Pourquoi Gauss voulait un heptadécagone sur sa tombe
(scientificamerican.com)- À 18 ans, Johann Carl Friedrich Gauss a prouvé la constructibilité de l’heptadécagone régulier, apportant une réponse décisive à un problème de géométrie antique vieux de plus de 2 000 ans
- Ce problème trouve ses racines dans les constructions à la règle et au compas d’Euclide : la question centrale était de savoir s’il était possible de construire réellement une figure avec seulement une règle non graduée et un compas
- Euclide savait construire le triangle régulier, le carré, le pentagone régulier et leurs extensions, mais des figures comme l’heptagone régulier et l’hendécagone régulier sont restées longtemps sans solution
- Plutôt que de tracer directement la figure, Gauss a prouvé sa constructibilité en exprimant la longueur nécessaire à l’heptadécagone régulier, cosine(2π/17), au moyen des seules opérations algébriques autorisées
- Avec la démonstration rigoureuse apportée ensuite par Pierre Wantzel, il est devenu possible de distinguer quels polygones réguliers sont constructibles et lesquels ne le sont pas
La figure que Gauss voulait laisser sur sa tombe
- Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) était particulièrement fier, parmi ses nombreux accomplissements mathématiques, de sa démonstration concernant l’heptadécagone régulier
- À 18 ans, Gauss a résolu grâce à cette figure un problème classique qui avait résisté aux mathématiciens pendant plus de 2 000 ans
- Ce problème fait le lien entre la géométrie antique, qui cherchait à construire réellement des figures, et une approche moderne consistant à analyser les équations qui les gouvernent
Les constructions à la règle et au compas dans la Grèce antique
- Dans la géométrie grecque antique, la construction s’apparentait à un jeu strict consistant à construire des figures avec seulement une règle non graduée et un compas
- Le compas sert, à partir de deux points donnés, à tracer un cercle centré sur l’un des points et passant par l’autre ; la règle sert à tracer la droite reliant deux points
- Ces deux outils n’ont pas de graduation, il est donc impossible de mesurer directement des distances ou des angles
- Ces règles remontent aux Éléments d’Euclide, au IIIe siècle avant notre ère
- Plutôt que de supposer l’existence des figures, Euclide cherchait à les construire explicitement à partir de matériaux simples : des droites et des cercles
Bissection d’un segment et triangle équilatéral
- Étant donnés deux points A et B, si l’on trace le cercle centré en A passant par B et le cercle centré en B passant par A, les deux cercles se coupent en deux points
- En reliant ces deux points d’intersection à la règle, on obtient une droite qui coupe exactement en deux le segment initial AB
- La même construction permet aussi de produire un angle droit entre deux droites, un résultat non trivial avec des outils aussi limités
- En reliant quelques points supplémentaires, on peut construire un triangle équilatéral, dont tous les côtés et tous les angles ont la même mesure
- Chaque côté du triangle équilatéral est le rayon d’un cercle de même taille, donc les trois côtés ont la même longueur
- Cela correspond à la première proposition du livre I des Éléments d’Euclide
L’impasse dans la construction des polygones réguliers
- Parmi les figures constructibles à la règle et au compas, les polygones réguliers occupent une place particulière
- Un polygone est une figure délimitée par des côtés rectilignes, et un polygone régulier a tous ses côtés et tous ses angles de même mesure
- Il est facile de construire un triangle quelconque, mais un polygone régulier doté d’une symétrie parfaite, comme un triangle équilatéral, exige une construction plus délicate
- Euclide savait construire le triangle équilatéral, le carré et le pentagone régulier
- Une fois un polygone régulier construit, il était possible de doubler le nombre de ses côtés
- Le triangle équilatéral peut être étendu en hexagone régulier, en dodécagone régulier, etc.
- Le carré conduit à l’octogone régulier, à l’hexadécagone régulier, etc.
- Le pentagone régulier peut être étendu en décagone régulier, en icosagone régulier, etc.
