10 leçons que j’aurais aimé apprendre avant un cours d’équations différentielles [PDF] (1997)

• Gian-Carlo Rota, qui a longtemps assuré le cours d’équations différentielles de deuxième année au MIT, estimait que le cours d’introduction restait prisonnier de vieilles recettes de résolution et d’inerties, et qu’il avait plus de chances de se fragmenter naturellement en modules courts de remplacement que de faire l’objet d’une réforme réaliste
• Les recettes isolées apprises au début, comme les méthodes pour les équations du premier ordre, les facteurs intégrants ou les équations exactes, sont éloignées des vrais problèmes d’ingénierie ; seules la séparation des variables et les changements de variables méritent vraiment de rester durablement
• L’axe que les étudiants doivent absolument maîtriser est celui des équations linéaires à coefficients constants et des systèmes ; les équations linéaires du second ordre à coefficients non constants ou les contenus formels de Sturm-Liouville conviennent mal à un cours d’introduction
• Les théorèmes d’existence et d’unicité, les problèmes énoncés en texte, la méthode de variation des paramètres et les explications centrées sur la notation différentielle risquent de renforcer des manipulations évaluables en examen plutôt que la compréhension ; il faut les réexpliquer du point de vue des trajectoires, des champs de vecteurs et des courbes intégrales
• L’enseignement introductif des équations différentielles ne doit pas être une matière qui laisse beaucoup de recettes, mais transmettre aux étudiants une intuition conceptuelle autour de thèmes comme l’universalité de l’exponentielle, la stabilité, le plan de phase et la transformée de Laplace

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Une remise en question d’un vieux cours d’introduction aux équations différentielles

• Gian-Carlo Rota se souvient comme d’une erreur d’avoir écrit, dans sa jeunesse, un manuel d’équations différentielles ordinaires ; cette expérience lui aurait fait prendre conscience qu’il ne savait pas ce qu’étaient les équations différentielles
• Le cours d’équations différentielles de deuxième année au MIT était considéré comme un cours de mathématiques de premier cycle pénible aussi bien pour les enseignants que pour les étudiants, et il a continué à l’enseigner parce qu’il avait écrit un manuel sur le sujet
• L’article synthétise sous forme de 10 leçons les erreurs et les biais d’enseignement accumulés depuis 1958

1. Une grande partie du cours d’introduction est dépassée

• Si l’on compare les notes de cours de Cauchy sur les équations différentielles au XIXe siècle avec les manuels d’introduction modernes, le contenu a très peu changé, à part l’ajout des systèmes
• Aujourd’hui, les premiers chapitres des manuels présentent des techniques sans lien entre elles — équations exactes, facteurs intégrants, équations différentielles homogènes — comme s’il s’agissait d’outils utiles
• Selon lui, ces types d’équations apparaissent rarement dans la pratique de l’ingénierie, et les exercices qui les accompagnent ont peu évolué depuis Euler
• Le cours d’introduction aux équations différentielles a plus de chances de disparaître naturellement, plutôt que d’être profondément réformé, et d’être remplacé par plusieurs cours courts traitant d’aspects plus réalistes
• Il estime toutefois que les budgets des départements de mathématiques dépendent fortement du nombre d’étudiants en ingénierie inscrits aux cours de mathématiques élémentaires, et que sans ce type de cours, les départements de mathématiques auraient du mal à survivre

2. Les équations différentielles du premier ordre doivent être réduites au minimum

• Le livre de Boole sur les équations différentielles consacre environ la moitié de son contenu à la résolution d’équations du premier ordre, mais les seules techniques qui restent vraiment pertinentes aujourd’hui sont, selon lui, la séparation des variables et le changement de variables
• Les facteurs intégrants sont devenus presque une plaisanterie, et il dit n’avoir jamais entendu parler d’un cas réel où l’on résout une équation différentielle du premier ordre en trouvant un facteur intégrant
• Pourtant, dans les cours, on continue à consacrer une ou deux heures aux facteurs intégrants, en disant aux étudiants que c’est important

