La solution de J. Kenji López-Alt au problème de l’oignon (2021)

 (medium.com/@drspoulsen)
1 points par GN⁺ 2024-11-27 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • La modélisation mathématique du problème de la découpe radiale visant à couper un oignon en morceaux de taille uniforme montre que la pointe du couteau ne doit pas viser l’inverse du nombre d’or, 0.61803398875…, mais un point situé 55.73066 % sous le rayon
  • Le modèle simplifie l’oignon en un demi-disque de rayon 1, et suppose un nombre infini de couches et de coups de couteau afin de rendre le problème traitable par les mathématiques continues et le calcul multivariable
  • Le cœur du calcul repose sur le Jacobien d’un changement de coordonnées pour obtenir l’aire relative de fragments infinitésimaux, puis sur la recherche de la profondeur h qui minimise la variance de ces aires
  • En appliquant l’intégration numérique et la minimisation numérique de Mathematica, la variance minimale apparaît aux alentours de h ≈ 0.55, et la “true onion constant” vaut 0.5573066…
  • Cette valeur correspond à un oignon idéalisé possédant une infinité de couches ; pour un oignon réel à nombre fini de couches, la profondeur optimale peut être différente

Un problème né du conseil de couper en visant 60 % plus bas

  • Dans une vidéo YouTube du chef Kenji López-Alt, il est raconté qu’un ami mathématicien lui a dit que, pour couper un oignon, il fallait effectuer des coupes radiales en visant un point situé sous le centre, à 60 % du rayon
  • Cette valeur est présentée comme liée à l’inverse du nombre d’or, 0.61803398875…
  • La question devient alors d’examiner mathématiquement pourquoi une telle valeur apparaît lors de la découpe réelle d’un oignon
  • Après deux mois sans avancée majeure, puis deux jours de calcul intensif, l’auteur trouve une valeur qu’il appelle la “true onion constant”

Un modèle d’oignon calculable

  • L’oignon est simplifié en un demi-disque de rayon 1, centré à l’origine et placé dans le demi-plan supérieur
    • La structure tridimensionnelle réelle de l’oignon et la forme de sa coupe sont ignorées
    • Cette simplification est une approximation destinée à rendre le problème plus maniable
  • Comme le nombre de couches influe sur la solution, on suppose un oignon avec une infinité de couches
    • Pour un oignon à une seule couche, le mieux est de couper vers le centre
    • Pour un oignon à dix couches, il faut viser sous le centre
    • Avec une infinité de couches, il devient naturel de considérer aussi une infinité de coups de couteau
  • Grâce à cette hypothèse, le problème bascule dans le domaine des mathématiques continues, ce qui permet d’utiliser le calcul différentiel et intégral

Mesurer l’uniformité des morceaux avec le Jacobien

  • Dans le changement de coordonnées polaires classique, une petite aire dx dy devient r dr dθ, et r joue alors le rôle de Jacobien
  • Cette valeur sert d’échelle pour comparer la taille relative des fragments infinitésimaux de l’oignon
    • Les morceaux proches du centre sont plus petits, car r est petit
    • Les morceaux proches du bord sont plus grands, car r est plus grand
  • L’uniformité des morceaux est mesurée par la variance de ces poids d’aire infinitésimaux
    • Une variance élevée signifie que les morceaux sont moins uniformes
    • Une variance faible signifie qu’ils sont plus uniformes
  • Après avoir calculé l’aire moyenne pondérée et la variance dans le cas où l’on coupe vers le centre, l’auteur introduit un nouveau système de coordonnées pour des coupes visant un point situé sous le centre

Un système de coordonnées visant un point sous le centre

  • Le point visé par les coupes est placé en (0, -h) sous l’origine, dans un système de coordonnées avec h > 0
  • Dans ce système, l’angle θ est mesuré depuis (0, -h), tandis que le rayon r est mesuré depuis l’origine (0, 0)
    • La composante radiale modélise les couches de l’oignon par rapport à l’origine
    • La direction angulaire modélise la façon dont le couteau entre en ligne droite en visant (0, -h)
  • Ce système de coordonnées fonctionne sans problème uniquement dans le demi-plan supérieur, ce qui suffit puisque tout l’oignon du modèle s’y trouve
  • Grâce à la symétrie, il suffit d’analyser la moitié droite
    • La région est 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
    • Le rayon varie entre h tan(θ) ≤ r ≤ 1
  • À l’aide de la loi des cosinus, l’auteur obtient la relation entre (x, y) et (r, θ), puis calcule le Jacobien pour une profondeur h donnée
  • À partir de ce Jacobien, il définit le poids moyen d’aire A(h) et la variance v(h)

