Constante lemniscatique (ϖ) : le jumeau maléfique (Evil Twin) de π

• À l'instar de π, ϖ est une constante mathématique importante
  • π est lié au cercle et aux fonctions trigonométriques (sin, cos)
  • ϖ est liée à la lemniscate en forme de ∞ et à de nouvelles fonctions trigonométriques (sl, cl)
• La lemniscate est un cas particulier de la courbe de Cassini, qui maintient le produit entre deux points constant, et a la forme d'un symbole ∞
• ϖ est appelée « constante de la lemniscate » et vaut environ 2.62205755

Lemniscate et ϖ

Définition de la lemniscate

• En coordonnées polaires, la lemniscate s'exprime par la formule « le carré du rayon est égal au cosinus du double de l'angle »
• De la même manière que la circonférence du cercle vaut (2π), la circonférence de la lemniscate vaut (2ϖ)

Fonctions trigonométriques de ϖ : sl et cl

• Comme les fonctions trigonométriques du cercle (sin, cos), la lemniscate possède les fonctions sl et cl
• Par exemple, la formule classique « le sinus au carré plus le cosinus au carré = 1 » se transforme en une relation similaire pour la lemniscate :
  • sl au carré + cl au carré + le produit du carré de sl et du carré de cl est égal à 1

Le lien entre π et ϖ

• π et ϖ partagent des formules et des motifs similaires, et π est l’une des constantes de la famille de ϖ
• π s'écrit comme ϖ₂, ϖ comme ϖ₄, et entre π et ϖ existe une autre constante, ϖ₃
• Cette famille de constantes révèle une structure mathématique intrinsèque et est liée à des courbes et fonctions plus complexes

Gauss et la découverte de ϖ

• Gauss a découvert que la constante lemniscatique est liée à la moyenne arithmético-géométrique (Arithmetic-Geometric Mean, AGM)
  • La moyenne arithmético-géométrique est un processus qui consiste à calculer de manière répétée la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux valeurs jusqu’à atteindre la convergence
  • Par exemple, la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 est le rapport π/ϖ, connu comme la « constante de Gauss »

Constantes ϖₙ d’ordre supérieur

• ϖₙ est lié aux fonctions et courbes hyperelliptiques
  • Une courbe hyperelliptique est définie comme un revêtement double de la sphère de Riemann, et elle présente des points de branchement aux points d'ordre n (les n-ièmes racines de l'unité)
  • Ces constantes reflètent la symétrie et les propriétés uniques des courbes de haut degré

Références et liens

• Constante lemniscatique (ϖ) - Wikipédia
• Fonctions trigonométriques lemniscatiques (sl, cl)

[GN⁺]

Commentaire Hacker News

• J'ai vérifié l'orthographe du mot «lemniscate», qui me semblait confuse. Grâce à cette discussion, j'ai découvert une nouvelle carte que j'aime bien.
  • Il s'agit de la projection de Peirce Quincuncial.
• Un porte-bonheur en forme de trèfle peut servir à la protection.
  • Elle peut être représentée par le graphe polaire r=cos(2θ).
  • Sa circonférence peut être définie comme la constante 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221.
• π vient du cercle, et se définit à partir de la distance à un point.
• ϖ vient de la lemniscate de Bernoulli, et se définit à partir de la distance à deux points.
• Je me demande si des constantes similaires issues de formes définies par trois points existent.
• Le rapport entre π et son jumeau est d'environ 1,198, qui correspond à la moyenne arithmético-géométrique de sqrt(2) et 1.
  • Si AM converge vers GM, alors, par l'inégalité AM-GM-HM, elle devrait aussi converger vers HM.
  • HM ne nécessite pas de racines carrées coûteuses.
• La convergence de AM et GM est quasi instantanée.
  • Il faut environ 15 étapes pour que la HM de la constante de Gauss converge.
  • On peut éviter l'opération coûteuse, mais cela exige beaucoup d'itérations.
• D'autres constantes remarquables :
  • Constante d'Euler–Mascheroni : séries harmoniques, intégrales et sommes associées à la fonction gamma.
  • Constante de Catalan : séries trigonométriques spécifiques, fonction de Green de réseau.
  • Constantes de Feigenbaum : carte logistique, chaos des systèmes dynamiques.
  • Constante de Khinchin : quotients partiels de fractions continues simples.
  • Constante de Glaisher–Kinkelin : expansion asymptotique de la fonction de Barnes G, limites combinatoires et certaines expansions de produits.
  • Constante de Ramanujan : multiplication complexe des courbes elliptiques.
  • Constante d'Omega : Omega * e^Omega = 1, fonction Lambert W, x^x^x^... = 2
• Je ne suis pas relativiste culturel, mais je ne crois pas à une civilisation qui accorderait plus d'importance à la forme ∞ qu'au cercle.
  • Il pourrait exister des êtres vivant dans un espace logarithmique.
  • Leurs cercles pourraient être des lemniscates.
• π et ϖ ne sont que deux parmi une infinité de frères.
• Pourquoi deux points uniquement ? Pourquoi pas trois ?
  • Peut-on trouver des courbes intéressantes obtenues à partir du produit constant des distances de N points ?
  • Dans les dimensions supérieures, il existe une sphère pour un point.
  • Qu'en est-il de la forme à 2 points ? une double goutte en forme d'horloge de sable ?
• Il serait intéressant qu'une telle forme devienne plus importante que le cercle pour une civilisation, car cela ferait un cadre de SF captivant.