3. Les équations linéaires à coefficients constants sont le cœur du sujet

• Les étudiants doivent absolument apprendre à résoudre les équations différentielles linéaires à coefficients constants, et la résolution des équations linéaires du second ordre à coefficients constants relève en particulier de la culture mathématique de base
• À l’inverse, il faut réduire drastiquement les équations différentielles linéaires à coefficients non constants
  • À l’exception de l’équation d’Euler-Cauchy, il estime qu’il n’existe pas d’équation linéaire du second ordre que l’on puisse résoudre explicitement sans introduire de fonctions spéciales
  • Les fonctions de Bessel figuraient autrefois au programme, mais il juge aujourd’hui qu’elles sont difficiles à traiter dans un cours d’introduction
• La théorie de Sturm-Liouville est une belle théorie mathématique, mais il critique le fait que le problème aux valeurs propres régulier de Sturm-Liouville traité en cours d’introduction n’apparaisse pas dans les mathématiques, la physique ou l’ingénierie réelles
  • Les systèmes de Sturm-Liouville qui apparaissent réellement sont des systèmes singuliers
  • Il considère que la théorie rigoureuse dépasse le périmètre non seulement d’un premier cours, mais aussi d’un deuxième cours d’équations différentielles
• Il n’est pas nécessaire de cacher complètement les équations à coefficients non constants ; même à un niveau introductif, on peut montrer le wronskien et certains résultats d’algèbre différentielle
  • Il n’existe pas de formule générale pour la solution des équations linéaires du second ordre, mais il existe une formule explicite pour le wronskien de deux solutions
  • Si l’on connaît une solution, on peut trouver la seconde à l’aide du wronskien

4. Il faut enseigner les changements de variables

• La technique que les étudiants devront nécessairement utiliser par la suite, tant pour les équations différentielles du premier ordre que du second ordre, est le changement de variables
• Le changement de variables n’est pas une simple recette mais une théorie cohérente, même si les manuels actuels n’accordent pas assez d’importance à cette technique
• Pour les équations différentielles linéaires du second ordre, les formules de transformation de la variable dépendante et de la variable indépendante sont connues, mais il dit qu’il est difficile de les trouver dans les livres écrits au XXe siècle
• Liouville a découvert des invariants qui sont des polynômes différentiels des coefficients des équations différentielles linéaires du second ordre, et a démontré que deux équations peuvent être transformées l’une en l’autre par changement de variables si et seulement si elles possèdent les mêmes invariants
• Ce théorème n’est pas traité dans les manuels ; il figurait comme exercice dans la première édition de son propre manuel, mais a disparu des éditions suivantes

5. L’existence et l’unicité sont moins importantes

• Le théorème d’existence pour les équations différentielles ordinaires n’est pas aussi important qu’on le pense souvent ; il s’apparente plutôt à un théorème qui apporte un confort psychologique
• S’il existait des exemples d’équations différentielles ordinaires sans solution, le théorème d’existence serait peut-être plus intéressant, mais ce type de problème est plus marqué pour les équations aux dérivées partielles
• Le théorème d’unicité est une question plus délicate, et il dit éprouver de la culpabilité lorsqu’il affirme sans preuve que toutes les solutions d’une équation linéaire du second ordre à coefficients constants sont des combinaisons linéaires de deux solutions
• Même si l’on démontre que toutes les solutions de y' = ay sont de la forme y = ce^{ax}, il juge difficile de le faire passer de manière convaincante auprès des étudiants

