Il n’est pas facile d’écrire un manuel de calcul infinitésimal de manière rigoureuse
Si l’on pousse trop loin la rigueur, cela devient un livre d’« analyse réelle », alors que le but du calcul infinitésimal est d’introduire des concepts, pas d’enseigner une analyse complète
J’apprécie que ce livre ne s’attarde pas excessivement sur la notion de convergence et se concentre davantage sur les descriptions verbales des fonctions et sur leurs liens avec l’algèbre linéaire
En tant que professeur de mathématiques ayant enseigné le calcul infinitésimal à de nombreuses reprises, je pense qu’il est difficile de résumer l’objectif d’un cours de calcul en une seule formule
Le calcul infinitésimal est un domaine rare des mathématiques qui est beaucoup plus facile à comprendre à un niveau non rigoureux
Par exemple, si l’on dit que « la dérivée est un taux de variation instantané » et que l’on manipule dy/dx comme une vraie fraction, des concepts comme la règle de la chaîne deviennent bien plus intuitifs à expliquer
La plupart des manuels restent dans un entre-deux maladroit entre rigueur et non-rigueur, et je pense qu’il vaut mieux choisir clairement un camp
Ce livre ne conviendra pas à tout le monde, mais c’est justement sa force
Puisqu’il y a déjà Apostol, mieux vaut trouver une ancienne édition si l’on veut apprendre le calcul infinitésimal lui-même
Les éditions récentes ajoutent du contenu comme l’algèbre linéaire, mais le prix est beaucoup trop élevé (150 $/volume)
L’auteur dit vouloir présenter les mathématiques « d’une manière intuitive et informelle, mais sans perdre la rigueur logique », pourtant les manuels occidentaux ont tendance, avec le temps, à devenir de moins en moins rigoureux
À l’inverse, ce n’est pas le cas des manuels asiatiques ou russes
Comme les étudiants demandent davantage d’explications visuelles et informelles, je crains qu’ils aient ensuite du mal à s’adapter à un formalisme rigoureux au stade de la recherche
Parmi les manuels russes, Mathematics: Its Content, Methods and Meaning de Aleksandrov, Kolmogorov et Lavrent’ev est toujours considéré comme un chef-d’œuvre
Il a été publié en trois volumes en 1962, et l’édition anglaise les regroupe en un seul volume
Si les manuels occidentaux sont devenus moins rigoureux, c’est peut-être aussi parce que le public visé s’est élargi à mesure que des étudiants qui seraient autrefois allés en école professionnelle sont arrivés à l’université
Pour inclure des étudiants aux parcours plus variés, les manuels ont inévitablement dû changer
Je me demande ce que signifie exactement le mot « rigoureux »
Est-ce que cela veut dire traiter tout le contenu à travers des démonstrations, ou bien se concentrer sur la théorie plutôt que sur les applications ? C’est ambigu
Il existe un ancien billet de blog connexe → Professor Confess
Il soutient que l’expansion des prêts étudiants est liée à l’effondrement des exigences académiques
L’idée est qu’en voulant maximiser les frais de scolarité, les établissements évitent d’échouer les étudiants, ce qui a réduit la difficulté et la rigueur
Je suis également d’accord avec cet avis
Le problème, ce ne sont pas les étudiants, mais les spécialistes en pédagogie et les éditeurs qui choisissent les manuels et décident de leur publication
Vouloir créer un manuel qui convienne à tout le monde est absurde
La plupart des gens n’ont pas besoin de connaître le calcul infinitésimal, et s’ils l’apprennent, ils devraient l’apprendre vraiment avec rigueur
Ce livre semble tenter de couvrir plusieurs parcours d’apprentissage
① un calcul infinitésimal centré sur les démonstrations pour les mathématiciens
② un calcul centré sur le calcul effectif pour les étudiants en ingénierie et en sciences
③ un calcul simplifié pour les sciences sociales et la gestion
Si l’on pouvait réellement fusionner ① et ②, ce serait remarquable
Mais je pense que ces deux parcours sont difficiles à fusionner Leurs objectifs et leurs méthodologies sont trop différents