- Euclide a aussi montré comment « multiplier » le triangle équilatéral et le pentagone régulier pour construire un pentadécagone régulier
- Cependant, on ne savait pas si l’heptagone régulier et l’hendécagone régulier pouvaient être construits avec seulement une règle et un compas, et cette lacune a subsisté pendant 2 000 ans
Le tournant algébrique de Gauss
- Jusqu’en 1796, aucun nouveau polygone régulier constructible n’avait été ajouté, mais les mathématiciens avaient approfondi leur compréhension des constructions à la règle et au compas elles-mêmes
- Gauss savait que la construction d’un polygone régulier pouvait être réduite à un problème de construction d’un segment d’une certaine longueur
- Pour construire un heptadécagone régulier, il suffit de prendre un point A sur le cercle unité de rayon 1, puis de construire un point B situé exactement à un dix-septième du tour sur la circonférence
- Si l’on peut construire le point B, on peut répéter la même opération sur toute la circonférence et relier les points à la règle pour obtenir l’heptadécagone régulier
- En fin de compte, le point essentiel est de savoir si l’on peut tracer un segment d’une certaine longueur x, exprimée par la formule x = cosine(2π/17)
Longueurs constructibles et cinq opérations
- À l’époque de Gauss, on connaissait un critère permettant de déterminer quelles longueurs sont constructibles à la règle et au compas
- Une longueur est exactement constructible lorsqu’elle peut être exprimée à partir d’entiers en utilisant seulement l’addition, la soustraction, la multiplication, la division et la racine carrée
- Par exemple, √(99/5) est constructible, car cette expression s’obtient en appliquant la division et la racine carrée à 99 et 5
- En revanche, π et la racine cubique de 2 ne peuvent pas être exprimés avec ces cinq seules opérations, et ne sont donc pas constructibles
- Les actions permises par les outils de construction de la Grèce antique coïncident avec les opérations naturelles de l’algèbre moderne
- Cela tient au fait que les équations des droites et des cercles n’utilisent que ces cinq opérations, un point de vue qu’Euclide, à une époque antérieure à l’algèbre, aurait difficilement pu imaginer
La démonstration de l’heptadécagone régulier et la classification
- Gauss n’a pas réellement tracé l’heptadécagone régulier
- Il a plutôt exprimé la longueur nécessaire à l’heptadécagone régulier, cosine(2π/17), au moyen des cinq opérations algébriques autorisées par la règle et le compas, prouvant ainsi que cette figure est constructible en principe
- L’expression en question est complexe et montre les efforts considérables que Gauss, alors adolescent, a consacrés à ce problème
- Plus encore, Gauss a caractérisé quels polygones réguliers sont constructibles et lesquels ne le sont pas
- En 1837, Pierre Wantzel a fourni une démonstration rigoureuse montrant que la classification de Gauss ne laissait aucun cas de côté
- Il en résulte que l’heptagone régulier et l’hendécagone régulier ne peuvent pas être construits avec seulement une règle et un compas, et qu’il existe une infinité de figures impossibles à construire de la même manière
Pas sur la tombe, mais sur le monument
- Selon le biographe G. Waldo Dunnington, Gauss était très fier d’avoir résolu ce problème vieux de plusieurs millénaires et avait dit à un ami qu’il voulait faire figurer un heptadécagone régulier sur sa tombe
- En réalité, aucun heptadécagone régulier n’a été gravé sur sa tombe
- À la place, au dos du monument situé à Brunswick, en Allemagne, ville natale de Gauss, figure une étoile à 17 sommets
- Le tailleur de pierre a choisi une forme étoilée, estimant que les gens ne distingueraient pas un heptadécagone régulier d’un cercle
1 commentaires
Commentaires sur Hacker News
Même 200 ans après Gauss, alors que les mathématiques ont énormément progressé, on ne sait toujours pas quel est, en théorie, le plus grand polygone régulier à nombre impair de côtés constructible à la manière d’Euclide.
Pour ceux que cela intrigue : la réponse se ramène à des combinaisons de multiples de nombres premiers de Fermat, et personne ne sait s’il existe des nombres premiers de Fermat après 3, 5, 17, 257 et 65537. Référence : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
Il existe une excellente série YouTube en deux vidéos sur cette preuve.
Le problème des polygones réguliers constructibles et les grandes lignes de la preuve : https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
L’explication complète de la preuve : https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw
Vers la fin, on y voit la construction utilisée à la place du numéro de bâtiment sur la façade du Mathematical Sciences Research Institute (MSRI), au 17 Gauss Way, UC Berkeley.