6. Les systèmes linéaires à coefficients constants sont le centre du cours

• La résolution des systèmes linéaires à coefficients constants est la technique la plus importante que les étudiants apprennent dans un cours d’équations différentielles
• Les étudiants en sciences et technologies rencontreront ensuite de grands systèmes linéaires, et plus la résolution de grands systèmes est informatisée, plus la compréhension de la théorie devient importante
• Les étudiants doivent connaître la théorie associée : valeurs propres et vecteurs propres des matrices, exponentielle de matrice, etc.
• Au cours des trente dernières années, des exemples intéressants de systèmes à coefficients constants sont apparus en contrôle, économie, traitement du signal et mathématiques, mais ils n’ont pas été intégrés aux manuels d’introduction selon lui
• Il critique le fait que les exemples de systèmes matriciels dans les manuels soient pour la plupart des systèmes plans ou des exemples artificiels
• La méthode de variation des paramètres apparaît rituellement dans les chapitres sur les systèmes, mais elle est peu pratique, et il est même difficile de concevoir des problèmes pertinents à donner aux étudiants
• L’ancienne méthode de variation des paramètres pour résoudre des équations linéaires non homogènes du second ordre à coefficients non constants est répétée dans les manuels depuis des siècles avec les mêmes exemples artificiels, selon lui

7. Il faut éviter les explications centrées sur la notation différentielle

• Il critique vivement comme peu rigoureuse la manière dont les manuels expliquent les facteurs intégrants depuis 1800
• L’explication classique transforme soudain l’équation du premier ordre dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) en une “forme différentielle” M dx + N dy = 0, en affirmant que ce n’est qu’une autre notation
• Ensuite, on dit qu’en multipliant par une certaine fonction q(x,y), qM dx + qN dy = 0 devient exacte, mais on ne traite pas correctement la question de savoir si l’équation multipliée est la même que l’équation initiale ou une équation différente
• Une meilleure explication consiste à considérer, avec cette équation du premier ordre, un système autonome plan
  • On traite ensemble dx/dt = N(x,y) et dy/dt = -M(x,y)
  • Les solutions du système sont des trajectoires, c’est-à-dire des courbes paramétrées avec une vitesse
  • Les solutions de l’équation différentielle initiale sont les graphes des courbes intégrales, une fois la vitesse supprimée
• Si l’on change q(x,y), la vitesse sur la trajectoire change, mais les courbes intégrales restent les mêmes
• Le facteur intégrant peut être introduit comme un facteur q qui rend le champ de vecteurs plus facile à traiter géométriquement et analytiquement
• Il n’est pas opposé aux formes différentielles extérieures elles-mêmes, et estime qu’un cours élémentaire de calcul sur les formes différentielles extérieures pourrait bientôt devenir nécessaire dans le cursus de mathématiques de premier cycle

8. Il faut éviter les problèmes énoncés en texte

• Il estime erroné de privilégier les problèmes énoncés en texte au motif qu’ils facilitent la création d’une distribution des notes aux examens et devoirs
• Comme dans l’ancienne formation du Cambridge Tripos, si l’on entraîne les étudiants à appliquer des recettes de résolution, la capacité de manipulation devient plus importante que la compréhension
• Il critique les problèmes énoncés en texte des manuels d’équations différentielles comme artificiels, irréalistes, répétitifs et peu pertinents
• Faire résoudre des problèmes de chasse-neige ou d’écoulement d’eau salée entre des réservoirs reliés ne signifie pas que les étudiants apprennent quelque chose de significatif, selon lui
• Les vrais problèmes qu’un étudiant en économie rencontrera et ceux qu’un étudiant en génie chimique rencontrera sont très différents, et un seul cours d’introduction ne peut pas tous les couvrir sous forme de simples problèmes énoncés en texte

