Tout est logarithme

• Si l’on considère le logarithme non comme une fonction numérique mais comme le rapport d’un logarithme sans base en tant qu’objet abstrait, alors (\log_b N = \log N / \log b) se lit comme une conversion d’unités
• (\log 2) devient une unité de mesure comme les bits, et (\log e) comme les nats ; la formule de changement de base ressemble alors à l’écriture d’une même quantité dans des unités différentes
• La valuation (p)-adique, l’ordre des zéros et des pôles, et l’extraction de composantes par dérivation peuvent tous s’interpréter comme des projections de composantes logarithmiques
• Une série de correspondances apparaît : voir un vecteur comme le logarithme d’un opérateur de translation, la dimension comme le logarithme de la taille d’un espace vectoriel sur un corps fini, et une base comme l’objet renvoyé par le logarithme
• L’ensemble de la discussion relève moins d’un théorème d’unification rigoureux que d’une exploration traquant des redondances de notation et de structure ; une perspective mathématique séparant coordonnées et unités peut aider à organiser ces motifs

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Logarithmes sans base et conversion d’unités

• Un logarithme ordinaire s’écrit en précisant une base, comme dans (\log_b x), et représente la solution de (b^y=x)
• La formule de changement de base (\log_b x = \log_a x / \log_a b) peut s’interpréter comme une conversion d’unités
  • Elle a la même structure que (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))
  • « Combien de (b) y a-t-il dans (x) ? » peut se voir comme « le nombre de (a) dans (x) » divisé par « le nombre de (a) dans (b) »
• Si l’on traite (\log N) non comme un nombre mais comme un objet abstrait, alors un logarithme avec base devient le rapport de deux logarithmes sans base
  • (\log_2 N = \log N / \log 2)
  • (\log 2) est traité comme une unité du type « bits »
  • (\log e) est traité comme une unité du type « nats »
• Dans cette perspective, (\log N) n’a pas de signification numérique directe ; il devient une valeur numérique dans une unité donnée lorsqu’on le divise par (\log b)
• Il ne semble pas exister de manière pertinente de définir un analogue comme un exponentiel sans base ((*)^{\log N})
  • Le (\log_b N) habituel se reformule comme le rapport de deux objets sans unité, (\log N) et (\log b)

Similarité entre logarithmes et vecteurs

• De même qu’on distingue un vecteur géométrique sans coordonnées du vecteur de coordonnées dans un repère donné, on peut voir (\log N) comme un objet antérieur au choix d’une base particulière
• La notation non standard qui consiste à « diviser » un vecteur (\mathbf{v}) par un vecteur de référence (\mathbf{x}) pour mesurer une composante, et la manière d’obtenir une valeur en bits via (\log N / \log 2), ont la même structure
  • (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
  • (\log N / \log 2=\log_2 N)
• Écrire un même logarithme dans des unités différentes correspond à écrire un même vecteur dans des bases différentes
  • (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
  • (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
• La formule de changement de base joue le même rôle qu’un changement de coordonnées pour un vecteur
  • (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
  • (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

Opérations qui extraient des composantes logarithmiques

• Le logarithme ordinaire ne dispose pas d’une notation de projection partielle permettant d’extraire seulement une composante particulière, comme le ferait une dérivée partielle
  • Si (N=2^a3^b), alors (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3) mesure l’ensemble dans une seule unité
  • Il n’existe pas de notation logarithmique standard pour extraire séparément la composante (\log 2) et la composante (\log 3)
• La valuation p-adique en théorie des nombres peut s’interpréter comme une opération qui extrait le coefficient de la composante (\log p) dans la décomposition en facteurs premiers d’un entier naturel
  • (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
  • (\nu_p(n)=n_p)
  • Des identités logarithmiques comme (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) restent valables
• En étendant à des rationnels ou à des nombres contenant des racines, les coefficients deviennent entiers ou rationnels, et l’objet obtenu se rapproche davantage d’un véritable espace vectoriel
• En analyse complexe, l’ordre d’un zéro ou d’un pôle peut aussi s’exprimer comme une limite de rapport logarithmique semblable
  • (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
  • Cela extrait l’ordre du terme dominant dans une série de Laurent
• La valuation (p)-adique, les dérivées partielles et l’extraction d’ordre en analyse complexe se ressemblent, mais il n’existe pas encore de théorie unificatrice clairement établie pour les relier