Le passage selon lequel « seules les longueurs qui peuvent être exprimées à partir des entiers au moyen de l’addition, de la soustraction, de la multiplication, de la division et des racines carrées peuvent être construites exactement » est intéressant.
L’idée est que si la règle et le compas des Grecs anciens correspondent exactement aux opérations naturelles de l’algèbre moderne que sont +, –, ×, / et √, c’est parce que les équations des droites et des cercles n’utilisent que ces cinq opérations. Voir aussi : https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC
Je recommande à tout le monde d’essayer quelques constructions à la règle et au compas. Cela peut être assez satisfaisant et méditatif.
Oliver Byrne a réalisé une édition en couleurs incroyablement belle des Éléments d’Euclide, consultable en ligne. Prenez un stylo, du papier, une ficelle pour tracer des cercles et le bord d’un livre pour tracer des droites, puis commencez à la Proposition 1 et allez aussi loin que vous voulez : https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
Il existe aussi une réédition physique des Elements de Byrne (ISBN:9783836577380). C’est l’un des meilleurs ajouts que j’aie faits à ma bibliothèque, et elle est vraiment magnifique.
Je me demande s’il y a réellement une étoile à 17 branches au dos de la tombe de Gauss. Je n’arrive pas à trouver de photo en ligne.
L’un des plus grands mathématiciens de tous les temps[2] voulait un hommage précis à un exploit qu’il avait accompli adolescent, la résolution d’un problème resté ouvert pendant plus de 2000 ans, et quelqu’un ne l’a pas fait parce que c’était trop pénible. Toute l’histoire, avec la construction complète, est bien traitée ici : https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
[1] Photo : https://www.atlasobscura.com/places/grave-of-carl-friedrich-...
[2] Mon vote va à Euler, mais beaucoup choisiraient Gauss.
En revanche, il existe une statue avec cette étoile : https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...
Ce qui rend ce résultat intéressant, c’est qu’il montre comment l’algèbre, développée au fil de plusieurs siècles, revient ensuite améliorer la géométrie euclidienne.
Sans connaissances de contexte, je n’aurais probablement même pas compris pourquoi ce problème est intéressant. La motivation ressemble assez à celle du programme de Langlands.
En ne lisant que la plupart des textes de mathématiques, on peut avoir l’impression que les mathématiciens médiévaux n’ont apporté aucune contribution.
Curieusement, les auteurs ne manquent pas de mentionner les contributions des mathématiciens grecs comme Euclide, mais dans ce cas ils passent directement aux mathématiciens d’après la Renaissance, comme Gauss, qui est au centre du récit, en sautant commodément et avec ignorance près d’un millénaire.
Pendant environ un millénaire, ce sont les mathématiciens indiens et moyen-orientaux qui ont été en tête, et des figures comme Āryabhaṭa, Brahmagupta et Al-Khwarizmi ont apporté des contributions importantes à notre compréhension moderne des mathématiques.
C’est vraiment fascinant, et j’aimerais poser la question à quelqu’un qui connaît mieux la preuve de Gauss. Pourquoi le pentagone est-il constructible à la règle et au compas, alors que l’heptagone ou l’hendécagone ne le sont pas ? Pourquoi certains nombres premiers le sont-ils et d’autres non ?
