Bien apprendre l’algèbre linéaire, 4e édition, Linear Algebra Done Right

 (linear.axler.net)
4 points par GN⁺ 2023-10-30 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • Un manuel de deuxième cours destiné aux lecteurs ayant déjà étudié l’algèbre linéaire une première fois, désormais bien plus accessible grâce à une édition électronique gratuite et à des traductions
  • L’édition électronique est distribuée sous licence Creative Commons BY-NC, avec accès gratuit au PDF de la 4e édition, à certains PDF traduits et à la version Kindle
  • La 4e édition enrichit les précédentes avec plus de 250 nouveaux exercices, plus de 70 nouveaux exemples, de nouveaux sujets et des améliorations générales
  • Le cœur du livre est de repousser les déterminants à plus tard afin de faire d’abord comprendre la structure des opérateurs linéaires sur les espaces vectoriels de dimension finie
  • Une liste d’adoption dans 429 universités et colleges, des vidéos d’accompagnement, un errata et des avis clients Amazon sont fournis, ce qui en fait une ressource utile pour les cours comme pour l’autoformation

Édition électronique gratuite et version imprimée

Une approche pédagogique qui repousse les déterminants

  • Ce livre est un manuel de deuxième cours d’algèbre linéaire destiné aux étudiants de licence en mathématiques et aux étudiants de master
  • Son organisation repousse les déterminants à la fin de l’ouvrage et se concentre sur l’objectif central de l’algèbre linéaire : comprendre la structure des opérateurs linéaires
  • Aucun prérequis particulier n’est demandé en dehors d’une maturité mathématique appropriée
    • Le livre commence par les espaces vectoriels, l’indépendance linéaire, l’engendrement, les bases et la dimension
    • Il traite ensuite des applications linéaires, des valeurs propres et des vecteurs propres
    • Après l’introduction des espaces à produit scalaire, il mène à des résultats comme le théorème spectral en dimension finie et la décomposition en valeurs singulières
    • Il approfondit ensuite la structure des opérateurs linéaires à l’aide des vecteurs propres généralisés
    • Les déterminants sont introduits à travers les formes multilinéaires alternées
  • Les avis soulignent comme principaux atouts la qualité pédagogique, l’élégance et l’intuition des démonstrations sans déterminants, ainsi que la clarté apportée par les exemples

Adoption en cours et ressources complémentaires

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1 commentaires

 
GN⁺ 2023-10-30
Commentaires Hacker News

  • Ce livre est bien comme deuxième cours d’algèbre linéaire
    Pour un premier cours, je recommande sans plaisanter Linear Algebra Done Wrong de Sergei Treil
    https://www.math.brown.edu/streil/papers/LADW/LADW.html

    • Le titre est amusant
      En parcourant la table des matières, j’ai eu l’impression que c’était à peu près comme ça que j’avais appris l’algèbre linéaire en licence il y a longtemps
      Ça me donne envie de la réapprendre
    • J’y ai jeté un coup d’œil rapide, et ce livre donne l’impression de rassembler tout ce que je déteste dans les maths académiques
      Il balance une avalanche de définitions arbitraires, de remarques, d’axiomes et de nouvelles notations, sans presque jamais introduire ce que tout cela cherche à faire, expliquer ou faciliter
      On a l’impression que ça fabrique de la complexité pour se donner de l’importance, sans aucune intuition ni simplification. On n’a personne comme Feynman pour l’algèbre linéaire ?

  • J’ai parcouru presque tous les livres d’algèbre linéaire, et les avis Amazon disent souvent que le livre d’Axler est le meilleur ; c’est peut-être vrai parmi les livres papier vendus
    Mais je suis tombé par hasard sur les slides PDF de cours d’algèbre linéaire de Terence Tao sur son site, et c’était bien meilleur que tous les livres que j’avais feuilletés
    L’écriture est très claire et tout est construit à partir des premiers principes
    Au passage, j’ai eu la même impression avec le livre de Terry sur l’analyse réelle. Bien plus clair et facile à suivre que les manuels classiques