Quand les vecteurs peuvent aussi se voir comme des logarithmes

• En géométrie différentielle, les vecteurs servent de base aux opérateurs de dérivation partielle, et leur exponentiation donne des opérateurs de translation
  • (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
  • (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
• Dans un espace plat, un opérateur de translation se décompose en produit de translations par coordonnée
  • (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
  • Dans un espace non plat, les translations selon différentes coordonnées peuvent ne pas commuter, ce qui rend la situation plus complexe
• Dans ce cadre, un vecteur peut s’écrire comme le logarithme d’un opérateur de translation
  • (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
• Plutôt que de dépendre de la base (e) du logarithme naturel, il semble plus approprié de poser une base générale de translation (T) et d’écrire (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}})
• On peut aussi voir la multiplication ordinaire comme une translation dans les coordonnées (\ln a), mais l’utilité concrète de cette interprétation reste incertaine

Relation entre logarithmes et dérivées

• Le logarithme naturel peut se définir par (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a)
  • En développant (x^a=e^{a\ln x}) en série de Taylor, on retrouve (\ln x)
• En remplaçant par ((1+x)), on reconstitue la série de Taylor de (\ln(1+x))
  • (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
• Cette expression ressemble à une dérivée, et l’on peut écrire (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0})
• (\ln x) se comporte à plusieurs égards comme (x^0)
  • (\ln x\sim (x^0-1)/0)
  • Formellement, (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x)
• Cette partie ne se relie pas directement au reste du texte, mais ajoute une perspective où le logarithme représente une variation de premier ordre autour de (x^0)

La dimension se comporte comme un logarithme

• Dans un espace vectoriel de dimension finie, (\dim_K) vérifie des identités analogues à celles du logarithme
  • (\dim_K K^n=n)
  • (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
  • (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
  • (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
• Pour un espace vectoriel de dimension finie (V\simeq K^n) sur un corps fini (K), il existe une véritable relation logarithmique entre taille et dimension
  • Un vecteur peut se voir comme une fonction qui affecte à chaque élément de la base un coefficient dans (K)
  • (|V|=|K|^{\dim_K V})
  • Donc (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
• En dimension infinie ou sur un corps infini, cette interprétation est moins solide, et d’autres notions de taille comme la numerosity) peuvent être nécessaires à la place de la cardinalité
• Avec une notation de dimension sans base, on peut écrire (\dim K^n=n\dim K) et (\dim_K V=\dim V/\dim K)
• Dans le produit tensoriel, multiplier simplement les dimensions introduit un facteur (\dim K) supplémentaire ; on interprète alors le produit tensoriel sur (K), (\otimes_K), comme l’éliminant via le quotient sur les coefficients scalaires

Voir base et span comme logarithme et exponentielle

• Si la dimension est la cardinalité d’une base, alors on peut considérer que le logarithme renvoie non la cardinalité, mais la base elle-même
  • Si (V\simeq K^3) a pour base ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})), on pourrait écrire (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))
  • (\dim_KV=|\log_KV|)
• Comme il existe le problème du choix d’une base particulière, il est peut-être plus juste de voir (\log_KV) comme un objet désignant l’ensemble de toutes les bases possibles de (V)
  • Pour un repère de référence arbitraire (X_0) et (\Lambda\in GL(V)), on a (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
  • Cet objet peut se voir comme un torsor sous (GL(V))
• L’opération inverse du logarithme s’interprète alors comme le span qui reconstruit l’espace vectoriel à partir de la base
  • (\span_K(X)=K^X=V)
• Cette interprétation repose sur beaucoup d’abus de notation et il n’est pas certain qu’elle soit optimale, mais elle invite à penser (\dim) et (\span) comme les analogues de (\log) et de (\exp) en algèbre linéaire
• Dans la perspective du logarithme sans base, on peut aussi envisager d’interpréter (\log K) lui-même comme « la base de (K) », mais cela relève d’une discussion ultérieure plus abstraite