Dans le cas de 17, Gauss a découvert que cos(360°/17) pouvait s’écrire avec les seules opérations de base : https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
Plus tard, il a prouvé que tout polygone à n côtés était constructible lorsque $n=2^k*p_1…*p_r$ et que les p_i sont des nombres premiers de Fermat (des nombres premiers de la forme 2^(2^m)+1 ; les seuls connus aujourd’hui sont 3, 5, 17, 257 et 65537). La réciproque — c’est-à-dire que tous les autres n ne sont pas constructibles — n’a été démontrée que quelques années plus tard. Cherchez le « théorème de Gauss-Wantzel ». Je n’ai fait que parcourir la preuve, mais elle semble généraliser, via la théorie de Galois, l’idée de construire le cosinus d’un angle. Édition : voir aussi https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
Dans les nombres complexes, les sommets d’un pentagone vérifient z^5-1=0. On peut factoriser cela en (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0, et la partie difficile consiste à résoudre z^4+z^3+z^2+z+1=0
Cette équation ne se factorise pas davantage et elle est de degré 4. Ses solutions possèdent une certaine propriété liée au degré de l’équation, et le fait que cette propriété vaille 4 est important
Avec un compas et une règle, on ne peut résoudre que des équations de degré 2, autrement dit quelque chose d’équivalent à prendre des racines carrées. En répétant cela, on peut résoudre certaines équations de degré 4. Donc, avec quelques astuces, on peut résoudre l’équation et tracer le pentagone
Dans le cas de 17, l’équation est z^16+z^15+...+z+1=0. La propriété vaut donc 16, et il faut utiliser plusieurs fois des racines carrées. À chaque étape, la propriété des solutions double : 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16. Dans la formule en bas de l’article, on voit beaucoup de racines carrées imbriquées et répétées
Dans le cas de 7, l’équation est z^6+z^5+...+z+1=0. La propriété des solutions vaut 6. Avec des racines carrées, on ne peut que doubler cette propriété, donc on passe par 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ..., mais on n’atteindra jamais des solutions dont la propriété vaut 6
Il y a davantage de détails techniques. Par exemple, pour tracer un 17-gone on peut résoudre une partie des équations de degré 16, mais cela ne veut pas dire qu’on peut résoudre toutes les équations de degré 16
Ne soyez pas surpris si elles sont assez longues : elles prennent aussi le temps d’expliquer les bases assez simplement pour qu’un public général puisse les comprendre
[1]: https://youtube.com/@anotherroof
Le 7-gone ne m’a jamais vraiment semblé poser un tel problème
On ne peut pas le faire exactement, mais on peut aller jusqu’à la précision voulue. En tout cas jusqu’à atteindre la limite de précision du compas et de la règle
Comme 1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768..., on atteint très vite les limites de la précision humaine
En général, 1/(2^n - 1) peut s’exprimer comme une somme infinie, ou comme une série qui s’en approche indéfiniment. 1/(2^n - 1) = la somme de 1/(2 ^ (x * n)) pour x allant de 1 à l’infini. Et tout le monde sait diviser une longueur d’arc en fractions dont le dénominateur est une puissance de 2
En partant du cercle complet, on prend le premier morceau, puis on subdivise le deuxième morceau pour en prendre le premier, et ainsi de suite en ajoutant de plus en plus petits morceaux jusqu’à être suffisamment proche de 1/7. Il suffit ensuite de mesurer cette longueur au compas et de subdiviser le reste ; si l’on pousse la récursion assez loin, les 6 autres marques retomberont presque sur le point de départ, donc il n’y a pas trop à s’inquiéter
Cela dit, rien qu’atteindre une précision de 1/4096 avec une règle et un compas me semblerait déjà impressionnant, et 1/32768, absolument personne n’y arriverait
L’affirmation selon laquelle la courbe de Hilbert recouvre tout le carré : le carré contient tous les points bornés de la forme [réel, réel]. Or, dans la construction rationnelle du générateur récursif de sommets, l’une des deux valeurs de chaque paire de coordonnées doit nécessairement être rationnelle. Elle est simplement d’une forme dont le dénominateur est une puissance entière infinie de 2
Même si elle couvrait tout [réel, rationnel] + [rationnel, réel], ce qui n’est en réalité même pas le cas, elle n’atteindrait toujours pas tout [réel, réel]
En pratique, 100 % du plan n’est pas sur la courbe, et en même temps 100 % du plan est à une distance infinitésimale de la courbe
Je trouve cela plus intéressant que de dire que tout y est inclus. En réalité, ce n’est pas inclus
Si l’on autorise les séries infinies, on peut tout approximer avec des séries de Taylor
Il suffit de trouver un segment de longueur 2*sin(π/7) fois le rayon. La valeur est 0,86777 et, au carré, cela donne 0,7530, ce qui est assez proche de 0,75, c’est-à-dire 1 - (1/2)^2
Donc, si l’on construit un triangle dont la hauteur vaut la moitié du rayon et dont l’hypoténuse vaut le rayon, l’autre côté vaut 0,8660. L’écart avec la valeur réelle est inférieur à 0,001, ce qui est bien plus précis que ce que je peux tracer à la règle et au compas