Une avancée notable sur l’hypothèse de Riemann

 (mathstodon.xyz)
1 points par GN⁺ 2024-06-05 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • Guth et Maynard ont pour la première fois amélioré de manière substantielle la borne d’Ingham de 1940 sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, mais on reste encore loin d’une résolution de l’hypothèse de Riemann elle-même
  • L’objet central est N(σ,T), le nombre de zéros dont la partie réelle est au moins σ et dont la partie imaginaire est de module au plus T ; à σ=3/4, la borne existante était restée sans progrès majeur pendant plus de 80 ans
  • Le nouveau résultat abaisse, pour σ=3/4, la borne de 3/5=0.6 à 13/25=0.52 et fournit une estimation de densité des zéros de la forme N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Cette amélioration élargit l’intervalle dans lequel on peut démontrer le théorème des nombres premiers sur presque tous les intervalles courts (x, x+x^θ), de θ > 1/6 à θ > 2/15
  • Ce résultat restreint plus fortement la possibilité de “nombreuses violations intermédiaires” de l’hypothèse de Riemann, mais ne constitue pas un progrès sur les régions sans zéros (zero-free regions) qui excluent une violation unique mais importante

La borne de densité des zéros améliorée par Guth–Maynard

  • L’article de Guth et Maynard, New large value estimates for Dirichlet polynomials, démontre une nouvelle borne sur la fréquence à laquelle des polynômes de Dirichlet prennent de grandes valeurs
  • Il traite en particulier le cas critique où un polynôme de Dirichlet de longueur N atteint une taille proche de N^{3/4}, ce qui constituait un goulet d’étranglement pour plusieurs estimations en théorie analytique des nombres liées aux nombres premiers et à la fonction zêta de Riemann
  • N(σ,T) désigne le nombre de zéros de la fonction zêta de Riemann dont la partie réelle est au moins σ et dont la valeur absolue de la partie imaginaire est au plus T
    • On peut voir l’hypothèse de Riemann comme l’assertion que N(σ,T) vaut 0 pour tout σ > 1/2
    • Comme on ne sait pas le démontrer de manière inconditionnelle à l’heure actuelle, on établit à la place des estimations de densité des zéros, c’est-à-dire des bornes supérieures non triviales sur N(σ,T)

La borne d’Ingham bloquée depuis plus de 80 ans

  • σ=3/4 joue ici un rôle central
  • En 1940, Ingham a obtenu la borne N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)}
  • Pendant les 80 années suivantes, cette borne n’a pratiquement pas été améliorée, si ce n’est par de petites raffinements du terme d’erreur o(1)
  • Cette limite a freiné plusieurs problèmes en théorie analytique des nombres
    • Pour obtenir un bon théorème des nombres premiers sur presque tous les intervalles courts (x, x+x^θ), il fallait longtemps se contenter du domaine θ > 1/6
    • Le principal obstacle était l’absence d’amélioration de la borne d’Ingham

Comment les nouveaux chiffres mènent à un résultat sur les intervalles courts de nombres premiers

  • Guth–Maynard améliore la borne d’Ingham de 3/5=0.6 à 13/25=0.52
  • L’article inclut une estimation de densité des zéros de la forme N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
  • Pour les intervalles courts de nombres premiers, ils en déduisent une formule asymptotique pour des intervalles de longueur x^{17/30+o(1)}
  • La plage de validité du théorème des nombres premiers sur presque tous les intervalles courts (x, x+x^θ) s’en trouve également améliorée
    • Avant : θ > 1/6 = 0.166...
    • Après amélioration : θ > 2/15 = 0.133...
  • Si l’hypothèse de Riemann est vraie, cette plage pourrait s’étendre à tout θ > 0