Hypothèse sur le rapport entre fonctions et logarithmes

• Le procédé qui consiste à relever les opérations arithmétiques au niveau des ensembles est traité comme quelque chose de proche d’une « setification »
  • L’addition, la multiplication et l’exponentiation des entiers naturels correspondent respectivement à l’union disjointe d’ensembles, au produit d’ensembles et à l’ensemble des fonctions
  • Pour les ensembles finis, la cardinalité préserve bien ces opérations
• Par exemple, si (A={a,b}) et (X={x,y}), le développement de ((a+b)^{x+y}) permet d’énumérer en termes chaque fonction (X\to A)
  • (a^xb^y) s’interprète comme la fonction définie par (x\mapsto a) et (y\mapsto b)
  • Si l’on fixe certaines variables à (0) ou (1), cela se comporte comme une évaluation ou une restriction de fonction
• Les factorielles et les combinaisons peuvent s’interpréter de façon semblable, en énumérant permutations et choix comme des termes
• En général, une fonction (f:X\to A) se modélise comme la relation ({(x,f(x))\mid x\in X}), mais (a^xb^y) lui-même est une seule fonction et sa cardinalité vaut donc 1
• L’idée (\log f ? x\log a+y\log b) ressemble à la représentation relationnelle d’une fonction, mais cette partie n’est pas encore suffisamment clarifiée

Covariance générale et conclusion

• L’ensemble du texte se concentre sur le cas simple où le logarithme est vu comme un isomorphisme transformant une expression multiplicative en expression additive
  • Des cas plus complexes comme le logarithme complexe ou le logarithme matriciel sont laissés de côté
• Diverses opérations mathématiques comme (\dim), (\nu_p) ou la dérivée totale possèdent une structure identique ou voisine de celle du logarithme
• Ces connexions ont quelque chose de proche de la « numerology », mais elles paraissent trop élégantes pour être simplement ignorées
• Des structures analogues apparaissent aussi dans les mathématiques de la physique, en particulier dans le formalisme opérateur de la mécanique quantique, et la physique impose des contraintes sur les notations mathématiques et le choix des coordonnées
• La covariance générale est l’idée selon laquelle les propriétés d’un objet doivent être indépendantes du choix des coordonnées ; le logarithme sans base peut alors se voir comme une tentative de séparer l’isomorphisme entre expression multiplicative et additive du choix d’unité

[GN⁺]

Commentaires Hacker News

• Ici, un logarithme sans base n’est qu’un torsor [0]
  On peut aussi voir des choses comme la position, la valeur d’une monnaie ou une date calendaire comme des torsors. La valeur elle-même est arbitraire, et si on la translate d’une certaine quantité ou qu’on en change l’échelle, cela ne change rien fonctionnellement. Un torsor permet de parler de ce genre d’objet sans faire d’emblée ces choix arbitraires
  Dans le cas d’un logarithme sans base, l’ensemble sous-jacent est celui des « unités d’information ». log 2 est le bit, log e le nat, log 10 le digit, etc., et les facteurs de conversion forment le groupe du torsor. Choisir une unité particulière comme spéciale ne fait que trivialiser le torsor
  La notation de division de vecteurs encode également un g-torsor exactement de la même manière que les unités de longueur
  Jusqu’ici, tous les exemples sont des torsors de groupes abéliens, mais pour spécifier une position il faut choisir à la fois une origine et une unité de longueur. Le groupe de ce torsor est alors un produit semi-direct approprié de translation et de changement d’échelle, donc un groupe non abélien
  La plupart du temps, on choisit implicitement une trivialisation, ce qui crée une confusion entre l’objet et les opérations sur cet objet. Par exemple, on mélange le fait de voir un vecteur comme une position et comme une translation. L’auteur en parle aussi dans son billet sur les problèmes de l’algèbre géométrique [1]
  [0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
  [1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...

