Prologue de « Calculus Made Easy » : le calcul différentiel et intégral s’apprend plus facilement qu’on ne le pense
(calculusmadeeasy.org)- Ce prologue part du fait que beaucoup de personnes parviennent à faire du calcul différentiel et intégral, et explique qu’apprendre les mêmes astuces n’a pas forcément à être difficile ni ennuyeux
- Le calcul différentiel et intégral comporte à la fois des astuces très simples et des parties très difficiles ; il distingue ainsi les deux, au lieu de tout considérer comme difficile dès le départ
- Il critique les manuels de mathématiques avancées, qui traitent les calculs simples de manière compliquée, comme pour montrer l’intelligence de leurs auteurs, plutôt que de les présenter simplement
- Le narrateur se présente modestement comme un « remarkably stupid fellow » et dit vouloir montrer aux lecteurs dans la même situation les parties qui ne sont pas difficiles qu’il a dégagées
- Une fois les parties faciles suffisamment maîtrisées, le reste peut suivre ; la formule « What one fool can do, another can » souligne cette possibilité d’apprentissage
Ce que dit le prologue sur la difficulté du calcul différentiel et intégral
- Le calcul différentiel et intégral n’est pas une discipline dont toutes les parties sont également difficiles : il mêle des astuces simples et des astuces très difficiles
- Le fait que beaucoup de gens sachent effectuer ces calculs montre que d’autres peuvent aussi apprendre les mêmes méthodes
- Les manuels de mathématiques avancées sont critiqués pour leur tendance à présenter les parties simples de façon compliquée plutôt qu’à les expliquer simplement
L’attitude d’apprentissage recommandée au lecteur
- Le narrateur dit avoir lui-même traversé un processus de clarification des difficultés
- Le livre adopte l’idée qu’il faut d’abord maîtriser les parties qui ne sont pas difficiles, puis que le reste pourra suivre une fois ces bases suffisamment solides
- La dernière phrase, « What one fool can do, another can », résume l’idée qu’une chose qu’une personne peut faire, une autre peut aussi l’apprendre
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Avis de Hacker News
Environ dix ans après avoir quitté l’école, des cours de physique m’ont de nouveau attiré, j’ai pris un livre de mécanique classique et je me suis remis aussi à l’algèbre linéaire de base
Mais j’ai été surpris de voir que plusieurs manuels ne traitaient que de la procédure de calcul du produit scalaire de vecteurs, sans presque jamais expliquer pourquoi c’est important — le fait que ce soit utile pour évaluer la similarité de deux vecteurs
Ce n’est qu’après en avoir discuté du sens avec ChatGPT que j’ai été convaincu, et aujourd’hui j’apprécie de pouvoir ralentir davantage qu’à l’université et bien saisir les concepts avant de passer à la suite
La plupart des livres de maths que je lis penchent vers l’exposition de procédures mécaniques plutôt que du sens d’ensemble, si bien que je me demande où trouver des livres qui donnent de meilleures explications sémantiques des concepts
Je me souviens avoir appris la procédure pour calculer des vecteurs propres, mais sans jamais entendre un mot sur la raison pour laquelle on voudrait une telle chose
Pour l’expliquer correctement, il faudrait sans doute fixer des objectifs de cours plus modestes, plutôt que « enseigner à la fois le calcul différentiel et intégral, l’algèbre linéaire et la mécanique quantique »
Après ce jour-là, j’ai perdu toute motivation pour les maths, et plus tard, quand j’ai appris que l’intégration était liée à l’aire sous une courbe et à quel point c’était utile, cela m’a de nouveau mis en colère
La plupart des enseignants font sûrement des efforts avec de bonnes intentions, mais il y a clairement aussi des gens tellement mauvais qu’ils ne devraient plus jamais entrer dans une salle de classe
Avant cela, ce n’était qu’un autre concept abstrait relié à des abstractions qu’il fallait mémoriser pour réussir les examens
Aujourd’hui encore, quand je lis des articles sur des sujets comme les relations en algèbre abstraite, je suis frustré lorsqu’ils se contentent d’aligner des relations symboliques sans même une ou deux phrases sur la manière intuitive de penser le concept
Dans le jeu des mathématiques, ce point de vue finit sans doute par devenir naturel, mais beaucoup de gens apprennent les maths avec une motivation supplémentaire et veulent une perspective qui montre leur utilité réelle ou leur lien avec le monde concret