Par exemple, les discussions ε-δ dans le cours d’analyse de Tao sont assez éloignées des équations différentielles réelles ou de l’analyse de stabilité
On peut être capable de démontrer qu’un sous-espace dense d’un espace de Hilbert existe, et être pourtant complètement perdu en analyse multi-échelle
J’ai parcouru rapidement le livre et il m’a beaucoup plu
J’ai appris les mathématiques surtout comme un ensemble de procédures et de règles, donc j’étais plus habitué aux manipulations mécaniques qu’à la rigueur théorique
Ce livre permet à ce type de lecteur de réexaminer les concepts fondamentaux
« What is Calculus? » n’arrive qu’au chapitre 6 (page 223), et « Differentiation » au chapitre 8 (page 261), ce qui montre que les 200 premières pages consolident vraiment les bases
Je le recommande vivement comme support de révision ou en parallèle d’un autre cours
Je me demande dans quelle mesure la rigueur et l’abstraction en mathématiques aident réellement à résoudre des problèmes concrets
J’ai l’impression que, pour améliorer sa capacité à résoudre des problèmes d’ingénierie, étudier les modèles probabilistes est plus utile que la théorie de la mesure
Pour moi, des livres centrés sur l’intuition et les applications, comme Mathematical Methods for Physics and Engineering, ont été plus efficaces
Je préfère les livres qui ne demandent pas de prérequis séparés et qui couvrent dans un seul volume tout ce dont on a besoin Calculus for Machine Learning (Jason Brownlee) ou No Bullshit Guide to Math & Physics (Ivan Savov) en sont de bons exemples
À l’école, on suit plusieurs matières en parallèle, mais je pense en réalité qu’un curriculum intégré est plus efficace
Quand j’ai vu que ce livre était du calcul infinitésimal pour informaticiens, j’ai cru qu’il utilisait peut-être l’approche fondée sur le Big-O proposée par Knuth en 1998
(lien vers la lettre de Knuth)
Mais en réalité, il commence comme une introduction assouplie à l’analyse réelle
En fait, ce livre traite lui aussi de la notation O dans la section « Order of Vanishing » du chapitre « Limits and Continuity »
Je suis plutôt du côté du calcul numérique, mais ce PDF constitue une référence bien plus lisible que Wikipédia
Cela me rappelle une phrase de Goethe — « Les mathématiciens sont une sorte de Français. Quand on leur parle, ils traduisent cela dans leur langue, et cela devient aussitôt tout autre chose »
1 commentaires
Commentaires Hacker News
Il n’est pas facile d’écrire un manuel de calcul infinitésimal de manière rigoureuse
Si l’on pousse trop loin la rigueur, cela devient un livre d’« analyse réelle », alors que le but du calcul infinitésimal est d’introduire des concepts, pas d’enseigner une analyse complète
J’apprécie que ce livre ne s’attarde pas excessivement sur la notion de convergence et se concentre davantage sur les descriptions verbales des fonctions et sur leurs liens avec l’algèbre linéaire
Le calcul infinitésimal est un domaine rare des mathématiques qui est beaucoup plus facile à comprendre à un niveau non rigoureux
Par exemple, si l’on dit que « la dérivée est un taux de variation instantané » et que l’on manipule dy/dx comme une vraie fraction, des concepts comme la règle de la chaîne deviennent bien plus intuitifs à expliquer
La plupart des manuels restent dans un entre-deux maladroit entre rigueur et non-rigueur, et je pense qu’il vaut mieux choisir clairement un camp
Ce livre ne conviendra pas à tout le monde, mais c’est justement sa force
Les éditions récentes ajoutent du contenu comme l’algèbre linéaire, mais le prix est beaucoup trop élevé (150 $/volume)
L’auteur dit vouloir présenter les mathématiques « d’une manière intuitive et informelle, mais sans perdre la rigueur logique », pourtant les manuels occidentaux ont tendance, avec le temps, à devenir de moins en moins rigoureux
À l’inverse, ce n’est pas le cas des manuels asiatiques ou russes
Comme les étudiants demandent davantage d’explications visuelles et informelles, je crains qu’ils aient ensuite du mal à s’adapter à un formalisme rigoureux au stade de la recherche