9. Il faut bien motiver la transformée de Laplace

• En général, la transformée de Laplace est motivée par les problèmes de Cauchy pour les équations différentielles linéaires à coefficients constants, mais la transformée inverse n’est pas simple et les problèmes de Cauchy peuvent aussi être résolus autrement, ce qui affaiblit la motivation
• Quand on traite la transformée de Laplace, le mot “fonction” mélange deux concepts différents
  • Les fonctions ordinaires avec un graphe
  • Les fonctions de densité, dont le sens est défini par intégration, comme les densités de masse ou de probabilité
• Pour une fonction de densité, la valeur en un point n’a pas de sens ; c’est l’intégrale sur un intervalle [a,b] qui représente une masse ou une probabilité
• En adoptant ce point de vue, on peut traiter la fonction delta de Dirac de façon simple et rigoureuse
  • Une masse unité au point c est la fonction de densité la plus simple dépourvue de graphe
  • Si l’intervalle ne contient pas c, l’intégrale vaut 0 ; s’il le contient, elle vaut 1
  • On peut en déduire ses propriétés sans la décrire comme une fonction prenant une valeur infinie
• Pour les fonctions de densité, la convolution joue naturellement le rôle d’une multiplication, plutôt que la multiplication au sens habituel
• Il cite comme résultat important sur la convolution le théorème de convolution de Titchmarsh, en indiquant qu’il n’en existe pas de preuve élémentaire connue et que la preuve de Titchmarsh utilise les méthodes des variables complexes

10. Il faut enseigner des concepts, pas des recettes

• Un cours d’introduction aux équations différentielles n’a aucune valeur pédagogique s’il est enseigné comme une collection de recettes
• Au bout d’un an, les étudiants auront oublié la plupart des recettes, et beaucoup d’entre elles sont de toute façon inutiles, selon lui
• Les concepts à laisser aux étudiants sont les suivants
  • L’apparition universelle de la fonction exponentielle
  • La stabilité
  • La relation entre les trajectoires d’un système et les courbes intégrales
  • L’analyse du plan de phase
  • Les manipulations de transformée de Laplace
  • La relation entre la décomposition en fractions partielles et la convolution via la transformée de Laplace
• Il est plus important que les étudiants acquièrent une intuition de l’importance des équations différentielles et de la puissance des mathématiques que de les voir résoudre habilement des problèmes difficiles
• Il est erroné de réduire l’objectif de l’enseignement de premier cycle à la transmission d’informations ; l’information peut être obtenue de meilleures façons hors de la salle de cours
• Un cours de premier cycle réussi consiste à faire en sorte que les étudiants aient le sentiment d’avoir suivi un bon cours, même s’ils ne peuvent pas identifier précisément ce qu’ils ont concrètement appris

[excovert]

On dirait que le contenu et le titre ne correspondent pas ?

[GN⁺]

Commentaires sur Hacker News

• On retrouve un phénomène similaire dans d’autres branches des mathématiques, voire dans plusieurs disciplines. Quand j’ai appris la transformée de Fourier en cours de maths, ça ressemblait à une simple manipulation algébrique mécanique d’intégrales d’exponentielles complexes, et je ne comprenais absolument pas. Mais dès que j’ai vu, en analyse de signaux audio, un spectre d’amplitude d’une forme d’onde, j’ai tout de suite compris ce qui se passait, et la phase n’a plus été difficile ensuite.
  En maths à l’université, ce genre d’exemples pratiques semble presque interdit ; on dirait qu’il y a une volonté de rendre tout extrêmement abstrait et rigoureux. Une fois l’intuition acquise, j’ai commencé à comprendre aussi les maths formelles, et en enseignant, j’ai vu pourquoi c’est comme ça. Pour l’enseignant, cela paraît tellement évident qu’il est difficile d’imaginer l’état d’un étudiant qui ne comprend pas encore la notation et le vocabulaire. Quand on trouve un concept d’un autre domaine que l’étudiant connaît déjà et qu’on le relie à un exemple simple du nouveau sujet pour montrer que « c’est la même chose, seuls la notation et le niveau d’abstraction changent », il y a souvent un déclic. Mais c’est difficile à faire dans un manuel ou dans un grand cours magistral, d’où la nécessité d’un enseignement humain plutôt que de simplement jeter des ressources aux étudiants.