Des manipulations inattendues utilisées dans la preuve

  • L’argument a pour l’essentiel un caractère d’analyse de Fourier
  • Une partie des premières étapes est standard et familière aux analystes des nombres qui ont tenté de dépasser la borne d’Ingham
  • Ensuite, plusieurs choix contre-intuitifs jouent un rôle clé
    • Contrôler la matrice de phases n^{it}=e^{it log n} en la portant à la puissance 6
    • Ne pas simplifier certaines intégrales de Fourier complexes par la méthode de la phase stationnaire, et conserver à la place une forme factorisée qui sera utile plus tard, même au prix d’une perte dans l’exposant
    • Découper l’argument selon que l’additive energy des positions où une série de Dirichlet prend de grandes valeurs est faible, intermédiaire ou élevée, puis appliquer des raisonnements différents dans chaque cas
  • La forme exacte de la fonction de phase t log n, inhérente aux séries de Dirichlet, devient très importante
  • Il ne s’agit donc pas de sommes exponentielles générales de l’analyse harmonique, mais d’une exploitation de la structure particulière des sommes exponentielles issues de la théorie analytique des nombres

La densité des zéros et les régions sans zéros sont deux choses différentes

  • Ce résultat aide à réduire la possibilité de “nombreuses violations assez mauvaises” de l’hypothèse de Riemann
    • Ce type d’amélioration est particulièrement utile pour comprendre les nombres premiers dans les intervalles courts
  • En revanche, il n’exclut pas une “violation unique très mauvaise” de l’hypothèse de Riemann
    • C’est le rôle des régions sans zéros
    • Pour comprendre les nombres premiers sur de longs intervalles, les régions sans zéros jouent un rôle central
  • La meilleure région sans zéros asymptotique connue reste la région sans zéros de Vinogradov–Korobov
    • Dans cette notation, si σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T, alors N(σ,T) disparaît complètement
    • Ce résultat aussi est resté presque inchangé depuis 1958
  • Dans l’aspect q, l’élimination des zéros de Siegel pour les fonctions L constitue également une percée majeure du côté des régions sans zéros
  • D’un point de vue schématique, plus l’exposant connu θ(σ) est bas, meilleure est la borne
    • La nouvelle courbe de Guth–Maynard améliore, près de σ=3/4, la meilleure des bornes d’Ingham et de Huxley
    • Mais elle n’atteint toujours pas la conjecture de densité dans cette zone
    • L’hypothèse de Riemann correspondrait à abaisser tout le schéma sur l’axe des x

À lire aussi

1 commentaires

 
GN⁺ 2024-06-05
Avis sur Hacker News

  • Il existe une visualisation de la fonction zêta réalisée en JavaScript, avec zoom infini et paramètres ajustables : https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    Cela peut aider à comprendre intuitivement pourquoi cette conjecture a de fortes chances d’être vraie. Elle rend les sommes partielles et trace le chemin de zêta.
    Le rendu inclut toutes les sommes partielles jusqu’au N-critical calculé automatiquement, c’est-à-dire le point où la différence de phase entre deux termes devient inférieure à π, la limite de Nyquist. Après cela, le comportement des sommes partielles devient monotone.
    Les clusters ressemblent à des modes d’aliasing qui se déplacent d’avant en arrière lorsque la fréquence instantanée des termes se situe entre kπ et (k+1)π, et la zone de marche aléatoire est la région où il n’y a qu’un seul point par mode d’aliasing. La ligne verte met en évidence la symétrie des sommes partielles, et les clusters conservent cette symétrie avec la zone de marche aléatoire. Cette symétrie est bien synthétisée dans cet article : https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • Il y a quelques années, j’avais imaginé une interprétation en traitement du signal assez intuitive de l’hypothèse de Riemann ; en résumé, la fonction zêta peut être vue comme un échantillonneur en temps logarithmique.
      zeta(s) est la transformée de Laplace de sum(delta(t-ln n)), échantillonnée aux instants t=(ln n) pour les entiers n>0, et la vitesse d’échantillonnage augmente rapidement.
      On peut l’imaginer comme la réponse impulsionnelle issue d’une boîte noire ; selon le paramètre de partie réelle, cette réponse impulsionnelle peut être d’énergie finie ou bien être un signal de puissance. Si l’on suppose que l’énergie sum(|1/s|^2) est finie, c’est-à-dire que real(s) > 1/2, alors l’hypothèse de Riemann revient à dire que cette somme n’est pas nulle. C’est un peu comme dire qu’un échantillonneur logarithmique ne peut pas détruire de l’information sans même être alimenté.
    • J’en ai fait une aussi. La mienne est réalisée avec Unity et montre une spirale 3D qui monte le long de l’axe Y.
      Je pense que la visualisation en trois dimensions aide : https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • Waouh, la vôtre est bien plus chouette que la mienne : https://matt-diamond.com/zeta.html
      Cela dit, c’est amusant de voir que tant de gens ont essayé de faire ça. Le résultat est joli, et c’est un exercice de programmation intéressant.
    • Je me demande quelle formule est effectivement utilisée pour tracer le graphique.
    • Existe-t-il de bonnes ressources pour aborder ce sujet de façon digeste ?

