Claude Fable produit un contre-exemple à la conjecture jacobienne

• L’application polynomiale présentée comme ayant été créée par Claude Fable constitue un contre-exemple à la conjecture jacobienne : son déterminant jacobien est la constante -2, tout en envoyant trois points distincts vers un même point
• Cette application est définie de ℂ³ → ℂ³, et ses trois composantes sont toutes des polynômes en x, y, z
• Les points distincts (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) et (-1, 3/2, 13/2) sont tous envoyés vers (-1/4, 0, 0), donc l’application n’est pas injective
• Le déterminant jacobien ainsi que les valeurs de la fonction pour deux points d’entrée peuvent être vérifiés via les calculs Wolfram|Alpha liés
• Comme le déterminant jacobien est constant et non nul alors que l’injectivité échoue, l’expression proposée réfute la conjecture jacobienne sur ℂ³

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Application polynomiale et déterminant jacobien

• L’application ℂ³ → ℂ³ est composée des trois composantes polynomiales suivantes
  • Première composante : (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
  • Deuxième composante : y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
  • Troisième composante : 2x - 3x^2y - x^3z
• Le déterminant jacobien de cette application vaut -2
• La valeur du déterminant peut être vérifiée dans ce calcul Wolfram|Alpha

Trois points d’entrée qui brisent l’injectivité

• Les trois points suivants sont distincts, mais sont tous envoyés vers (-1/4, 0, 0)
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)
• Les valeurs de la fonction pour le premier et le deuxième point d’entrée peuvent aussi être vérifiées dans ce calcul Wolfram|Alpha lié
• Par conséquent, cette application polynomiale n’est pas injective et, combinée à la condition d’un déterminant jacobien constant et non nul, constitue un contre-exemple à la conjecture jacobienne

[GN⁺]

Commentaires sur Hacker News

• Il y a une dizaine d’années, j’ai rencontré un postdoc qui pensait avoir trouvé quelque chose de proche d’un contre-exemple à la conjecture jacobienne. Lui et son collègue utilisaient des arbres binaires pour le mapping des coefficients et faisaient du brute force sur des polynômes à environ 16 variables, avec 80 à 700 termes chacun
  À l’époque, on s’attendait à ce que la borne inférieure de (\max(\deg(P),\deg(Q))) pour un contre-exemple ((P,Q)) monte jusqu’à 200, donc apprendre que Claude Fable a trouvé un contre-exemple de degré 7 est difficile à croire ; on a vraiment l’impression d’entrer dans une nouvelle ère

  • Il semble y avoir confusion entre le cas à 2 variables et celui à 3 variables. Le premier a bien été vérifié jusqu’à un degré supérieur à 150, et ce contre-exemple-ci concerne 3 variables
  • Je me demande si ce contre-exemple faisait aussi partie de l’espace de recherche de l’époque

• L’extraordinaire mathématicien Yitang Zhang a consacré sept ans à tenter de prouver cette conjecture. Son directeur Moh a écrit que Zhang avait « lamentablement échoué » à démontrer la conjecture jacobienne, qu’après avoir quitté Purdue il n’avait « publié aucun article d’algèbre géométrique », et qu’il avait « gaspillé sept ans de sa vie et mon temps »
  https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
  https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
  https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

  • Voici le document de T.T. Moh sur la période de Zhang à Purdue : https://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf
    Rien que le fait qu’un tel document existe est stupéfiant

• Cas rare où l’on injecte une information révolutionnaire dans un LLM, et où c’est plutôt le LLM qui part en confusion mentale. En l’envoyant à Claude Code, j’ai trouvé assez impressionnant de le voir tenter une vérification par sept méthodes différentes pour être sûr à 100 %, puis finir sidéré