    • Je pense que c’est probablement ces notes dont tu parles
      https://terrytao.files.wordpress.com/2016/12/linear-algebra-...
    • Les notes de Tao semblent s’appuyer sur le livre Linear Algebra de Friedberg, Insel et Spence
      Je le classerais parmi les tout meilleurs livres d’algèbre linéaire, meilleur même que Hoffman/Kunze
      Les démonstrations sont très claires, il y a des exemples comme PageRank, les chaînes de Markov et l’analyse en composantes principales, et on trouve sur Quizlet les solutions de presque tous les exercices
    • Vu tout ce qu’il a apporté aux maths et à leur vulgarisation, et comme son nom est souvent mal orthographié ici ou là, je précise que c’est Terence, pas Terrance
    • Je ne suis pas certain que le livre d’Axler soit excellent comme premier livre d’algèbre linéaire
      Pour commencer, je choisirais probablement un livre plus traditionnel comme Strang
      Cela dit, je n’ai eu le sentiment de vraiment comprendre l’algèbre linéaire qu’après avoir appris l’algèbre avec Artin. Quand on la regarde isolément, l’algèbre linéaire donne l’impression d’un recueil de recettes éparses et arbitraires, alors qu’elle devient beaucoup plus cohérente dans le contexte de l’algèbre
    • Tu as déjà regardé Linear and Geometric Algebra de Macdonald ? Je l’ai bien plus aimé comme introduction au sujet

  • Linear Algebra Done Right est un bon livre pour les personnes qui veulent étudier l’algèbre linéaire de façon fondée sur les démonstrations, avec une vraie rigueur mathématique
    Ici [1], Sheldon Axler lui-même a une vidéo sur sa chaîne YouTube où il présente les thèmes du livre
    Ici [2], on trouve les solutions des exercices du livre
    [1] https://www.youtube.com/playlist?list=PLGAnmvB9m7zOBVCZBUUmS...
    [2] http://linearalgebras.com/

    • Si les solutions des exercices ne sont pas dans le livre, j’ai du mal à croire que l’auteur pense sincèrement à l’intérêt des étudiants
      Pourquoi ne pas les mettre dans le livre ? Du point de vue des étudiants, ça n’a aucun sens
      Je sais qu’il est courant que les manuels ne donnent aucune solution, mais je ne comprends pas pourquoi il est devenu normal de ne pas les mettre là où elles devraient être. Ça paraît assez hostile

  • À propos de la façon dont ce livre évite les déterminants, retarder leur introduction peut se défendre, mais l’objectif devrait être la clarté, pas l’évitement
    Et la manière dont l’auteur doit faire autant de détours pour traiter les valeurs propres ne me paraît pas très bonne non plus
    Pour un traitement équilibré des déterminants, je recommande Strang

    • L’évitement des déterminants chez Axler en devient presque pathologique
      D’après une histoire qu’on m’a racontée, après une conférence, il aurait pris à part un médaillé Fields dans la salle de cours pour lui demander : « Aimez-vous les déterminants ? » On imagine bien qu’il a d’abord tiré les rideaux et vérifié l’absence de micros
      J’ai assisté à un de ses séminaires à distance où il parlait de ce livre, et dans l’ensemble cette impression semblait assez juste. Les mathématiciens sont des gens étranges
      La réponse qu’il aurait reçue à cette question était : « À peu près comme pour les tomates. J’aime bien en manger, mais à part ça, je ne les aime pas. »
    • J’ai lu Axler après avoir lu Strang
      Strang est excellent sur les calculs numériques, mais faible pour donner une vision abstraite d’ensemble
      Si je n’avais pas lu LADR et que j’avais suivi juste après Strang un cours comme la méthode des éléments finis, où il faut prendre au sérieux le cadre abstrait et infini-dimensionnel avant de le réduire au cas fini-dimensionnel, je pense que j’aurais été assez mal préparé
    • Franchement, je trouve Strang surestimé
      Je sais que dire ça sur HN, c’est un peu comme critiquer Lisp, défendre sa propre crypto maison, ou s’opposer à l’idée que les trains résoudront tout, mais tant pis
      J’ai acheté la 6e édition de son manuel Introduction to Linear Algebra, et avant même d’avoir passé les deux pages de préface, il part déjà dans une digression non justifiée sur les « column spaces », un terme que je n’avais vu dans aucun autre ouvrage de référence
      Dans un livre de maths, mettre du gras tous les deux paragraphes ne justifie ni n’explique le texte ; ça le rend juste plus brouillon. Et en parcourant les premiers chapitres, je n’ai pas eu l’impression que ça s’améliorait
      En comparaison, les notes de cours de Terence Tao mentionnées plus haut ont l’air excellentes
    • Dans la plupart des cours d’algèbre linéaire, les déterminants semblent présentés avec très peu de motivation
      Leur définition donne l’impression de « descendre du ciel dans une gloire mystérieuse », et par hasard ces objets ont plein de bonnes propriétés
      En pratique, à moins d’un cours qui inclut des éléments de théorie de l’élimination, on ne les utilise pas tant que ça, et pourtant la plupart des cours n’incluent curieusement pas cette partie. On dirait que ce serait un savoir mathématique assez utile, mais apparemment non
    • Si vous préférez une approche abstraite, un déterminant n’est au fond que la n-ième puissance extérieure d’un endomorphisme linéaire :) En principe, il n’y a même pas besoin d’introduire une base

