Une percée révèle la structure cachée d’une poignée de nombres premiers

 (science.org)
1 points par GN⁺ 2024-08-02 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • Le préprint de James Maynard et Larry Guth, mis en ligne le 31 mai, écarte certaines exceptions à l’hypothèse de Riemann et marque la plus forte avancée depuis des décennies sur un problème vieux de 165 ans visant à révéler la structure cachée de la répartition des nombres premiers
  • L’objet central est celui des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann, directement liés à la compréhension de l’erreur entre l’estimation de Gauss du nombre de nombres premiers et leur répartition réelle
  • Les ordinateurs ont vérifié que plus de 10 000 milliards de zéros ont tous une partie réelle égale à 1/2, mais ce que veulent les mathématiciens n’est pas une validation empirique, c’est une preuve qu’aucune autre position n’est possible
  • Ce résultat abaisse la borne supérieure sur le nombre de zéros au point 3/4, qui n’avait pas été améliorée depuis Albert Ingham en 1940, et brise une barrière ancienne en combinant théorie analytique des nombres et analyse harmonique
  • Une preuve complète de l’hypothèse de Riemann reste lointaine, mais cette avancée pourrait déboucher sur de nouveaux outils pour estimer le nombre de nombres premiers sur des intervalles plus courts et traiter d’autres problèmes de théorie des nombres

L’hypothèse de Riemann pour déchiffrer la répartition des nombres premiers

  • Tout entier naturel peut être décomposé en produit de nombres premiers, divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes, et les mathématiciens cherchent depuis longtemps à comprendre comment ces nombres sont disposés sur la droite des nombres
  • À première vue, les nombres premiers semblent assez aléatoires, mais on pense qu’ils recèlent une structure cachée
  • Depuis 165 ans, l’hypothèse de Riemann est au cœur de cette quête
    • Si elle était démontrée, elle pourrait jouer le rôle d’une pierre de Rosette pour déchiffrer les nombres premiers
    • Le Clay Mathematics Institute offre un prix d’un million de dollars pour sa résolution

L’estimation de Gauss et les zéros de la fonction zêta

  • À la fin des années 1700, Carl Friedrich Gauss, alors âgé de 16 ans, observa que les nombres premiers deviennent plus rares quand ils grandissent, et estima que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à X suit approximativement l’échelle X / ln X
  • Cette estimation s’est révélée très juste, le nombre réel de nombres premiers oscillant légèrement au-dessus et au-dessous de cette courbe
  • En 1859, Bernhard Riemann a tenté de traiter l’écart entre la courbe de Gauss et la distribution réelle des nombres premiers à l’aide de la fonction zêta de Riemann
    • Cette fonction prend en entrée des nombres complexes, qui possèdent à la fois une partie réelle et une partie imaginaire
    • Les zéros de la fonction zêta, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles la fonction zêta de Riemann s’annule, décrivent directement les fluctuations de l’erreur autour de la courbe de Gauss

Les contraintes imposées par l’hypothèse de Riemann

  • L’hypothèse de Riemann prédit que, à l’exception de certaines solutions triviales obtenues pour des entrées négatives, la partie réelle vaut 1/2 pour toutes les entrées correspondant à des zéros de la fonction zêta
  • Si cette hypothèse est vraie, alors les fluctuations du nombre de nombres premiers sont limitées, ce qui signifie qu’il n’existe ni gros amas ni grands vides dans leur répartition sur la droite des nombres
  • Jusqu’ici, les ordinateurs ont examiné plus de 10 000 milliards de zéros non triviaux de la fonction zêta, et tous se trouvent exactement sur la droite de partie réelle 1/2
  • Mais une validation empirique ne suffit pas
    • Pour Maynard, une preuve ne se contenterait pas de confirmer que l’énoncé est vrai : elle permettrait de comprendre pourquoi, et fournirait de puissantes nouvelles méthodes pour travailler sur les nombres premiers
    • À ce jour, il n’existe même pas encore de voie d’attaque vraiment plausible pour démontrer l’hypothèse de Riemann