  • J’ai donné à ChatGPT seulement l’application, sans aucun contexte, en lui demandant « parle-moi de cette fonction ». Il a calculé le jacobien, etc., puis a fini par comprendre les implications de ce qu’il voyait ; après avoir revérifié l’arithmétique quatre fois, il a même soupçonné SymPy d’être compromis, et a décidé de faire une vérification manuelle avec un vérificateur symbolique improvisé
  • J’ai bien vu Claude être sidéré. Gemini a d’abord fait une recherche web et a cité des articles déjà publiés, tandis que Kimi avait énormément de mal à y croire
  • Qui aurait cru que « DOES NOT COMPUTE » deviendrait une situation réelle ?
  • On dirait la version mathématique du phénomène de l’emoji licorne : ce qui arrive quand un LLM reçoit une preuve irréfutable contre une proposition à laquelle il « croyait profondément »
  • J’ai entendu dire que les mathématiciens vivent un processus similaire quand une preuve étrange, venue d’une source douteuse ou d’eux-mêmes, s’avère finalement correcte. À force de recevoir des démonstrations bancales d’amateurs, la probabilité d’un défaut fatal devient écrasante, et pour ses propres preuves on a aussi des angles morts qui rendent difficile la critique de ses propres sauts logiques
    On continue donc à soupçonner qu’on a raté quelque chose, on revérifie de multiples façons jusqu’à être presque au bord de l’effondrement, puis seulement alors on évoque publiquement avec prudence la possibilité d’une nouvelle percée

• L’avantage de ce genre de nettoyage mathématique, c’est que plus personne ne perdra de temps à essayer de prouver que c’est vrai. J’espère que la prochaine fois, un LLM résoudra la conjecture de Collatz et économisera l’énorme quantité d’années-humain gaspillée par des victimes qui ne se sont rendu compte de rien

  • Si ce problème a été « facile » cette fois, c’est parce que la conjecture était fausse. Si, comme le pensent la plupart des mathématiciens, la conjecture de Collatz est vraie, alors elle sera bien plus difficile à démontrer qu’un problème d’Erdős moyen
  • Ce n’est pas la fin de l’histoire. L’étape suivante consiste à déterminer pour quels types de polynômes la conjecture jacobienne est vraie, et pour quels types elle est fausse
  • J’étais un jeune mathématicien autour du tournant du siècle, et dire qu’on « perd du temps à essayer de prouver » quelque chose relève d’une mentalité de MBA obsédée par la nécessité de produire sans cesse des résultats et des articles
    Quand on s’attaque à des problèmes difficiles, même si l’on échoue, on comprend plus profondément divers résultats et outils, et on peut les appliquer à d’autres problèmes ; ce n’est donc pas du tout une perte de temps. Les cas extrêmes où l’on consacre des années à un seul problème sont une exception

• Il y a clairement un vrai sujet de débat autour de l’usage des LLM pour produire en masse du code ou des preuves de qualité douteuse, donc je comprends les polémiques incessantes. Mais dans la recherche de contre-exemples, le brute force est déjà courant, donc utiliser un LLM comme une forme plus avancée de brute force me semble tout à fait pertinent ; j’ai du mal à comprendre une telle hostilité

  • Quand les machines deviennent de plus en plus compétentes dans des domaines où seul le cerveau humain avait de la valeur, cela va être très difficile pour beaucoup de gens. À mon avis, l’hostilité mêle l’idée que « tant que ce n’est pas démontré, ça peut être n’importe quoi » et la peur de « perdre une grande partie de ce qu’on considérait comme étonnant chez l’humain »
    Au cours des prochaines années, la compassion va devenir extrêmement importante, et il y aura beaucoup de souffrance, intérieure comme extérieure
  • Sans voir la trace de raisonnement de Fable qui a produit ce résultat, conclure d’emblée qu’il s’agit de brute force avancé me paraît être un raccourci

• Cela fait des mois que je fais du vibe coding mathématique avec l’IA, et c’est étonnamment facile. La partie difficile est de vérifier soi-même les résultats et d’en confirmer la validité ; un petit résultat m’a permis de réfuter une conjecture et d’écrire mon premier article
  Les découvertes suivantes portent sur de la topologie quantique et de la physique, avec un contenu assez substantiel, donc je les examine de manière très rigoureuse avant publication. Le temps consacré à la vérification a été plus long que celui de la découverte elle-même
  Si la théorie des nombres vous intéresse, voici mon premier article : https://arxiv.org/abs/2607.09793