Résultat du calcul : la true onion constant

  • Comme l’intégration de v(h) à la main paraît très difficile, voire impossible, l’auteur utilise l’intégration numérique de Mathematica
  • En traçant la variance en fonction de h, le minimum apparaît autour de h = .55
  • La minimisation numérique donne une “true onion constant” de 0.5573066… pour l’oignon idéalisé à une infinité de couches
  • Pour obtenir la découpe radiale la plus uniforme, le couteau doit viser un point situé sous le centre de l’oignon, à 55.73066 % du rayon
  • Cette valeur est proche des 61.803 % mentionnés dans la vidéo, sans être identique
  • Dans le cas d’un oignon réel à nombre fini de couches, la valeur peut être différente
    • Avec une couche, la profondeur optimale est 0
    • Avec une infinité de couches, elle vaut 0.5573066…
    • Pour un oignon à dix couches, la profondeur optimale devrait se situer entre 0 et 0.5573066…, même si cela n’a pas été étudié en détail

Mise à jour ultérieure : forme fermée et nom

  • Par la suite, il devient possible de calculer v(h) sous forme fermée
  • En calcul différentiel, pour minimiser une fonction, on pose sa dérivée égale à 0 ; l’auteur calcule donc v'(h)
  • Dans l’intervalle (0, 1), l’unique racine de cette dérivée est la constante de l’oignon
    • Ce point est un point critique de v(h)
    • Le signe de v'(h) passe de négatif à positif, donc il s’agit d’un minimum
  • Cette méthode permet de calculer la constante de l’oignon avec une précision arbitraire, et une expansion décimale à 1000 chiffres est incluse
  • La lettre hébraïque samekh a été choisie pour nommer cette constante mathématique
    • La raison de ce choix est que cette lettre ressemble à un oignon

À lire aussi

1 commentaires

 
GN⁺ 2024-11-27
Commentaires sur Hacker News

  • Je suis l’auteur du billet de blog. Ravi de voir autant d’intérêt pour ce texte ; j’ai mis en ligne ici des slides qui couvrent la formulation du problème, les aspects mathématiques, et même l’oignon en 3D : https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
    J’ai aussi soumis à une revue de mathématiques récréatives un manuscrit formel qui détaille le problème et la solution, et je répondrai volontiers aux questions

    • La solution semble supposer que toutes les coupes doivent viser un seul point. Il me semble qu’une solution plus optimale pourrait consister à augmenter la profondeur visée h à mesure qu’on se déplace vers l’extérieur ; je me demande si je rate la raison pour laquelle ce n’est pas le cas
    • C’est une manière de résoudre le disque plan, ou plus précisément le demi-disque plan, mais il y a un point lié à la réduction de dimension qui me tracasse depuis longtemps
      Un cercle peut facilement être divisé en arcs égaux, comme 120 arcs de 3 degrés en coordonnées polaires, mais faire la même chose sur la surface d’une sphère en coordonnées sphériques marche très mal, et j’ai toujours compris qu’il était impossible d’obtenir un effet comparable en pavant la surface de la sphère avec une seule forme identique
      Cette question m’est venue en réfléchissant à un système de coordonnées où chaque « carré » d’une carte aurait la même aire sur la sphère malgré la déformation, et cela semble aussi lié à la mesure dans laquelle l’analogue bidimensionnel du problème de l’oignon répond vraiment à la question tridimensionnelle d’origine
    • Ce serait intéressant de pouvoir construire à rebours un modèle qui fasse sortir 1/φ comme réponse. Cela semble possible en plaçant une mesure non uniforme sur l’oignon, et je me demande aussi ce que cela donnerait si l’on modélisait l’oignon comme un hémisphère. En cuisine, c’est surtout l’épaisseur qui compte de toute façon