L’étroite faille visée par ce résultat

  • Comme les mathématiciens ne peuvent pas démontrer directement l’hypothèse de Riemann dans son ensemble, ils ont découpé le problème en restreignant progressivement les régions où les zéros de la fonction zêta ne peuvent pas se trouver
  • Les zéros non triviaux de la fonction zêta sont déjà confinés entre 0 et 1
  • Il existe aussi une symétrie miroir autour de 1/2 : exclure des zéros au point 3/4 revient donc aussi à exclure des zéros au point 1/4
  • Les méthodes existantes fonctionnaient mieux entre 1/2 et 3/4, ou entre 3/4 et 1, mais il restait possible qu’un grand nombre de zéros se cachent à 3/4
  • La meilleure borne connue sur le nombre de zéros pouvant se situer à 3/4 remontait au mathématicien britannique Albert Ingham en 1940, et personne n’était parvenu à l’améliorer depuis

L’approche de Maynard et Guth

  • Maynard, spécialiste de théorie analytique des nombres et lauréat de la médaille Fields 2022, réfléchissait de façon répétée à ce problème chaque vendredi après-midi depuis dix ans sans réussir à avancer
  • Lors d’une réunion de l’American Mathematical Society en 2020, Maynard a demandé de l’aide à Larry Guth, du MIT, spécialiste de l’analyse harmonique
    • L’analyse harmonique est liée à des techniques qui empruntent des idées à la physique, notamment la décomposition d’un son en notes constitutives
    • Guth a lui aussi travaillé plusieurs années sur le problème et, juste avant d’abandonner, a trouvé une percée avec Maynard
  • En empruntant des stratégies au langage mathématique de l’autre et en s’échangeant tard dans la nuit des idées par e-mail, les deux chercheurs ont, de manière peu conventionnelle, réussi à dépasser la borne d’Ingham

Une portée possible pour l’ensemble de la théorie des nombres

  • Maksym Radziwill estime que ce travail constitue la première idée vraiment nouvelle depuis 50 ans dans l’étude des zéros de la fonction zêta, et pense qu’un domaine longtemps laissé en jachère pourrait de nouveau se remettre en mouvement
  • Cette borne améliorée aide très peu à démontrer l’hypothèse de Riemann dans son ensemble, mais elle pourrait avoir des effets sur toute la théorie des nombres
    • Les mathématiciens pourraient mieux estimer le nombre de nombres premiers sur des intervalles plus courts
    • Radziwill pense que cette nouvelle stratégie pourrait aider à simplifier ses travaux antérieurs liés aux systèmes dynamiques
    • Elle pourrait aussi contribuer au problème de Kakeya
    • Guth souhaite utiliser ces idées pour explorer les liens profonds entre la physique des ondes et la distribution des ensembles de nombres

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1 commentaires

 
GN⁺ 2024-08-02
Avis de Hacker News

  • C’est un sujet paru en mai, et Quanta a déjà publié un meilleur article à ce sujet, qui a aussi été discuté ici
    https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-ne...

  • J’imagine que cette découverte puisse mener à une percée plus vaste sur les nombres premiers, rendant facile la factorisation en facteurs premiers de grands entiers et neutralisant du jour au lendemain la cryptographie à clé publique comme RSA
    Si n’importe qui pouvait casser des clés de taille utilisée en production, même avec un CPU grand public, le secteur dispose-t-il de plans de reprise après sinistre pour ce genre de situation ? Les grands acteurs pourraient-ils basculer rapidement vers d’autres systèmes cryptographiques non cassés ? Ce serait un jour de rêve pour les développeurs de jailbreaks, les moddeurs de consoles et les partisans de la « liberté des appareils », mais l’impact global serait catastrophique et difficile à mesurer
    Je me demande si le secteur ne considère tout simplement pas une percée soudaine en théorie des nombres comme un événement possible