  • Sans exemples pratiques, c’est difficile. Quand j’ai brièvement enseigné les maths à l’université, avec une formation en physique et une expérience dans l’industrie, j’ai dit qu’il serait bien d’avoir des applications d’ingénierie dans un cours d’équations différentielles. Un doctorant brillant qui était chargé de TD a alors répondu, très sérieusement : « Il n’y a pas d’applications d’ingénierie aux équations différentielles. »
  • Ayant étudié les maths théoriques et pratiquant aussi l’électronique en amateur, je peux dire que cette attitude légèrement méprisante des étudiants et enseignants de maths théoriques envers les autres disciplines existait bel et bien. Là où j’étais, on plaisantait même en disant que les étudiants en physique ou en maths appliquées, « ce n’est pas vraiment des maths, juste des formules et du par cœur », et les étudiants en informatique étaient vus encore plus durement.
    Pourtant, de nombreux concepts mathématiques ont été inventés pour résoudre des problèmes physiques réels, ou bien se sont révélés ensuite très utiles pour cela. Historiquement, physique et mathématiques n’étaient pas nettement séparées et se sont énormément influencées mutuellement. J’aime bien l’histoire selon laquelle Einstein, lorsqu’il élaborait la relativité générale, n’était pas particulièrement fort en maths, a dû se faire aider par des amis et passer par quelque chose qui ressemblait presque à des cours particuliers pour comprendre. Je comprenais déjà l’analyse de Fourier avant de faire de l’électronique, mais ce n’est qu’en travaillant sur des problèmes haute fréquence et en commençant à utiliser le domaine fréquentiel pour les circuits que son utilité m’est vraiment apparue.
  • À mon avis, la transformée de Fourier devrait être enseignée en algèbre linéaire, pas dans le cursus d’analyse. C’est là qu’elle prend vraiment sens, et ce serait un bon exemple d’application non triviale qui manque souvent dans les manuels.

• Le support d’introduction aux équations différentielles le plus intuitif que j’aie vu jusqu’ici, c’était https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t....
  Il commence directement par expliquer les équations différentielles, puis aborde leur signification physique et une ou deux méthodes de résolution traditionnelles avant de passer aux méthodes numériques. C’est court, de très bonne qualité, et je le recommande vivement à quiconque veut apprendre les équations différentielles, mais ce n’est pas une ressource destinée à préparer un cursus formel ni à couvrir tout le sujet.

  • Si vous voulez une ressource de niveau cursus formel du côté des premiers pionniers de l’approche pédagogique qui utilise les méthodes numériques pour comprendre les équations différentielles, je recommande très fortement le livre de Blanchard, Devaney et Hall (http://math.bu.edu/odes).

• Si quelqu’un m’avait expliqué à 14 ou 15 ans, quand j’ai appris le calcul pour la première fois, à quoi tout cela servait, j’aurais sans doute été bien moins perdu. Aujourd’hui, avec des exemples comme la vitesse, la distance ou l’accélération, tout cela a parfaitement du sens, mais à l’époque on me l’a présenté uniquement comme une suite de fonctions, de morceaux infiniment petits, de variations delta, d’équations et de preuves : c’était bien trop sec et ennuyeux. Il a fallu attendre des années, jusqu’aux cours de physique, pour que je comprenne un peu ce que fait le calcul.