  • James Maynard apparaît souvent dans Numberphile ; si vous voulez une explication mathématique accessible par l’un des auteurs de cet article, ça vaut le coup d’y jeter un œil : https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • Si vous cherchez une introduction à l’hypothèse de Riemann qui aille plus loin que la plupart des vidéos tout en restant accessible à quelqu’un ayant une formation STEM, cette série de vidéos de zetamath était vraiment très bonne.
    J’ai aussi compris tout le billet original du professeur Tao jusqu’à la partie sur le fait de “contrôler la matrice clé des phases”, donc ces vidéos m’ont clairement appris quelque chose.
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • J’imagine ce que cela doit faire de voir Terence Tao résumer votre argument en disant qu’il a lui-même essayé quelque chose de similaire, sans succès.
    “L’argument est globalement de nature analytique au sens de l’analyse de Fourier. Les premières étapes sont standard et seront reconnaissables par beaucoup de théoriciens analytiques des nombres, moi compris, qui ont tenté de dépasser la borne d’Ingham. Mais ils réalisent ensuite plusieurs manœuvres ingénieuses et inattendues.”

    • Il est tout à fait courant qu’une technique essayée sans succès par un mathématicien de tout premier plan soit employée avec succès par un autre.
    • Je ne l’ai jamais rencontré personnellement, mais l’écriture de Tao est très humble et bienveillante. Il parle ouvertement de choses qu’il a essayées et qui n’ont pas abouti.
      Il écrit aussi beaucoup, en général, sur les outils et leurs limites. Je recommande vraiment de lire son blog.
    • Deux des auteurs de l’article sont déjà assez solidement établis dans le domaine.
      [0] : https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1] : https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • Cela doit vraiment ressembler à une vraie méritocratie. Surtout dans un milieu où les classements stricts ne sont pas la norme, Terence Tao ne se verrait sans doute pas lui-même comme étant au “sommet” de quoi que ce soit.
      En outre, cela peut refléter une base solide et une compréhension selon lesquelles les actions de quelqu’un ne sont pas nécessairement corrélées à sa réputation. C’est particulièrement vrai lorsque produire des résultats relève de l’effort individuel ou d’une équipe rigoureuse, et non d’un concours de popularité.
      Cela peut sembler étrange à ceux qui évoluent dans des environnements de business classique, de grandes entreprises, de VC ou d’université, où la politique domine, où la méritocratie n’est qu’une formule de motivation agréable et où la popularité devient une véritable monnaie.

  • À propos de la preuve proposée en 2018, cet article qui expliquait son importance potentielle était une introduction utile
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • Je me demande quelle est l’importance potentielle de la preuve. L’article reste assez vague :

      (Les nombres premiers) sont importants pour sécuriser les communications chiffrées transmises sur Internet. Et, point essentiel, d’innombrables articles de mathématiques supposent l’hypothèse de Riemann vraie. Si cette hypothèse de base est démontrée correcte, « beaucoup de résultats que l’on croit vrais deviendront des résultats dont on sait qu’ils sont vrais », explique Ken Ono, mathématicien à Emory University, à Atlanta. « C’est une sorte d’oracle mathématique. »
      Existe-t-il des applications claires et connues pour lesquelles une preuve de l’hypothèse de Riemann aurait un effet pratique immédiat ? Au-delà de la satisfaction intellectuelle ou d’un « chiffrement un peu meilleur »