    • Ce genre de chose est arrivé plusieurs fois avec RSA
      Il fut un temps où le gouvernement américain limitait l’exportation des clés RSA longues, et une grande partie du monde utilisait alors des clés RSA de 128 bits, avant de migrer en urgence vers des clés de 512 bits à cause de la méthode de Dixon. Ensuite, il a fallu passer rapidement à 1024 bits à cause du crible algébrique spécial (special number field sieve), puis de nouveau à 2048 bits à cause du crible algébrique général (general number field sieve), et ce n’est pas si ancien que cela
      Si l’on regarde le matériel de chiffrement RSA des années 80, certains appareils se vantaient de gérer du 512 bits. Aujourd’hui, ils ne servent plus à rien
      https://people.csail.mit.edu/rivest/pubs/pubs/Riv84.pdf
      Les formules de complexité du crible algébrique spécial/général ne diffèrent que par quelques constantes ; quand on regarde ces constantes, je me demande si elles ont vraiment l’air de limites fondamentales. Il me semble vraiment difficile d’affirmer qu’il n’existe aucune façon de réduire encore ces constantes au point de rendre inutiles même les clés de 2048 bits
      Inutile de demander « que se passerait-il si RSA était cassé ». Pour avoir déjà vécu plusieurs fois ce genre de situation, je peux dire tout de suite qu’on se précipiterait à nouveau pour augmenter la taille des clés et qu’on auditerait toutes les données susceptibles d’avoir été exposées
    • Si l’on découvrait une méthode permettant de factoriser facilement de grands entiers sur du matériel grand public, ce serait très douloureux, car RSA est l’un des principaux algorithmes à clé publique
      Cela dit, avant de s’inquiéter, il faut se rappeler que RSA a résisté jusqu’ici à 47 ans de cryptanalyse active. Pendant ce temps, beaucoup d’algorithmes alternatifs prétendument supérieurs ont été proposés, mais nombre d’entre eux ont été cassés peu après
      Le mouvement vers les algorithmes à courbes elliptiques s’explique surtout par le fait qu’ils sont plus faciles à gérer par les ordinateurs pour le chiffrement/déchiffrement
      Personnellement, si je devais parier de l’argent sur un algorithme à clé publique qui sera encore là dans 10 ans, je miserais sur RSA
    • C’est là, je pense, qu’intervient la transition vers les courbes elliptiques, et elle semble déjà assez avancée aussi bien pour les signatures que pour les handshakes (Diffie-Hellman)
      La reprise après sinistre ne serait pas l’affaire d’une minute, mais si RSA/DH devenait non sécurisé du jour au lendemain, je ne pense pas que tout resterait grand ouvert tel quel. Même mes clés SSH sont aujourd’hui un mélange de plusieurs méthodes
    • Le secteur n’était même pas prêt pour une mauvaise mise à jour CrowdStrike, mais au bout de quelques jours il a tout de même réussi à s’en sortir
      On surestime, me semble-t-il, la capacité à se préparer aux scénarios catastrophes, et on sous-estime la capacité à survivre
    • Il existe un point de vue selon lequel la découverte d’une factorisation rapide serait extrêmement rare. Tant de personnes très intelligentes se sont penchées dessus qu’à ce stade, c’est probablement impossible ; mais ce récit lui-même pourrait être une faiblesse
      Ce risque est aussi réel que celui d’une grande tempête solaire qui ferait tomber le réseau électrique, avec une reprise sur plusieurs années digne de l’âge de pierre à cause des délais de fabrication des transformateurs et de l’insuffisance des stocks, mais vu sous cet angle, il paraît trop faible et trop théorique pour qu’on y consacre beaucoup de temps
      Quant à la planification, je ne sais pas s’il est si simple de passer simplement à ECC. Le chiffrement asymétrique réel avec ECC repose sur un secret partagé ; si l’on suppose que RSA est cassé et que le canal d’échange n’est plus sûr, cela pourrait devenir plus vulnérable aux attaques de l’homme du milieu que RSA. Cela ne ressemble pas à un remplacement facile
      Par ailleurs, il est aussi possible que RSA soit déjà cassé et que la solution soit gardée secrète par des organismes de cryptanalyse. Pour eux, cacher une percée serait très tentant, et ils pourraient chercher des moyens d’étouffer une « percée soudaine en théorie des nombres »