  • Les cours de calcul que j’ai suivis et enseignés étaient remplis d’exemples tirés du monde physique. Simplement, au moment de la première découverte, je n’avais probablement pas encore le terrain mental nécessaire pour que ces explications et ces exemples prennent racine.
    Devenu doctorant, en revenant sur les bases, je me suis dit : « Mais c’est parfaitement logique, pourquoi on ne m’a pas enseigné ça au lycée ? » Puis j’ai compris que, sans doute, on me l’avait effectivement enseigné, mais que cela ne m’était pas resté faute de maturité mathématique. Le fait que j’étais assez bon en manipulation algébrique pour réussir la plupart des exercices sans comprendre en profondeur les fondements conceptuels n’a pas aidé non plus. La capacité de manipulation algébrique est importante, mais il vaudrait mieux restructurer les cours de façon à ce qu’il soit difficile de les valider sans réelle compréhension conceptuelle.
  • J’ai appris le calcul dans une perspective de mathématiques pures, mais j’avais assez de bases en physique pour relier les deux notions, et cela m’a aidé. Malgré tout, pendant la majeure partie des trois premiers semestres, il suffisait de savoir que « l’intégrale = l’aire sous la courbe » et que « la dérivée = le calcul de la pente en un point de la courbe ».
    Cela dit, les exemples de physique ne fonctionnent bien que pour les étudiants intéressés par la physique. Quand je travaillais dans un institut de soutien en maths, j’ai vu que les exemples de physique des manuels comme Stewart embrouillaient au contraire beaucoup d’étudiants qui ne s’y intéressaient pas. En plus d’apprendre les maths, ils devaient aussi acquérir des notions de physique pour comprendre les exemples. On observait quelque chose de similaire avec les cours de calcul destinés aux étudiants en finance ou en économie : les tuteurs devaient apprendre les notions de base de la finance pour aider sur les exercices, et il arrivait que les étudiants ne sachent résoudre que les problèmes mêlant ces concepts financiers.
  • Le fait que la physique finisse en pratique par faire le travail d’enseignement des maths à la place des départements de maths devrait être une honte générale pour ces derniers.
  • J’ai vécu exactement la même chose. J’ai passé l’essentiel de mon premier semestre avec une moyenne C, parce que je ne comprenais pas ce qu’on faisait ni pourquoi.
    Puis, à la bibliothèque de l’école, en résolvant des problèmes d’eau qui s’écoule par un trou qui s’agrandit progressivement sur le côté d’une piscine, j’ai eu un moment Eurêka, et ensuite tout est devenu clair. J’ai alors eu presque uniquement des A, et cette année-là j’ai été le seul de ma classe à obtenir 5 à l’examen AP. Au final, j’ai poursuivi jusqu’au master en génie électrique avec une spécialisation en traitement du signal, donc il y a quelque chose d’ironique à avoir passé presque huit ans à faire du calcul après avoir si mal compris au départ.
  • Les enfants de parents ingénieurs partent avec un avantage ici. Ces parents peuvent donner des exemples concrets de la manière dont les maths sont utilisées dans le monde réel.
    Une fois que la matière paraît pertinente, on peut aussi expliquer que, même si on n’utilise pas soi-même ces maths directement parce qu’elles sont enfouies dans des logiciels, quelqu’un a bien dû transformer ces maths en code, et nous en bénéficions tous. Dire à un élève : « Tu ne t’en serviras peut-être pas directement, mais les outils que tu utilises, eux, s’en servent en interne » peut être motivant quand il a l’impression de faire un étrange travail ingrat.

• Le premier cours de maths que j’ai suivi à l’université était son calcul infinitésimal du deuxième semestre, et j’ai l’impression d’entendre encore sa voix dans ma tête. C’était une voix inoubliable, et c’était un excellent enseignant.
  Autre point intéressant : à 50 ans, il a choisi de devenir ingénieur, mais l’ingénierie avait déjà beaucoup changé, et l’important était de savoir manier avec aisance des logiciels coûteux. Ces programmes résolvaient les équations différentielles numériquement, et presque personne n’envisageait de les résoudre autrement. Il n’y avait pas le temps pour ça.

  • J’ai l’impression que la plupart des équations différentielles ne peuvent pas être résolues analytiquement. Celles qui se résolvent proprement constituent un tout petit sous-ensemble, comme des puzzles soigneusement conçus, et dans les problèmes réels, les méthodes numériques sont souvent la seule voie pour trouver une solution approchée.
    Cela dit, je comprends que la théorie des équations différentielles reste utile pour concevoir le cadre dans lequel les méthodes numériques fonctionnent.
  • Moi aussi, j’ai suivi le séminaire “exploring higher mathematics” de Rota, et c’était quelqu’un de vraiment brillant. Je garde encore aujourd’hui cette excitation autour de la hiérarchie de l’infini.
    Je suis d’accord avec le deuxième point. Les programmes résolvent les équations différentielles numériquement, mais cela reste utile de savoir un peu comment on les résolvait autrefois.