Rien qu’un exemple concret d’un concept abstrait permettrait à beaucoup plus de lecteurs intelligents et concernés de comprendre les articles de mathématiques
Je n’ai vraiment compris le calcul différentiel et intégral qu’après avoir lu l’excellent livre de Steven Strogatz, Infinite Powers, qui explique non seulement pourquoi, mais aussi l’histoire de ces raisons
Pour moi, c’est un 10/10
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
Les livres de physique de niveau élémentaire que j’ai vus présentaient le produit scalaire par sa définition géométrique et sa définition algébrique, puis montraient qu’elles coïncident en deux ou trois dimensions
Si le « comment » correspond à la définition algébrique, le « pourquoi » correspond à la définition géométrique
En physique, le produit scalaire n’est pas important parce qu’il mesure une similarité, mais parce qu’il donne des longueurs et des angles ; dans des espaces plus abstraits, le produit scalaire peut même devenir la définition de la longueur et de l’angle
En machine learning, on a besoin d’une définition de la similarité, et on peut la poser en termes de petit angle entre deux vecteurs, d’où l’arrivée de ce point de vue
Une mesure de similarité plus traditionnelle est la longueur de la différence, c’est-à-dire la distance, qui se calcule elle aussi avec le produit scalaire
Cela fait vingt ans que je manipule le calcul différentiel et intégral à l’école, au travail et dans mes loisirs, et ce genre de texte me fait toujours plaisir et sourire
Quand c’est bien déroulé, on a l’impression qu’une intuition accumulée pendant des années peut être transmise en quelques minutes
Des explications comme « (dx)^2 est un tout petit morceau d’un tout petit morceau de x » ont aussi été un pilier central dans mes récentes difficultés, après des dizaines d’heures passées à essayer de comprendre ne serait-ce que les bases du calcul stochastique
En voyant ce genre de ressources, je me dis que l’humanité progresse, puisque les nouvelles générations peuvent accéder à ces informations et apprendre plus vite
Même aujourd’hui, il semble difficile que cela change beaucoup
Une partie de cela est liée aux vieux débats, souvent philosophiques et théologiques, autour du statut ontologique des infinitésimaux
Le quotient différentiel est devenu la formalisation officielle du calcul différentiel, mais en pratique on ne l’utilise presque jamais ainsi ; dans la réalité, le calcul est employé de cette façon
Dans la pratique, on utilise encore une notation infinitésimale de fortune, mais c’est un objet bizarre avec ses propres règles, et peu de gens les connaissent vraiment
L’analyse non standard permet de traiter les infinitésimaux presque avec les règles ordinaires de l’algèbre, mais je ne sais pas si elle est moins utilisée à cause de problèmes techniques et philosophiques fondamentaux, ou simplement par conservatisme
Le calcul stochastique est vraiment étrange, et par exemple je n’ai jamais compris la formulation « correcte » d’un filtre de Kalman en temps continu
Si on le voit comme le fait de faire tendre l’intervalle de temps vers zéro, on obtient le bon résultat en bricolant correctement, mais je crois comprendre que, formellement, ce n’est pas exact
Du point de vue de quelqu’un qui suit un cours de calcul différentiel et intégral à l’entrée à l’université, ce genre de fascicule apprendre le calcul facilement paraît agaçant de banalité
La partie difficile n’est pas le concept de plus haut niveau, mais les connaissances de base nécessaires pour résoudre de vrais problèmes de calcul
Pour moi, le plus difficile est d’abord d’avoir des prérequis suffisamment solides pour résoudre des problèmes inattendus, de la complétion du carré à la division longue de polynômes, jusqu’aux équations faisant intervenir des dérivées
Ensuite, c’est de comprendre et d’appliquer correctement les notations et les techniques graphiques, de la notation de Leibniz au tracé de courbes
C’est pour cela qu’il existe de gros livres et cours consacrés au seul calcul d’introduction, qui ne font même pas qu’effleurer les mathématiques plus avancées
Si l’on n’a pas seulement lu la page HTML, c’est un livre en un volume publié en 1910 par Silvanus P. Thompson, suffisamment apprécié pour avoir été réédité par Martin Gardner en 1998, puis soigneusement recomposé en TeX par des bénévoles et mis en ligne sous forme de site web