  • Les gens pensent toujours que la structure des nombres premiers est complexe, mais en réalité je la vois simplement comme une structure récursive de tailles d’écart que les multiples des écarts précédents n’ont pas pu atteindre.
    Cela ne la rend pas facile à « prédire » sans suivre tous les écarts précédents, mais ce n’est pas une structure intrinsèquement complexe. Ce qui est amusant, c’est qu’une structure aussi simple soit si difficile à saisir. C’est un peu comme la suite 3n+1 qui engendre de la complexité, ou comme l’application logistique qui devient complexe une fois un seuil franchi.

    • Un générateur qui produit « tous les nombres premiers » est assez simple et déterministe.
      Mais si l’on ne dispose que du nombre premier n et que l’on veut obtenir le suivant, il faut recalculer des restes non triviaux ; la seule représentation binaire du nombre n ne contient donc pas assez d’information pour répondre rapidement à la question du prochain nombre premier. Il faut d’abord précalculer quelques points de référence. Au final, il y a bien davantage de complexité, mais cela reste simple et assez évident, et ce n’est même pas un problème qui relèverait de NP.
    • Ah oui, bien sûr. Rien de plus simple que de fournir la théorie de base de la théorie des nombres, l’un des domaines les plus rigoureux et intellectuellement intimidants des mathématiques /s
    • Je me demande pourquoi ce n’est pas considéré comme un problème résolu.
      https://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory
      https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_irreducibility
      https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling

  • Le passage « lors de séances de réflexion dédiées le vendredi après-midi, il est revenu sans cesse sur ce problème pendant la dernière décennie, sans résultat » est encourageant.

    • Je crois me souvenir que Richard Hamming réservait lui aussi ses vendredis après-midi aux réflexions profondes et ambitieuses. C’est une belle approche.

  • Si l’on trace la courbe de Gauss et la courbe de Riemann dans un certain espace, quelque chose d’encore plus magique apparaît.
    Pour voir ce que cela signifie au sujet des zéros triviaux et non triviaux, regardez cette animation Wikipédia : [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_I...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_Im_1_to_51.ogg)
    En gros, j’y vois l’indice qu’il existe encore une autre relation, non découverte, entre les réels et les imaginaires.
    Et comme les mathématiques de Riemann interviennent en mécanique quantique, cela a aussi des implications pour la recherche d’une théorie de la gravité.
    L’idée que les nombres premiers interviennent, ou puissent intervenir, dans une théorie de la gravité a quelque chose de science étrange.

  • L’expression « ils ont finalement joué quelques coups non orthodoxes pour franchir la borne d’Ingham » m’intrigue.
    En quoi est-ce non orthodoxe d’emprunter des méthodes à un autre domaine ? Dans une formation d’ingénieur, c’est au contraire courant. L’analyse harmonique est un outil fondamental en audio, dans l’étude des ondes, l’analyse électrique, les statistiques et bien d’autres domaines, et ses algorithmes relèvent eux-mêmes des mathématiques pures.
    Si l’on veut trouver une structure répétitive dans un certain système de bases, il me semble normal d’essayer plusieurs techniques de représentation, puis de choisir celle qui convient le mieux au problème.