  • Ce livre est en open access, donc on peut le télécharger via ce lien [0]
    [0]: https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-031-4102...

  • Ce n’est pas du tout évident au vu du titre, mais l’information essentielle est que le livre est gratuit
    Le PDF peut être téléchargé depuis le premier lien

  • Axler a conçu ce livre comme une deuxième lecture de l’algèbre linéaire, à lire après avoir déjà suivi un premier cours, mais il peut aussi convenir comme première lecture
    Si vous voulez aller plus loin, vous pouvez aussi regarder A (Terse) Introduction to Linear Algebra de Katznelson & Katznelson

    • J’ai étudié l’algèbre linéaire de niveau licence avec ma fille le semestre dernier, et Strang et Axler formaient un excellent duo
      Strang était bien pour le calcul, Axler pour les devoirs de démonstration
    • Je me souviens qu’en licence, presque personne n’avait vraiment apprécié le cours d’algèbre linéaire de Katznelson
      Personnellement, je m’en étais plutôt bien sorti, mais j’avais l’impression que l’accent était beaucoup plus mis sur des choses comme l’algorithme d’élimination de Gauss que sur le pourquoi de leur fonctionnement
      Je n’ai compris qu’après avoir travaillé avec un géomètre doctorant, qui reprenait en grande partie Linear Algebra Done Right
      J’espère que le livre est meilleur que le cours pour des étudiants STEM de licence plus généralistes
    • Nous avons utilisé ce manuel en première année de licence d’informatique
      Mais en l’accompagnant d’un livre plus accessible aux débutants
    • Que recommandez-vous comme support pour un premier cours ? Strang ?
      J’ai utilisé le livre de Howard Anton

  • Je n’aime pas les changements de mise en page depuis la 2e édition
    À l’origine, c’était un livre vraiment élégant, comme les autres classiques de la Springer Undergraduate Mathematics Series
    On a ajouté beaucoup de couleurs distrayantes, de surlignages et d’encadrés, ce qui, à mon avis, rend le livre moins clair
    Bien sûr, le contenu reste excellent

    • Je suis vraiment reconnaissant à l’auteur de l’avoir rendu public, mais le PDF me paraît un peu distrayant à cause des couleurs vives et du grand nombre d’images
      Dans un manuel scientifique, moins il y en a, mieux c’est
      Quand on compare aux éditions récentes du Stewart de calcul différentiel et intégral, les graphiques utilisent désormais des couleurs plus pastel et plus sobres
    • Avec la puissance de tcolorbox vient une grande responsabilité

  • Comme presque tout le monde, j’enseigne avec ce livre, et je suis heureux de voir une nouvelle édition
    Je me demande ce qui a changé et ce qui a été ajouté. Je n’arrive déjà pas à couvrir l’ensemble en un semestre
    Dans notre établissement, les étudiants suivent d’abord un cours d’algèbre linéaire computationnelle très axé sur la réduction de lignes, ce qui me ralentit un peu parce que je dois sans cesse les aider à voir que ce qu’ils apprennent deux fois est en fait la même chose
    J’aimerais qu’il y ait un peu plus de liens de ce type dans le livre d’Axler

    • J’ai étudié avec ce livre
      Puisque vous enseignez avec lui, je serais curieux de savoir si vous avez lu les livres de Strang et ce que vous en pensez
      J’aime beaucoup ses cours :)

  • Ce livre correspond davantage à une algèbre linéaire pour étudiants en mathématiques de licence, mais si vous cherchez seulement une compréhension de base axée sur les applications computationnelles, Linear Algebra: A Modern Introduction de Poole pourrait être plus adapté
    Il contient beaucoup d’applications, comme les chaînes de Markov, les codes correcteurs d’erreurs, l’orientation spatiale en robotique ou les calculs GPS
    https://www.physicsforums.com/threads/linear-algebra-a-moder...