La plus grande racine d’un polynôme aléatoire à coefficients réels a plus de chances d’être réelle que complexe

La plus grande racine d’un polynôme aléatoire est-elle plus susceptible d’être réelle que complexe ?

• Le nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire à coefficients réels est bien plus faible que le nombre de racines complexes
  • En supposant toutefois que les coefficients sont indépendants et uniformément distribués aléatoirement dans l’intervalle (-1, 1)
  • Pour un polynôme de degré n, le nombre de racines réelles est asymptotiquement \( (2 \log n) / \pi + o(1) \, tandis que le nombre de racines complexes est approximativement \( n - (2 \log n) / \pi \)
• La plus grande racine (ou la plus petite) est définie comme la racine de plus grande valeur absolue (ou de plus petite valeur absolue)
• Bien que les racines réelles soient exponentiellement moins nombreuses que les racines complexes, les données expérimentales indiquent que :
  • la probabilité que la plus grande racine (ou la plus petite) soit réelle est plus élevée que la probabilité qu’elle soit complexe
  • cette probabilité diminue vers une valeur proche de 1/2 lorsque n tend vers l’infini
• Cela va à l’encontre de l’intuition, car malgré leur nombre bien plus faible, les racines réelles semblent plus susceptibles de contenir à la fois la plus grande et la plus petite racine

Question 1

• Quelle est la cause de ce biais ?

Question 2

• La probabilité que la plus grande racine (ou la plus petite) d’un polynôme de degré n soit réelle converge-t-elle bien vers une valeur proche de 1/2 lorsque n tend vers l’infini ?

L’avis de GN⁺

• À ce stade, le fait que la probabilité que la plus grande ou la plus petite racine soit réelle converge vers 1/2 semble être une conjecture non démontrée. Une preuve rigoureuse semble nécessaire
• On sait que les racines des polynômes aléatoires à coefficients réels se répartissent avec des angles uniformes autour du cercle unité, avec une répulsion très locale entre les racines. Mais alors que les racines complexes peuvent se répartir autour du cercle unité, la répulsion entre racines réelles force celles-ci à devenir soit plus petites, soit plus grandes.
• Même si le nombre de racines réelles n’augmente que logarithmiquement par rapport au nombre de racines complexes, on peut considérer qu’il reste significatif.
• Vu sous cet angle, il n’est pas si surprenant que la plus petite racine soit réelle.
• Une étude plus approfondie de la distribution des racines des polynômes aléatoires à coefficients réels semble nécessaire, en particulier une preuve rigoureuse de la valeur limite de la probabilité que la plus grande ou la plus petite racine soit réelle.

[GN⁺]

Commentaires Hacker News

Résumé des commentaires Hacker News

Discussion sur la probabilité de la plus grande racine réelle pour des polynômes à coefficients aléatoires

• Il est surprenant que la probabilité de la plus grande racine réelle se situe entre le hasard et 1/phi
• Les nombres premiers ne sont pas aléatoires mais émergent récursivement à partir des nombres premiers précédents, on peut donc s’attendre à ce que les schémas de croissance naturels reflètent e et phi
• R offre un support intégré pour ce type d’expériences numériques

  plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
  

• D’autres questions sont soulevées, comme la définition de l’aléatoire et la prise en compte ou non de la différence entre degrés impairs et pairs
• Il est supposé qu’en mettant les coefficients à l’échelle, on obtiendrait une distribution non uniforme pour tous les coefficients sauf le plus grand

Demande de conseils pour réapprendre les mathématiques

• La personne appréciait les mathématiques à l’université, mais après avoir peu pratiqué pendant deux ans depuis l’obtention du diplôme, elle doit les réapprendre
• Il lui est suggéré de chercher des idées amusantes comme Project Euler ou de refaire des exercices de manuels

Réflexions sur un résultat contraire à l’intuition

• Si l’on choisit des racines au hasard dans le plan complexe, on n’obtient presque jamais un polynôme à coefficients réels, donc il semble intuitivement plus plausible d’obtenir davantage de racines réelles
• Tentative d’approche intuitive à l’aide de la symétrie par réflexion, ainsi que réflexion sur ses limites
• Comme il n’existe pas de formule générale pour les polynômes de degré 5 ou plus, il est difficile de distinguer racines réelles et complexes
• Une question est posée sur le fait de savoir si les coefficients des polynômes aléatoires sont réels ou complexes
• Résultat surprenant, contrairement à l’idée selon laquelle la probabilité d’une racine réelle serait proche de 0 parce que le plan complexe est bien plus vaste que la droite réelle