  • Je me demande pourquoi on modélise un demi-oignon comme « la moitié d’un disque de rayon 1 ». Un demi-oignon ressemble davantage à un hémisphère, donc je ne vois pas pourquoi on devrait s’attendre à obtenir la même solution
    Si l’on pense aux sections extérieures près des deux extrémités de l’oignon, c’est-à-dire près du talon et de la pointe du couteau, on finit par couper de plus en plus verticalement à mesure qu’on s’approche des bords. Dans la mesure où l’extérieur est coupé verticalement, il me semble que la section centrale devrait être coupée un peu moins profondément ; c’est pourquoi je pense qu’appeler cela la véritable constante de l’oignon est probablement incorrect

    • La solution apparaît plus loin dans le billet. L’intuition essentielle vient du jacobien, et il ne s’agit pas d’un demi-disque uniforme mais d’une structure où le poids augmente avec la distance à l’axe Y
      On peut le voir comme une figure peinte dont on cherche à recueillir la même quantité d’encre. Contrairement à un disque uniforme, le disque pondéré du billet est plus foncé en haut et en bas et plus clair au centre ; en réalité, ce n’est pas une suite de bandes comme dans le dessin ASCII, mais un dégradé progressif
    • Cela ignore aussi le fait que les couches de l’oignon deviennent bien plus fines à mesure qu’on s’éloigne du centre. Donc même pour un oignon parfaitement symétrique, cette analyse me paraît assez à côté de la plaque
    • Même si l’oignon n’est pas parfaitement symétrique, on peut le considérer comme ayant une structure optimale qui croît ou s’étend radialement depuis un axe ou une ligne passant par le centre. Si l’on plante un cure-dent dans une sphère pour définir un axe, puis qu’on coupe perpendiculairement à cet axe, on obtient un cercle dans le cas d’une sphère, et un demi-disque dans celui d’un demi-oignon
      Personnellement, par paresse, je coupe mon demi-oignon perpendiculairement à l’axe, et je ne vais pas jusqu’à faire aussi des coupes radiales pour l’uniformité
    • Pendant un instant, j’ai cru que le « problème de l’oignon » était un problème difficile de topologie ou de théorie des groupes, puis j’ai fait le lien avec le fait que Kenji Lopez-Alt est un chef et non un mathématicien, et j’ai compris
    • J’ai une inquiétude semblable. L’oignon me paraît plus proche d’un cylindre bombé dont l’épaisseur des couches est davantage concentrée vers le centre, et chaque couche s’étend de la racine jusqu’à la tige

  • À l’inverse, le youtubeur culinaire Adam Ragusea soutient fermement que l’hétérogénéité est importante. Optimiser l’uniformité n’est pas forcément la meilleure stratégie
    https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

    • Comme Ragusea, je préfère qu’à chaque bouchée il y ait quelque chose d’un peu nouveau et de différent
      Astuce pour la salade César : posez à plat sur la table un sachet de croûtons emballé, puis écrasez-le à répétition avec le fond d’une poêle ; vous obtiendrez un mélange de morceaux de croûtons de tailles variées, de miettes façon gravier et de poudre. J’ai mangé ça dans un restaurant haut de gamme et depuis je continue à les préparer ainsi
    • Adam résout en fait un autre problème. Le propos de Kenji, c’est une règle simple que tout le monde peut mémoriser et suivre, pour obtenir de bonnes coupes sans se soucier de la précision
      Cette règle donne une uniformité suffisamment proche de ce qu’on attend d’un ingrédient comme l’oignon dans la plupart des recettes, et Ragusea serait probablement d’accord pour dire que c’est une solution au problème ainsi posé
    • J’ai déjà lu que les chefs formés de manière classique accordent de l’importance à la régularité des coupes. Adam Ragusea emploie assez souvent des méthodes de niche et excentriques qui ne correspondent pas vraiment à la pratique professionnelle ; comme Bill Nye est davantage un vulgarisateur des sciences, il est davantage un vulgarisateur de la cuisine qu’un chef professionnel
    • Le raisonnement présenté dans cette vidéo est tout de même difficile à réfuter
    • Il n’y a pas vraiment de bonne ou de mauvaise façon de faire. Si l’on pousse trop loin l’un ou l’autre extrême, le plat risque de devenir ennuyeux ou moins réussi
      Cela dit, un certain nombre des points de vue de Ragusea ont moins bien résisté au temps, et il l’a lui-même reconnu pour certains