Il a été publié en trois volumes en 1962, et l’édition anglaise les regroupe en un seul volume
Pour inclure des étudiants aux parcours plus variés, les manuels ont inévitablement dû changer
Est-ce que cela veut dire traiter tout le contenu à travers des démonstrations, ou bien se concentrer sur la théorie plutôt que sur les applications ? C’est ambigu
Il soutient que l’expansion des prêts étudiants est liée à l’effondrement des exigences académiques
L’idée est qu’en voulant maximiser les frais de scolarité, les établissements évitent d’échouer les étudiants, ce qui a réduit la difficulté et la rigueur
Le problème, ce ne sont pas les étudiants, mais les spécialistes en pédagogie et les éditeurs qui choisissent les manuels et décident de leur publication
Vouloir créer un manuel qui convienne à tout le monde est absurde
La plupart des gens n’ont pas besoin de connaître le calcul infinitésimal, et s’ils l’apprennent, ils devraient l’apprendre vraiment avec rigueur
Ce livre semble tenter de couvrir plusieurs parcours d’apprentissage
① un calcul infinitésimal centré sur les démonstrations pour les mathématiciens
② un calcul centré sur le calcul effectif pour les étudiants en ingénierie et en sciences
③ un calcul simplifié pour les sciences sociales et la gestion
Si l’on pouvait réellement fusionner ① et ②, ce serait remarquable
Leurs objectifs et leurs méthodologies sont trop différents
Par exemple, les discussions ε-δ dans le cours d’analyse de Tao sont assez éloignées des équations différentielles réelles ou de l’analyse de stabilité
On peut être capable de démontrer qu’un sous-espace dense d’un espace de Hilbert existe, et être pourtant complètement perdu en analyse multi-échelle
J’ai parcouru rapidement le livre et il m’a beaucoup plu
J’ai appris les mathématiques surtout comme un ensemble de procédures et de règles, donc j’étais plus habitué aux manipulations mécaniques qu’à la rigueur théorique
Ce livre permet à ce type de lecteur de réexaminer les concepts fondamentaux
« What is Calculus? » n’arrive qu’au chapitre 6 (page 223), et « Differentiation » au chapitre 8 (page 261), ce qui montre que les 200 premières pages consolident vraiment les bases
Je le recommande vivement comme support de révision ou en parallèle d’un autre cours
Je me demande dans quelle mesure la rigueur et l’abstraction en mathématiques aident réellement à résoudre des problèmes concrets
J’ai l’impression que, pour améliorer sa capacité à résoudre des problèmes d’ingénierie, étudier les modèles probabilistes est plus utile que la théorie de la mesure
Pour moi, des livres centrés sur l’intuition et les applications, comme Mathematical Methods for Physics and Engineering, ont été plus efficaces
Je préfère les livres qui ne demandent pas de prérequis séparés et qui couvrent dans un seul volume tout ce dont on a besoin
Calculus for Machine Learning (Jason Brownlee) ou No Bullshit Guide to Math & Physics (Ivan Savov) en sont de bons exemples
À l’école, on suit plusieurs matières en parallèle, mais je pense en réalité qu’un curriculum intégré est plus efficace
Quand j’ai vu que ce livre était du calcul infinitésimal pour informaticiens, j’ai cru qu’il utilisait peut-être l’approche fondée sur le Big-O proposée par Knuth en 1998
(lien vers la lettre de Knuth)
Mais en réalité, il commence comme une introduction assouplie à l’analyse réelle
un billet du blog Quomodocumque,
le blog Cornell Math
et le blog Texnical Stuff
Le billet de Terry Tao sur la formalisation de la notation O mérite aussi le détour
(ces liens proviennent du billet récapitulatif de Shreevatsa)
Je suis plutôt du côté du calcul numérique, mais ce PDF constitue une référence bien plus lisible que Wikipédia
Cela me rappelle une phrase de Goethe — « Les mathématiciens sont une sorte de Français. Quand on leur parle, ils traduisent cela dans leur langue, et cela devient aussitôt tout autre chose »