Il répond clairement à un besoin et n’est pas simplement un fascicule « banal »
Cela dit, certains ne recommandent pas l’édition Gardner, estimant qu’elle fait entrer en collision deux fortes personnalités
Personnellement, je recommande Khan Academy, et il vaut mieux reprendre toute la maths du lycée du début à la fin
J’ai regardé les contenus Khan sur YouTube quand j’étais dans une situation similaire ; mes notes au lycée étaient correctes, mais mon établissement n’était pas bon et j’avais sauté beaucoup de bases, si bien que je n’étais absolument pas préparé à faire de vraies mathématiques
Chaque fois qu’un professeur ou un chargé de TD montrait, dans une expression compliquée, un « truc évident qu’on connaît en algèbre », c’était souvent la première fois que je le voyais de ma vie
Il n’y a pas vraiment d’autre solution que de réapprendre par soi-même l’algèbre, la géométrie et la trigonométrie en apprenant le calcul
Si tes compétences en algèbre sont faibles, tu ne peux pas gérer des équations de calcul, et la solution n’est pas à chercher dans « apprendre facilement le calcul », mais dans « apprendre facilement l’algèbre »
Au lycée, je résolvais assez bien les problèmes de calcul, mais je ne comprenais presque pas ce qu’était réellement une limite
À l’université, comprendre la définition d’une limite et les théorèmes fondamentaux construits dessus a été un grand choc
Pour la plupart des gens qui n’ont pas à résoudre chaque jour des problèmes mathématiques complexes, l’essentiel de l’apprentissage des maths n’est pas la capacité à résoudre mécaniquement des exercices, mais la compréhension des concepts et des idées mathématiques qui façonnent la pensée en général
Quelles parties de l’algèbre ? Il faut le découvrir par toi-même
C’est un gros obstacle quand on apprend les maths à l’envers : à chaque coin de rue apparaît une pièce manquante, qui mène elle-même à une autre pièce manquante
La progression des bases vers l’avancé est frustrante parce que les muscles mathématiques se développent trop lentement, et l’approche de haut en bas est elle aussi lente et frustrante
Comprendre les concepts ne suffit pas à devenir bon en maths, et tant qu’on n’a pas résolu quelques problèmes, il est facile de se tromper soi-même en croyant avoir « compris »
Ce n’est qu’après avoir suffisamment répété des exercices de niveau inférieur pour en faire de la mémoire musculaire qu’on peut passer au niveau supérieur
Malgré tout, il arrive un moment où la douleur et l’impression de terrier de lapin diminuent assez vite : c’est un point d’inflexion, les exercices répétés paient, et le lot suivant devient un peu plus facile
C’est pareil en programmation : connaître le concept de boucle ne suffit pas à écrire efficacement du code de tri de tableaux ; il faut avoir suffisamment pratiqué la syntaxe et les boucles, puis répéter les algorithmes de tri jusqu’à les intégrer
En traversant ce processus, on voit les mêmes concepts revenir sous différentes variantes, et on commence à les maîtriser en de moins en moins de temps
C’est aussi pour cela que beaucoup de gens abandonnent simplement et acceptent l’idée qu’ils n’ont pas le gène des maths
Comme autre livre à lire sur le calcul, il y a The Calculus: A Genetic Approach d’Otto Toeplitz
Il suit une démarche similaire, et je l’ai trouvé agréable à lire
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
Je « connaissais » le calcul suffisamment pour avoir de bonnes notes en maths au lycée et en école d’ingénieurs, mais je n’ai eu l’impression de vraiment connaître le calcul qu’après avoir lu un livre comme “A Course of Pure Mathematics”, paru en 1908
Ce livre part de la théorie des nombres pour construire le calcul, et il me semble que le théorème fondamental du calcul arrive vers le milieu du livre
Appris de cette façon, c’est difficile à oublier
À mon avis, si l’on n’enseigne plus ainsi aujourd’hui, c’est parce que le système d’examens et les grands amphithéâtres encouragent la mémorisation temporaire des formules clés et le fait de savoir où les appliquer mécaniquement, plutôt qu’une compréhension profonde et durable du sens
Le fait que les professeurs de maths changent chaque année, si bien que la compréhension des prérequis du cours de l’année suivante varie d’un élève à l’autre, et que le début de chaque chapitre doive être consacré à la révision et à l’intégration, y contribue aussi