• J’ai écrit un billet qui dérive toutes les solutions générales des équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre à coefficients constants, c’est-à-dire du système masse-ressort-amortisseur, sous une forme matricielle concise facile à implémenter en code : https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  J’y ai aussi présenté la solution complète en Lua, qui calcule l’évolution temporelle de la position et de la vitesse en choisissant sin/cos ou sinh/cosh selon l’amortissement, la pulsation propre et le résidu.

  • Bon exemple. Les explications côté maths étaient assez lourdes, donc il m’a fallu du temps pour arriver à une compréhension de base, et je ne suis même pas sûr d’avoir bien compris. En revanche, le code Lua, même si les noms de variables obligent à tout lire et à deviner, était facile à comprendre.
    Cela fait longtemps que je n’ai pas manipulé d’équations différentielles au travail, mais je suis d’accord avec la phrase du PDF : « plus j’en savais, moins je comprenais ». Je ne sais pas vraiment si le fait que les maths pures doivent être contaminées par cette chose impure qu’est la réalité aide à comprendre, ou au contraire gêne la compréhension.
  • Le cursus de master consistait en gros à étendre F=Ma-Cv-Kx de toutes les manières possibles jusqu’à arriver finalement à l’analyse par éléments finis. Au bout du compte, tout revient à choisir la fonction de base la plus commode pour la question à laquelle on veut répondre.

• Quand je suis entré en master de génie chimique il y a dix ans, ce qui me frustrait dans les cours, c’est que les maths n’étaient au contraire pas assez rigoureuses. Quand on demandait des clarifications, les incohérences étaient souvent balayées d’un revers de main.
  Les formes différentielles en sont un bon exemple. En cours d’ingénierie, elles apparaissent soudain comme une manière de réécrire des équations, sans rigueur ni formalisme. Personne n’explique ce qu’est une « différentielle », ni s’il existe une base axiomatique permettant de manipuler ces symboles de façon cohérente ; on donne simplement des étapes de résolution pour l’examen. En cours de chimie quantique aussi, j’ai posé des questions sur l’effondrement de la fonction d’onde et sur la possibilité d’une transmission d’information plus rapide que la lumière, mais on m’a répondu que « ce n’était pas au programme ». En cours de master de mécanique statistique, à propos de l’explication selon laquelle la fonction d’onde du système entier serait un déterminant de Slater des fonctions d’onde individuelles, j’ai objecté que l’essentiel de la mécanique quantique est précisément que la fonction d’état du système complet n’est en général pas séparable, et que sinon il n’y aurait pas d’intrication ; mais le professeur a balayé cela en disant qu’un étudiant ne devait pas défier un professeur sur un sujet qu’il ne connaît pas. La carrière de recherche de ce professeur reposait largement sur des articles de chimie computationnelle où l’on mettait des coordonnées atomiques et des types d’atomes dans un logiciel DFT, on l’exécutait, puis on publiait les résultats.

  • Jusqu’à quelle taille de système on peut maintenir l’intrication quantique ou la cohérence quantique reste encore une question ouverte. C’est très important, car cela affecte l’informatique quantique.
    Expérimentalement, il semble que des systèmes suffisamment grands ne puissent pas maintenir longtemps leur cohérence quantique. Si vous voulez savoir comment ce processus est traité mathématiquement, cherchez « quantum decoherence » ; si vous voulez connaître les interprétations physiques possibles, cherchez « objective collapse theory ».
  • En tant que mathématicien, j’ai eu l’impression que beaucoup de non-mathématiciens, y compris des professeurs d’ingénierie, de chimie et de physique, ne comprennent les maths qu’à un niveau opératoire sans creuser davantage.
    À la question « existe-t-il une base axiomatique pour manipuler ces symboles de façon cohérente ? », la réponse est oui. Et une grande partie du monde académique publie dans son petit sous-domaine sans presque jamais réfléchir aux implications plus larges. C’est aussi pour cela que des nouveaux venus avec un bagage un peu différent font souvent beaucoup de découvertes.
  • La DFT utilise l’approximation de Kohn-Sham, qui est une approximation à particule unique, et c’est une théorie de l’état fondamental. Il y a clairement des recherches en chimie quantique dans la direction que tu évoques, mais la DFT n’en fait pas partie. Tu peux regarder la densité de Levy-Lieb et les articles de Mazziotti.
  • Pour ceux qui ne connaissent pas, DFT signifie théorie de la fonctionnelle de la densité.