  • Marco Pierre-White recommande de râper l’oignon, ce qui évite astucieusement tout le problème
    En quelque sorte, cela revient à râper le nœud gordien
    https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

    • Le râper pour une sauce tomate se défend, mais je n’aurais pas envie d’en faire une méthode de base pour préparer les oignons
    • Voilà la méthode MPW : https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
      « La perfection, c’est beaucoup de petites choses bien faites réunies »
    • Cela permet bien d’éviter le problème, sauf qu’il reste toujours le dernier morceau, impossible à râper sans mettre ses doigts en danger
      Pour l’ail, je préfère l’écraser dans beaucoup de recettes. Cela donne des contours plus grossiers, se mélange mieux au plat et devient aussi bien croustillant à la cuisson
    • À ce stade, autant le passer simplement au robot culinaire, non ?
    • « Vous pouvez râper l’oignon ou ne pas le râper. En réalité, c’est vous qui choisissez »

  • Je me demande s’il existe un endroit où le problème est expliqué par écrit. L’original semble renvoyer à la vidéo, et le texte ne paraît traiter que de la solution proposée dans une autre vidéo et de la nouvelle solution, donc on ne comprend pas bien ce qu’il cherche à résoudre

    • Le problème consiste à couper un oignon de façon à minimiser les écarts de taille et de forme entre les morceaux. En général, l’objectif est qu’ils cuisent de manière uniforme
    • Il s’agit de couper une moitié d’oignon en minimisant la variance de volume des morceaux. Ensuite, le problème est simplifié en un problème de coupe qui minimise la variance de l’aire de section à l’endroit le plus large de l’oignon
    • C’est la question suivante : « comment couper un oignon sphérique à couches uniformes en morceaux de même volume ? » C’est plus une expérience de pensée géométrique qu’un vrai problème gastronomique pratique
    • Ce n’est pas extrêmement bien expliqué à l’écrit. On y trouve des fragments comme « garder les morceaux aussi semblables que possible », « le jacobien r dr dθ mesure la taille relative de morceaux infiniment petits » ou « la variance représente bien l’uniformité des morceaux »
    • C’est un problème sur la façon de couper un oignon en morceaux à peu près de même taille. Si on coupe vers le centre, les morceaux intérieurs deviennent bien plus petits que les extérieurs

  • Je suis surpris que Kenji fasse encore des incisions horizontales. Avec des coupes verticales en biais, j’ai l’impression que les incisions horizontales deviennent totalement inutiles
    Il y a quelques années, en faisant des incisions horizontales dans un oignon, je me suis même arraché la peau comme dans une flap avulsion

    • Plus étrange encore, il fait les incisions horizontales après les incisions verticales. La plupart des cuisiniers qui émincent réellement un oignon le font ainsi, mais ça me semble totalement à l’envers
      Sur une moitié d’oignon intacte, on peut faire des incisions horizontales facilement et en sécurité, mais une fois qu’elle est déjà coupée verticalement, c’est beaucoup plus difficile
    • Incliner les incisions horizontales vers le bas permet de bien gérer ce problème. De toute façon, ces incisions ne sont surtout nécessaires que sur le côté inférieur de l’oignon
    • Kenji dit lui-même, en l’expliquant, qu’en pratique il ne fait pas ces coupes en biais, mais qu’il trouvait le problème mathématique intéressant
    • Mieux vaut investir dans des gants anti-coupure. Pour quelques dollars, on peut éviter beaucoup de temps perdu, et ils servent aussi avec une mandoline
      Cela dit, mieux vaut peut-être d’abord les tester en mettant une saucisse dans les doigts du gant

  • Surprenant, et j’étais vraiment ravi qu’il y ait une solution fermée à l’intégrale. Je suis très curieux de voir à quoi cela ressemblerait dans le cas discret, et ça semble aussi assez facile à coder en simulation

  • La méthode de Chef Jean-Pierre est meilleure. Elle reste simple et montre aussi pourquoi les incisions horizontales n’ont pas tellement de sens
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

    • Oui. J’utilise cette méthode depuis 15 ans et je ne l’ai jamais regretté. Je suis surpris qu’il fasse encore des vidéos

  • En cuisine de haut niveau, il existe même littéralement la notion de dés parfaits. On détache toutes les couches de l’oignon, on les aplatit pour en faire des feuilles, puis on taille des rectangles en grille avant de hacher