  • J’ai étudié la physique et j’ai déjà publié autrefois, mais cela fait longtemps que j’ai quitté le milieu académique. En essayant avec Claude de résoudre des problèmes de physique mêlant maths et simulation, tout s’est pas mal emmêlé
    Sa capacité à poser le problème et à proposer des approches auxquelles je n’aurais pas pensé est impressionnante, mais sa capacité à interpréter les résultats était bien plus faible
  • Je suis curieux de savoir jusqu’où tu cherches à comprendre toi-même pendant le travail. Par rapport à une approche intuitive et de surface, jusqu’à combien de niveaux d’abstraction plus bas descends-tu dans ta propre compréhension ?
  • Je fais moi aussi le même type de travail en théorie des types

• Comme l’auteur du post travaille chez Anthropic, il est très probable qu’il ait eu un accès interne à la prochaine génération de Fable. Les modèles internes sont extrêmement forts en maths, et établiront sans doute bientôt un nouveau record sur des benchmarks en mathématiques
  Cela pourrait aussi expliquer la réticence à publier le prompt réel et la trace de raisonnement. Il est possible qu’il soit soumis à un accord de confidentialité jusqu’au lancement officiel du modèle

• La conclusion semble tirer des conséquences beaucoup trop larges. Puisque Sol peut aussi trouver indépendamment le même contre-exemple, rien ne permet de conclure à l’existence de Fable 6 qui écraserait le benchmark
  [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

  • Je ne suis pas très enthousiaste. Je n’ai pas été invité à la fête où l’on a accès aux meilleures IA, et j’ai du mal à croire que les invités représentent vraiment bien mes intérêts

• Ce qui m’étonne, c’est que personne ne demande vraiment : comment Fable a-t-il trouvé ce contre-exemple ? A-t-il formulé des conjectures sur plusieurs familles de polynômes puis cherché des solutions possibles dans chaque famille, fait une recherche astucieuse, ou utilisé une autre méthode ?

  • Il y a quelques hypothèses dans cette conversation Claude : https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
    La source est ici : https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
    En bref, la littérature existante contient un faux contre-exemple qui fonctionne presque partout sauf en un pôle. Fable semble être parti de ce polynôme et l’avoir étendu pour supprimer le pôle tout en préservant la structure
  • Ils sont en train de transposer toutes les étapes logiques en vérification formelle Lean. La boucle de rétroaction rapide entre l’explication rédigée par l’IA et les erreurs/avertissements de vérification de Lean permet d’assurer la cohérence logique
    Le problème qui reste est de savoir si l’idée de la preuve démontre bien la proposition visée, et comment il faut interpréter le résultat obtenu. À part cela, tout ce qui se trouve dans le code vérifié par le kernel est logiquement cohérent

• Le fait que le contre-exemple soit si petit montre bien un domaine où l’on pourrait découvrir beaucoup de résultats intéressants à l’avenir. Ce n’est pas que le problème soit extrêmement difficile, c’est plutôt qu’il était difficile d’étendre l’intelligence, et que peu de gens ont pu l’explorer sérieusement avant que les ordinateurs puissent prendre le relais
  J’attends avec beaucoup d’intérêt l’impact que cet effet pourrait avoir en science, en médecine et dans d’autres domaines

• Comme je ne connais pas très bien les mathématiques, il est possible que ma compréhension de niveau 5 ans soit utile ou mérite d’être corrigée. Cette conjecture signifie qu’on peut toujours remonter un certain processus pour retrouver l’entrée d’origine, et cette preuve montre que plusieurs entrées peuvent produire la même sortie
  Il devient donc impossible de reconstituer l’entrée à partir de la sortie, ce qui rend la conjecture fausse

  • Pour qu’une fonction inverse existe, il faut comme condition préalable un jacobien constant non nul, et cette fonction inverse doit aussi avoir une forme particulière, à savoir être un polynôme. Ce contre-exemple satisfait la condition préalable tout en envoyant deux entrées distinctes vers la même sortie, ce qui empêche l’existence de toute fonction inverse, qu’elle soit polynomiale ou non
    À ce stade, c’est peut-être plutôt une explication de niveau 7 ans
  • Cette conjecture ne porte que sur un certain type de processus. Fable a trouvé un processus concret appartenant à cette classe, ainsi que trois entrées concrètes qui produisent la même sortie. Bien sûr, deux suffisent déjà
    Ici, « concret » signifie que cela peut être exprimé par une chaîne finie
  • On savait déjà que c’était faux dans le cas général. Il existe beaucoup de problèmes qui sont faux en général mais vrais lorsqu’on les restreint aux polynômes