Obtenir une compréhension riche qui dure toute une vie demanderait sans doute seulement 10 à 20 % de temps en plus, mais on privilégie la compression et les résultats immédiatement mesurables plutôt que l’apprentissage réel
Tomber sur ce genre de ressources me réjouit vraiment, mais c’est aussi amer, parce que cela fait prendre conscience de l’état assez désastreux des méthodes éducatives modernes courantes
Ces derniers mois, j’étudie les bases de l’algèbre avec la chaîne YouTube de Professor Leonard[0]
Mon objectif est de combler mes lacunes avant de revoir le calcul
Le faire correctement prend pas mal de temps, mais aujourd’hui j’ai beaucoup plus confiance en mon niveau qu’avant, et cela en soi est gratifiant et motivant
Avant de commencer, je ne savais pas que mes lacunes en algèbre étaient aussi grandes
Mon objectif final est de suivre “Neural Networks: Zero to Hero”[1] d’Andrej Karpathy sans trop de difficultés
Partir quasiment de « 0 » pour acquérir les prérequis avant d’apprendre en autodidacte ce que je veux vraiment apprendre est éprouvant, mais prendre un raccourci me semble finir inévitablement en frustration
Me voilà donc, à 38 ans, en train de suivre des cours d’algèbre sur YouTube
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
Je confonds toujours ce livre avec Calculus for the Practical Man, que Feynman a étudié
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
Je me demande s’il ne faudrait pas mentionner directement l’auteur Silvanus P. Thompson[1] dès le début
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
Le lien ne mène pas à la première page où figure le nom de l’auteur
Je pensais simplement que l’auteur avait volontairement adopté un ton excessivement mignon
Le titre dit qu’il rend le calcul infinitésimal facile, mais il n’y a même pas de théorie des catégories
J’ai l’impression d’entendre quelqu’un demander : « Comment est-ce possible ?! »
Ce livre a été écrit en 1910, et la théorie des catégories est apparue 50 ans plus tard, donc c’est inévitable
Mais il n’y a pas de quoi s’inquiéter
Il existe un livre qui développe le calcul différentiel et intégral ordinaire au moyen des catégories
Je ne sais pas ce qu’il y a de plus simple que ça, mais si je trouve, je vous le dirai
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
Je suis reconnaissant pour l’effort, mais après seulement quelques pages, j’ai l’impression que ce n’est pas la ressource que je voudrais si j’apprenais le calcul infinitésimal pour la première fois
Ce n’est pas non plus parfait pour réviser
L’auteur pointe correctement les problèmes de la plupart des livres « sérieux », mais il corrige trop dans l’autre sens, au point de rendre la compréhension inutilement compliquée et peut-être même plus difficile que dans certains manuels formels
C’est trop verbeux, informel, et assez difficile à lire et à suivre
Je n’ai pas besoin de références à des poèmes de Dean Swift ou à « l’époque de la reine Élisabeth » ; je veux seulement savoir ce qu’est le calcul infinitésimal, pourquoi il est nécessaire, et comment on le pratique concrètement
Même si l’on suit une approche d’ingénierie qui semble plus facile, et a fortiori si l’on adopte une approche un tant soit peu mathématique, je pense qu’un certain degré de formalisme reste nécessaire
Les mathématiques sont un domaine où il est très facile de croire qu’on a compris sans avoir réellement compris, puis de rester bouche bée face à de fausses preuves paradoxales ou à une demande de démonstration directe
Pour distinguer une dérivation valide d’une dérivation invalide, il faut bien, au bout du compte, des définitions formelles
En réalité, les fondements formels eux-mêmes ne sont pas du tout difficiles à comprendre
Tout le monde peut facilement convenir que x² croît plus vite que x, et si l’on introduit la notion de limite, on peut voir pourquoi (dx)² peut être négligé par rapport à dx
Il n’est pas nécessaire pour cela de comparer des semaines et des minutes, et ce genre d’analogie peut au contraire détourner l’attention
J’ai l’impression que lire quelques définitions formelles demande bien moins de patience que plusieurs pages de digressions à « l’ancienne anglaise »
Édit : ah, ce n’était pas une « stylisation », c’était vraiment un vieux texte
Cela ne change toutefois pas l’essentiel : il existe aujourd’hui des ressources bien meilleures pour apprendre le calcul infinitésimal