  • Fait amusant : l’un des auteurs, Larry Guth, est le fils d’Alan Guth, physicien théoricien célèbre pour la cosmologie inflationnaire (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

  • Je me demande quoi penser de tous les théorèmes qui dépendent de l’hypothèse de Riemann en prenant comme principe le tiers exclu
    Les constructivistes rejettent le tiers exclu, estimant qu’une preuve de « A ou B » doit effectivement contenir une preuve de A ou une preuve de B. Or personne ne dispose encore ni d’une preuve de RH, ni d’une preuve de ~RH
    C’est important dans les systèmes logiques dits incomplets, où certains théorèmes ne sont ni démontrables ni réfutables ; dans de tels systèmes, le tiers exclu est un axiome inadmissible

    • Ce n’est pas un peu un autre sujet ? Je pensais que l’idée centrale était que prouvabilité et vérité sont distinctes
    • J’ai déjà entendu ce raisonnement :
      Si RH est indémontrable dans un sens comme dans l’autre, alors il ne peut certainement pas exister de contre-exemple à RH. S’il y en avait un, on pourrait le trouver et prouver que RH est fausse
      Donc si RH est indémontrable, elle doit être vraie. Mais cela semble utiliser une logique extérieure au système logique dans lequel RH opère

  • Cette section de commentaires est bizarrement remplie de gens qui veulent paraître intelligents sans vraiment comprendre le sujet, et qui produisent l’effet inverse
    Il faudrait lâcher prise sur cette anxiété. On peut tout à fait admettre honnêtement qu’on ne comprend pas quelque chose. Tout le monde ignore plus de choses qu’il n’en comprend

    • À l’exception d’un commentaire signalé, je trouve les commentaires plutôt approfondis et intéressants. Il y a aussi une chouette démo de visualisation de la fonction zêta de Riemann :
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      Au contraire, ton commentaire me paraît assez condescendant, et ressemble davantage à une projection qu’à une contribution pertinente
    • Seulement cette section de commentaires ?

  • Quelqu’un peut expliquer ça à un non-mathématicien ?

    • L’un des plus grands problèmes non résolus des mathématiques est l’hypothèse de Riemann. Elle affirme que les solutions d’une certaine équation, zeta(z)=0, ont toutes une forme particulière
      Presque tous les mathématiciens en activité ont essayé de la résoudre à un moment de leur vie. Cette hypothèse a des implications profondes en théorie des nombres, par exemple sur la répartition des nombres premiers
      Dans un article récent, plusieurs mathématiciens affirment avoir établi des bornes plus fortes sur l’endroit où ces solutions peuvent se trouver. Dans l’article lié, Terrence Tao, l’un des meilleurs mathématiciens actuels, évalue ce travail très positivement
      Personnellement, je ne pense pas que ce soit encore quelque chose qui doive énormément intéresser les non-mathématiciens. C’est un résultat extrêmement technique, qui pourrait encore se révéler faux ou incomplet lors d’examens ultérieurs
      Il existe beaucoup de ressources à lire sur l’hypothèse de Riemann, ses implications et les tentatives pour la résoudre
    • Pense à Indiana Jones and the Last Crusade. On n’est pas encore entré dans la salle, mais on a désamorcé l’un des pièges du temple
    • Pour le contexte, cette vidéo donne un bon aperçu de l’hypothèse de Riemann : https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • Il existe une formule d’approximation du nombre de nombres premiers inférieurs à N, quand N devient grand
      Si l’hypothèse de Riemann est vraie, on sait que l’erreur de cette approximation est bien contrôlée et faible, ce qui permet ensuite de démontrer beaucoup d’autres résultats d’approximation. Il existe de nombreux résultats de la forme « si l’hypothèse de Riemann est vraie… »
    • Prime Obsession est une bonne introduction, au format livre, à l’hypothèse de Riemann et à Riemann lui-même, qui ne suppose pas de formation mathématique

  • Bon timing. Je suis justement en train d’écouter The Humans de Matt Haig, dont l’histoire commence après que quelqu’un a démontré l’hypothèse de Riemann