Pourquoi ce grand mathématicien voulait-il un polygone à 17 côtés sur sa pierre tombale ?
- Le mathématicien Gauss a laissé de nombreuses réalisations majeures en mathématiques
- Parmi elles, il souhaitait faire graver un « polygone régulier à 17 côtés » sur sa pierre tombale
- À 18 ans, Gauss a résolu à l’aide du polygone régulier à 17 côtés un problème qui tourmentait les mathématiciens depuis 2 000 ans
Géométrie de la Grèce antique
- Les Grecs de l’Antiquité excellaient en géométrie et se concentraient sur la construction de figures à l’aide du compas et de la règle
- Le compas est un outil qui permet de tracer un cercle à partir de deux points, et la règle sert à tracer des droites
- Ces outils ne permettent ni de mesurer des distances ni de mesurer des angles
- Cette approche de la construction géométrique provient des Éléments d’Euclide
- Euclide cherchait à déduire toute la géométrie à partir d’un minimum d’hypothèses
Exemples de construction géométrique
- Comment trouver le milieu d’un segment donné
- En utilisant le compas, on trace des cercles centrés sur les deux points
- En reliant à la règle les points d’intersection des deux cercles, on peut trouver le milieu
- Cette construction ne se contente pas de partager le segment en deux, elle forme aussi un angle droit
- En reliant quelques points supplémentaires, on peut construire un triangle équilatéral
L’obstacle
- Un polygone régulier est une figure dont tous les côtés et tous les angles sont égaux
- Euclide avait trouvé comment construire le triangle équilatéral, le carré et le pentagone régulier
- Il avait aussi découvert comment doubler le nombre de côtés de ces polygones
- Mais il ne parvenait pas à construire l’heptagone régulier ni le hendécagone régulier
- Ce problème est resté irrésolu pendant 2 000 ans
Le salut venu des mathématiques du XVIIIe siècle
- Jusqu’en 1796, aucun nouveau polygone régulier constructible n’avait été découvert
- Gauss a ramené le problème de la construction des polygones réguliers à celui de la construction de segments de longueur particulière
- Pour construire l’heptadécagone régulier, il faut construire un segment d’une longueur spécifique
- Cette longueur s’exprime par x = cos(2π/17)
- Les longueurs constructibles au compas et à la règle sont celles qui peuvent s’exprimer à l’aide d’additions, de soustractions, de multiplications, de divisions et de racines carrées
- Gauss a démontré que l’heptadécagone régulier est constructible
- Gauss a complètement établi quels polygones réguliers sont constructibles ou non
- Il a prouvé que l’heptagone régulier et le hendécagone régulier ne sont pas constructibles
L’héritage de Gauss
- Gauss voulait faire graver un heptadécagone régulier sur sa pierre tombale
- Mais il ne l’a finalement pas été
- Le monument commémoratif de Gauss à Brunswick, en Allemagne, porte une étoile à 17 branches
Le résumé de GN⁺
- À 18 ans, Gauss a résolu grâce à l’heptadécagone régulier un problème resté sans solution pendant 2 000 ans
- Cela montre le lien entre les méthodes de construction géométrique de la Grèce antique et l’algèbre moderne
- La réalisation de Gauss a permis de déterminer les limites des figures constructibles au compas et à la règle
- Le sujet stimule la curiosité mathématique et aide à comprendre le lien profond entre la géométrie et l’algèbre
- Parmi les projets offrant des fonctions similaires, on peut citer Wolfram Alpha et GeoGebra
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