    • La citation ne me semble pas dire que la partie non orthodoxe de leur approche serait simplement d’avoir utilisé des idées d’analyse harmonique. Utiliser l’analyse harmonique en théorie des nombres n’a rien de nouveau.
      Dès le premier cours de théorie analytique des nombres, l’idée centrale — et celle du célèbre article de Riemann de 1859 — peut être décrite comme de « l’analyse harmonique ». Ce n’est pas un hasard si Riemann a été un pionnier du domaine : https://old.reddit.com/r/math/comments/16bh3mi/what_is_the_b...
      Même le grand courant le plus en vue actuellement en théorie des nombres est, fondamentalement, de l’analyse harmonique « en dimension supérieure » sur les corps de nombres : https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_form, https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program. Le cas unidimensionnel que le programme de Langlands cherche à généraliser est https://en.wikipedia.org/wiki/Tate%27s_thesis, aussi appelé « analyse de Fourier sur les corps de nombres », et c’est l’une des idées les plus importantes de la théorie des nombres du XXe siècle.
      Parmi les références de l’article de Guth-Maynard figure aussi le livre de 1994 de H. Montgomery, Ten Lectures On The Interface Between Analytic Number Theory And Harmonic Analysis, No. 84. American Mathematical Soc., 1994. Il existait déjà en 1994 de quoi faire dix conférences sur ces interfaces, et le nombre de citations de ce livre montre qu’il y en avait bien davantage. Moi-même, je l’ai cité dans plus de la moitié de mes articles.
      Ce qui est surprenant, ce n’est pas le fait d’avoir utilisé l’analyse harmonique en soi, mais où et comment elle a été appliquée. C’est la partie vraiment impossible à transmettre à un grand public, donc je ne veux pas en vouloir à l’auteur de l’article.
      On dirait que vous demandez « pourquoi est-il surprenant d’établir un lien ? », mais les percées viennent souvent de nouveaux liens, et le fait que de telles percées se produisent parfois ne rend pas ces nouveaux liens moins surprenants.
    • « Non orthodoxe » est peut-être un peu fort, mais l’idée est sans doute qu’ils ont appliqué d’une nouvelle manière des techniques existantes venues d’un autre domaine.
      En mathématiques, de grandes percées surviennent assez souvent quand quelqu’un repère un parallélisme entre deux domaines apparemment sans rapport, puis utilise les idées de l’un comme source d’intuition pour l’autre.
      La difficulté tient au fait que ces connexions entre domaines ne sont généralement pas évidentes. Voir la similarité peut demander un saut conceptuel considérable.
    • C’est une formulation un peu amusante. C’est juste un journaliste qui écrit comme un journaliste.
      On pourrait aussi dire que toute découverte mathématique comporte une certaine dose de coups « non orthodoxes ». L’orthodoxie, après tout, c’est simplement tout ce que l’on connaissait jusque-là.

  • Dans la phrase « À première vue, cela paraît assez aléatoire. Mais en réalité, on pense qu’il existe ce genre de structures cachées au sein des nombres premiers », je me demande à quoi pourrait ressembler un hypothétique motif des nombres premiers
    Faut-il s’attendre à une sorte de formule en forme fermée ? Si l’hypothèse de Riemann était démontrée, quelle serait l’étape suivante pour comprendre leur distribution ? Ou bien s’attend-on à ce que la preuve elle-même contienne cette réponse ?

  • Chaque fois que j’entends parler de James Maynard, l’idée qu’il est un génie comme il n’en apparaît qu’un par génération se renforce
    Il a déjà apporté tellement de contributions à la théorie des nombres premiers, et j’ai l’impression qu’une preuve de l’hypothèse de Riemann pourrait voir le jour de mon vivant

  • C’est la première fois que je vois cette illustration, et elle est suffisamment captivante pour piquer ma curiosité. Les motifs qui apparaissent lorsqu’on trace les nombres premiers en coordonnées polaires sont-ils une découverte récente, ou sont-ils connus depuis longtemps et simplement utilisés ici comme illustration ? J’aimerais connaître leur nom et leur histoire

  • C’est un peu une digression, mais cette phrase me fait penser à un aspect des démonstrateurs automatiques que nous n’avons peut-être même pas encore commencé à envisager
    « Alex Kontorovich, mathématicien à Rutgers University, déclare : “C’est une percée sensationnelle. Cette preuve regorge d’idées nouvelles que les gens vont continuer à extraire pendant des années.” »
    La preuve de quelque chose est souvent plus intéressante comme nouvelle perspective sur cet objet que comme simple moyen de lui conférer de la rigueur. Je me demande s’il y a eu des travaux allant dans ce sens en mathématiques automatisées