  • Donner à ce concept mathématique le nom de torsor a été un très mauvais choix. Le lien avec le sens d’origine du mot n’est pas clair, et en mécanique classique le terme était déjà employé depuis longtemps pour un concept complètement différent, à savoir la grandeur qui doit être nulle pour qu’un solide rigide soit en équilibre, c’est-à-dire la paire formée par la résultante des forces et le moment total
    Malheureusement, les mathématiques ont depuis longtemps la tradition de réutiliser des mots ordinaires pour nommer des concepts sans aucun rapport avec leur sens initial. Résultat, même des livres ou articles de maths qui énoncent des faits banals deviennent opaques si l’on n’est pas familier du jargon du sous-domaine concerné
  • Je connaissais les torsors, mais je n’avais pas fait le rapprochement. En réalité, je ne trouve pas ce terme particulièrement utile, et même en sachant ce qu’est un torsor, cela reste difficile à penser. Cela dit, j’ai probablement besoin de me familiariser davantage avec le concept
    Dans un autre commentaire ici, quelqu’un a décrit mon logarithme fondamental comme un « GL(V)-torsor », ce qui était bien plus concis que la paraphrase laborieuse que j’essayais d’écrire à la main
    Indépendamment du vocabulaire, je n’avais jamais vu les logarithmes pensés de cette manière, donc j’ai trouvé ça intéressant

• Les logarithmes sont extraordinaires. J’ai commencé à consulter de vieux manuels de mathématiques des années 1920, et tous les calculs reposaient sur des tables de logarithmes. On convertissait les nombres en logarithmes à partir des tables pour réduire l’ordre des opérations, puis on revenait ensuite à l’écriture ordinaire
  Même une opération comme trouver une racine cubique peut être ramenée à une division, et si on passe en log-log on peut encore la réduire à une soustraction avant de revenir à la notation d’origine. Le faire à la main donne vraiment l’impression d’utiliser un tunnel magique, c’est superbe

  • La version physique de ce tunnel magique, c’est la règle à calcul
  • Ce serait bien s’il existait un PDF. J’aime ce genre de vieux livres
  • Je me demande si vous pourriez donner le titre du livre
  • Jusqu’aux années 2010, on utilisait encore le calcul à la main et les tables de logarithmes lors des examens à l’école, car les calculatrices n’étaient pas autorisées
    Une ou deux fois pendant un examen, il y avait des problèmes qui obligeaient à utiliser une table de logarithmes. Par exemple, une division devenait lookup(a)-lookup(b), puis on reprenait cette valeur dans la table d’antilogarithmes, c’est-à-dire la table de exp

• The Lost Art of Logarithms de Charles Petzold se lit très bien. C’est encore un travail en cours d’écriture
  https://www.lostartoflogarithms.com/

  • Les écrits de Charles Petzold sont toujours très clairs et riches

• La même idée apparaît aussi en physique. En physique quantique, l’action S apparaît comme une grandeur de type logarithmique derrière l’amplitude e^iS/(h^bar)
  En mécanique statistique, l’entropie est le logarithme du nombre d’états microscopiques possibles Omega : S = log(Omega)
  Ce sont des concepts issus de domaines différents de la physique, mais ils reflètent tous deux le même principe : utiliser les logarithmes pour transformer des relations multiplicatives en relations additives

• À la question « s’il existe un log(N) sans base, existe-t-il aussi une “exponentielle sans base” ? », une algèbre naïve dit que oui
  Si on peut retirer base de log(x,base), on peut aussi retirer base de pow(base,x). Comme bits=log(2), on obtient pow(bits)=2. On pourrait peut-être aussi relier cela à des notions inverses comme l’intégration
  Pour s’amuser avec la notation :
  log(freq) = pitch
freq = pow(pitch)
octave = log(2)
400*Hz = 100*Hz*4 // la fréquence 400 Hz vaut 4 fois 100 Hz
log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // la hauteur de 400 Hz est 2 octaves au-dessus de 100 Hz
cent = log(2)/1200
A4 = log(440*Hz)
B4 = A4 + 200*cent // la hauteur de B4 est 200 cents au-dessus de A4
B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200
B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))
B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))
pow(B4) = 493.883 Hz // la fréquence de B4 est 493.883 Hz
  J’aime bien l’intuition donnée par la notation logarithmique sans base, et elle évite aussi d’avoir à choisir un point de référence précis. On peut aussi choisir une base arbitraire et calculer directement :
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)
exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)