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• Je suis totalement d’accord avec l’idée que « les équations différentielles linéaires à coefficients constants sont l’essentiel ». Si on remplace les variables par des constantes simples, on peut se faire une intuition de leur fonctionnement ; j’ai du mal à croire qu’on n’enseigne pas d’abord les coefficients constants.

  • Alors attendez de tomber sur des étudiants qui ont validé l’algèbre II sans même comprendre la différence entre coefficients constants et coefficients variables.

• Presque tous les enseignants que j’ai eus jusqu’ici ont inconsciemment insisté pour que les supports d’apprentissage restent aseptisés, sans autoriser, comme dans ce texte, l’humour ni un point de vue affirmé. Pour la plupart des étudiants, « apprendre » est absurdement ennuyeux jusqu’à ce qu’ils quittent l’université ou entrent en master et commencent à apprendre à travers des essais et des mémoires.
  Pendant 12 à 16 ans, on leur présente sous une forme sèche comme l’os des vérités établies qui étaient en réalité parfois le travail de toute une vie de quelques dizaines à quelques milliers de personnes, des gens qui se sont battus en y jouant leur carrière, ont élaboré des visions du monde, plaisanté, se sont mariés, ont divorcé, sont morts, se sont disputés, se sont pris pour cible, et ont distillé dans les manuels une passion immense. Une grande partie des informations apprises en tant qu’étudiant étaient, au moment de leur découverte, extrêmement controversées. Même au musée du verre de Massachusetts Sandwich, les cartels d’exposition résumaient cela de manière policée, du genre « les verriers en place ont protesté contre cette intrusion industrielle », alors que les citations réelles étaient bien plus humaines, racontant par exemple que l’inventeur s’était caché plusieurs semaines dans une chambre pour échapper à des représailles violentes. Si je pouvais changer une chose dans l’éducation moderne, ce serait de faire comprendre aux élèves que le développement et la préservation du savoir n’ont jamais été ordonnés ni exempts de biais, et de les exposer pleinement à l’esprit et à la sagesse des auteurs du passé. J’ajouterais aussi que, à l’exception des artistes et écrivains consacrés à la comédie, les mathématiciens et les ingénieurs étaient souvent bien plus drôles que les artistes et les écrivains

  • En tant qu’ancien enseignant, je pense que la raison est que le système éducatif tel que nous le connaissons existe pour produire à grande échelle des résultats d’apprentissage reproductibles. C’est une tentative de faire entrer dans la tête d’adolescents des connaissances difficilement acquises par des génies sur plusieurs siècles, ce qui, quand on y pense, est assez étrange.
    Vu sous cet angle, c’est malgré tout un succès étonnant, même si cela ne transmet pas vraiment les véritables intuitions. Une meilleure éducation reposerait sans doute sur une approche guidée par l’élève et centrée sur la découverte, mais elle est plus difficile à faire passer à l’échelle et produit des résultats moins déterminés. Nous continuons donc à répéter une éducation ennuyeuse, mais d’une certaine efficacité

• Discussion antérieure à 2022 : https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • Cette discussion abordait le remplacement, en mathématiques, des quantités infiniment petites — qui ne sont pas zéro — par la limite. Les infinitésimaux ont ensuite été réintroduits rigoureusement via https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html.
    Je pense depuis longtemps que cette manière de faire serait plus facile à manipuler sur les ordinateurs modernes