étape précise, mais à l’inverse, remplir les blancs est parfois bien plus utile pour progresser que de tout recevoir prémâché
Si une preuve passe de la proposition 1 à la proposition 2 sans que ce soit immédiatement clair, cela donne d’abord une intuition de ce que l’auteur, et plus largement la communauté mathématique du domaine, considère comme évident. C’est précieux, parce que cela indique quels résultats il faut intégrer intuitivement en profondeur
Ensuite, quand on remplit soi-même les étapes intermédiaires et qu’on se convainc que l’argument tient, on s’en souvient bien mieux que si on avait simplement lu ces étapes sur la page
Pour moi, le « point idéal », c’est quand il faut entre 30 secondes et 5 minutes pour justifier une étape d’une preuve. Au-delà, on risque plus facilement la frustration et on apprend moins bien
Attendez de voir les preuves dans de vrais articles
Plus sérieusement, il existe bien sûr des livres de maths mal écrits et peu pédagogiques. Mais je pense qu’une preuve moyenne de niveau master/doctorat ne peut tout simplement pas tout détailler. Sinon cela devient pénible à lire et terriblement ennuyeux
On attend des mathématiciens qu’ils comblent mentalement les trous dans les preuves, et c’est une compétence qui s’apprend
J’ai quelques anecdotes personnelles sur le fait de combler les blancs
Au lycée, après une dispute sur le niveau de détail nécessaire, on s’était mis d’accord pour que j’écrive mes preuves avec un minimum d’ellipses. Si je montrais que je savais combler les blancs, alors on accepterait que beaucoup de textes écrits à un niveau bien plus schématique que ce qu’on attendait de moi suffisent néanmoins à démontrer la compréhension requise
Je me souviens avoir utilisé des parenthèses imbriquées au moins trois niveaux de profondeur, du genre « en réalité cela n’a pas besoin d’une preuve explicite, mais puisque nous en avons convenu ». Dans l’une des parenthèses les plus profondes figurait « prouvons par récurrence que 2^n > 0 ». La proposition tout en haut concernait probablement des limites. Cela dit, nous étions d’accord tous les deux pour dire que les preuves excessives tout en bas étaient effectivement excessives
Au lycée puis à l’université, quand je prenais des notes, j’écrivais parfois à l’avance l’idée générale de ce qui allait évidemment être dit ensuite, ce qui me faisait gagner du temps quand la suite demandait plus de détails dans la prise de notes. Plus tard, en postdoc, en écoutant un collègue expliquer un problème, je l’ai interrompu en disant : « vous pouvez passer cette partie, je vois déjà quel lemme vous voulez énoncer et comment le prouver »
En fait, j’avais tort. Il ne formulait pas un résultat, il posait une question. Mais la preuve issue du plan que j’avais deviné a fini par se retrouver dans l’article
Parmi les gens qui font des maths concrètes comme nous, il existe tout un monde qui essaie de corriger ce problème de détail avec des assistants de preuve comme Lean, Agda ou Coq. Mais je doute qu’il y ait beaucoup de gens qui utilisent des assistants de preuve pour l’enseignement des maths « généralistes ». Pourquoi ?
En mathématiques continues, il existe un certain décalage de représentation entre l’expression standard et les assistants de preuve en logique d’ordre supérieur. Pour aller assez loin avec une formalisation en théorie des ensembles du premier ordre, il faut tout un ensemble de définitions nécessaires, qui ne semble pas encore avoir été organisé de manière cohérente