  • Avec ça, on pourrait donner une vraie unité aux décibels
    dB_P = log(10)/10
dB_F = log(10)/20
log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // le niveau de 10 V est 20 dB au-dessus du niveau de puissance de 1 V
SPL = 20*10^-6 * Pa
hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // les dommages auditifs commencent à plus de 90 dB_F au-dessus de SPL (en ignorant la pondération A)
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // la pression causant des dommages auditifs dépasse SPL d’un facteur 31622
pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // la pression causant des dommages auditifs est au-delà de 0.632 Pa
    Vraiment utile. On peut imaginer fusionner la liste ridicule des suffixes en décibels dans une notation uniforme. Si on écrit le logarithme d’abord, la position de + ou - reste intacte
    log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)
log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
  • Oui. On pourrait simplement currifier l’exponentiation et appeler cela une puissance sans base. Je n’ai pas trouvé de notation élégante

• Ce billet a besoin d’un système de types. Chaque fois qu’on écrit « log », il faut dire le logarithme de quoi et le logarithme vers quoi
  C’est un peu comme dans l’audio, quand les gens disent seulement « dB » en faisant comme si cela répondait aux questions suivantes : relatif à quoi, mesuré comment, avec quelle pondération et pour qui
  L’auteur devrait revoir https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory

  • La propriété importante du logarithme est structurelle. En dehors du calcul numérique proprement dit, on se soucie généralement peu des unités ou de la base
    Comme le billet le développe de façon informelle mais assez suffisante, la formule de changement de base montre que le choix de la base n’a en général pas grande importance. Les logarithmes de bases différentes sont équivalents à une constante multiplicative près
    Le développement de Taylor de exp donne une définition plus intrinsèque et plus générale de la fonction exponentielle. On peut donc généraliser structurellement exp à de nombreux cadres algébriques dès lors que des conditions de convergence appropriées sont satisfaites. Il y a par exemple l’exponentielle complexe et ses multiples logarithmes possibles, l’exponentielle matricielle, etc.
  • Je ne comprends toujours pas pourquoi les dB sont négatifs en audio. Relatifs à quoi ? Que se passe-t-il à 0 dB ?
  • Dans la première section, l’auteur explique en détail qu’il considère ce « log N » sans base comme un objet abstrait plutôt que comme un nombre. Ou bien tu parles d’une autre partie ?

• Ce qui se passe avec le logarithme complexe ressemble fondamentalement à un logarithme qui produirait l’ensemble de toutes les bases possibles d’un espace vectoriel
  Le logarithme complexe produit un Z-torseur, et le logarithme des bases produit un GL(V)-torseur. Il devrait y avoir une manière d’exprimer le choix d’une coupure de branche comme une partie du choix de base pour le logarithme complexe, et de même le choix d’une base particulière pourrait sans doute être vu comme une partie du choix de base pour le logarithme des bases d’un espace vectoriel

  • Intéressant. Je n’avais pas pensé à ces deux cas comme à deux exemples du même phénomène. Malgré ça, l’analyse complexe reste encore difficile à appréhender pour moi.

