Logique
Qu'est-ce que la logique ?
- La logique est la science du possible et le fondement de toutes les autres sciences.
- Si la science explique comment l'univers fonctionne, la logique étudie la partie de l'explication qui peut s'appliquer à n'importe quel univers.
- La logique étudie les règles qui permettent de conclure qu'un autre fait est vrai lorsqu'on connaît un fait donné.
Logique et mathématiques
- La logique est proche de la théorie des ensembles et de la théorie des catégories, et une théorie mathématique consiste à ajouter des définitions supplémentaires à la logique.
- La théorie des ensembles peut être définie en ajoutant une relation primitive aux axiomes standards de la logique.
Propositions de base
- Puisque la logique est la science du possible, elle a besoin d'un ensemble initial de propositions acceptées comme vraies ou fausses.
- Ces propositions sont appelées « prémisses », « propositions de base » ou « propositions atomiques ».
Construction des propositions
- Le cœur de la logique est le concept de composition, et plusieurs propositions peuvent être combinées à l'aide d'opérateurs logiques.
- Les opérateurs logiques incluent « et », « ou », « donc », etc.
Équivalence entre propositions de base et propositions composées
- Une proposition construite à partir de plusieurs prémisses n'est pas différente d'une proposition de base et se construit de la même manière.
Raisonnement par contradiction
- Le raisonnement par contradiction est l'une des plus anciennes propositions logiques : si A est vrai et que A implique B, alors B est également vrai.
Vérités tautologiques
- Une vérité tautologique est une proposition toujours vraie, et son opposé est une contradiction toujours fausse.
- Les vérités tautologiques servent de base aux schémas d'axiomes et aux règles d'inférence.
Système logique
- Il est possible de générer de nouvelles propositions à l'aide de schémas d'axiomes et de règles d'inférence.
- Un système logique est constitué d'une petite collection de ces schémas et règles.
Conclusion
- Pour comprendre les principaux composants de la logique (axiomes, règles d'inférence), il faut les démontrer à travers une interprétation spécifique.
Logique classique : interprétation vérifonctionnelle
- La logique classique repose sur la théorie des Idées de Platon, selon laquelle toute proposition est vraie ou fausse.
- Les opérateurs logiques sont représentés comme des fonctions qui prennent des valeurs booléennes en entrée et renvoient d'autres valeurs booléennes.
Logique intuitionniste : interprétation BHK
- La logique intuitionniste considère la logique comme une construction de preuves et rejette la dichotomie selon laquelle toute proposition est soit vraie soit fausse.
- Dans l'interprétation BHK, dire qu'une proposition est vraie signifie qu'il existe une preuve de cette proposition.
Interpréter la logique comme une catégorie
- L'interprétation BHK offre une perspective d'ordre supérieur permettant d'interpréter la logique sur la base de la théorie des catégories.
- L'isomorphisme de Curry-Howard décrit la similarité entre la logique et les langages de programmation.
Théorème de GN⁺
- La logique est une partie fondamentale des mathématiques et des sciences, et elle joue un rôle important dans de nombreux domaines.
- La logique classique et la logique intuitionniste reposent sur des arrière-plans philosophiques différents, et selon leur interprétation, elles peuvent conduire à des résultats différents.
- Les systèmes logiques sont des outils puissants capables de générer de nouvelles propositions au moyen d'axiomes et de règles d'inférence.
- L'interprétation de la logique peut être reliée à la théorie des catégories, ce qui la rend encore plus intéressante à travers sa similarité avec les langages de programmation.
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