• Le terme « logarithme sans base » n’a vraiment aucun sens, et l’employer est une grosse erreur
  Cela dit, l’auteur du texte original a raison sur un point : un logarithme est une grandeur physique unique, comme la longueur, l’aire ou le volume, et choisir ce qu’on appelle la « base » revient à choisir l’unité de mesure du logarithme
  Le logarithme apparaît dans la formule dimensionnelle de plusieurs grandeurs physiques dérivées. Par exemple, pour décrire l’atténuation ou l’amplification lors de la propagation d’une onde, on utilise des quantités comme un logarithme par unité de longueur ou par unité de temps
  Si l’on change la « base » du logarithme, la valeur numérique de toutes les grandeurs dérivées change exactement comme lorsqu’on modifie une unité de mesure fondamentale telle que la longueur ou le temps
  Pour n’importe quelle grandeur physique, la valeur complète d’un logarithme est indépendante de l’unité de mesure, car c’est le produit d’une valeur numérique et d’une unité. Si l’unité change, la valeur numérique et l’unité changent ensemble, mais leur produit reste inchangé. Autrement dit, quel que soit le calcul numérique selon la base choisie, le logarithme correspond au même rapport
  Aujourd’hui, les unités de logarithme choisies sont généralement l’octave (logarithme binaire), le néper (logarithme hyperbolique) ou le bel (logarithme décimal)
  L’unité de mesure d’un logarithme n’est pas la base elle-même, mais le logarithme de cette base. Ainsi, par exemple, la valeur du nombre e, qui est la base du logarithme hyperbolique, n’est requise dans aucun calcul. Les seules valeurs nécessaires sont ln 2 ou son inverse log2 e, qui servent à convertir des valeurs logarithmiques entre les unités correspondant au logarithme binaire et au logarithme hyperbolique (souvent appelé logarithme naturel, même si le logarithme hyperbolique n’a rien de plus « naturel » qu’un autre)

  • Dire que le « logarithme sans base » n’a aucun sens n’est pas juste. Étant donné :
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
    un logarithme sans base n’est qu’une famille de fonctions ayant des propriétés similaires. L’auteur aurait peut-être été plus clair en parlant de « propriétés logarithmiques » plutôt que de « logarithme sans base », mais cela relève surtout du pinaillage et de la controverse
    À propos de l’idée que changer de base change le nombre, je me demande si vous avez étudié l’algèbre linéaire avancée, ou plus précisément les tenseurs. L’idée centrale des tenseurs est qu’ils agissent sur un objet de la même manière indépendamment de la base. Autrement dit, si a et b représentent le même objet dans deux bases différentes, alors si T(x) est un tenseur, T(a) et T(b) sont équivalents
    Le point essentiel est que tout nombre résulte d’un choix arbitraire et ne définit pas la structure sous-jacente. Ici, l’auteur parle de la structure logarithmique
    C’est précisément pour cela qu’en algèbre linéaire on étudie les différentes bases et les transformations entre elles. Pour la même raison, les coordonnées polaires et cartésiennes enseignées au lycée relèvent du même principe. C’est une préparation à l’apprentissage des structures. En théorie des groupes, on finit par apprendre que si les groupes A et B sont isomorphes, alors ils possèdent la même structure mathématique
    Et cela reste vrai même si les nombres changent

• Je n’arrive pas à croire qu’un logarithme ordinaire ait été qualifié de « based »

• Tout cela serait bien plus intéressant si cela aidait réellement à montrer un fait mathématique nouveau. En l’état, cela ressemble davantage à un jeu de notation

  • À mon avis, les nouveaux faits, théorèmes et preuves sont assez surestimés. Même si l’on découvre un fait nouveau, il ne fait qu’aller s’ajouter à un énorme tas de faits déjà empilés sans utilité. Les avancées utiles en mathématiques viennent d’un effort de refactoring qui rend les objets plus simples et plus intuitifs
    Je ne dis pas forcément que c’est le cas de ce texte, mais j’ai l’impression qu’aujourd’hui le problème tient moins au manque de faits qu’au manque de points de vue simples permettant de les rendre utiles et accessibles
    Bien sûr, c’est un avis personnel
  • Je lis ce genre de texte comme une étape dans le processus de formation d’une idée nouvelle. C’est une forme de mise en correspondance à grande échelle, où l’on déploie plusieurs cas semblables et où l’on cherche le fondement essentiel de leur ressemblance
    Publier ce type de motifs peut distribuer le processus de réflexion. Quelqu’un d’autre verra peut-être l’intuition