La constante lemniscatique (ϖ) : le jumeau sombre de π

 (mathstodon.xyz)
1 points par GN⁺ 2024-12-25 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • ϖ (varpi) est une constante liée à la lemniscate en forme de ∞ et aux fonctions trigonométriques modifiées sl, cl, de la même manière que π est lié au cercle et aux fonctions trigonométriques
  • La lemniscate est un cas particulier de l’ovale de Cassini, où le produit des distances à deux points reste constant, et s’écrit en coordonnées polaires r² = cos2θ
  • De même que le périmètre du cercle unité vaut 2π, le périmètre de cette lemniscate vaut 2ϖ, avec ϖ ≈ 2.62205755..., calculé à plus de mille milliards de décimales
  • sl et cl sont des fonctions elliptiques lemniscatiques correspondant à sin et cos, avec des identités modifiées comme sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • ϖ est aussi lié à la courbe elliptique gaussienne et à la moyenne arithmético-géométrique, le rapport AGM(1, √2) = π/ϖ étant appelé la constante de Gauss

ϖ, une constante qui ressemble à π

  • ϖ est un nombre qui possède de nombreuses propriétés et formules analogues à celles de π, comme son « evil twin »
  • De même que π est lié au cercle et aux fonctions trigonométriques sin, cos, ϖ est lié à la lemniscate en forme de ∞ et aux fonctions sl, cl
  • ϖ est appelée la constante lemniscatique
  • Le symbole Unicode ϖ est la forme manuscrite de la lettre grecque pi, également appelée varpi ou pomega

Une formule intégrale et des produits analogues

  • π et ϖ se comparent aussi par des formes intégrales similaires
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • Les deux constantes sont liées à des formules en produit avec des racines carrées imbriquées
    • Du côté de π, la formule représente 2/π
    • Du côté de ϖ, la structure reste proche, mais certains termes deviennent des divisions

La lemniscate et son périmètre

  • La famille de courbes pour lesquelles le produit des distances à deux points est constant est celle des ovales de Cassini
  • Parmi elles, la courbe spéciale en forme de ∞ est la lemniscate, directement liée à ϖ
  • L’équation polaire de cette lemniscate est la suivante
    • r² = cos2θ
  • De même que le périmètre du cercle unité vaut 2π, celui de cette courbe vaut 2ϖ
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • Ce nombre a été calculé à plus de mille milliards de décimales

Les fonctions sl, cl et la trigonométrie modifiée

  • De même qu’on peut définir sin et cos sur le cercle, on peut définir sur la lemniscate des fonctions appelées sl et cl
  • Une grande partie des identités trigonométriques usuelles possède des versions modifiées correspondantes avec sl et cl
  • Voici une correspondance représentative
    • Trigonométrie classique : sin²θ + cos²θ = 1
    • Fonctions de la lemniscate : sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • Les graphes de sl et cl sont visibles dans Lemniscate elliptic functions

Courbe elliptique et constante de Gauss

  • ϖ et ses fonctions trigonométriques modifiées sont liés à la courbe elliptique gaussienne
  • On peut obtenir cette courbe elliptique en découpant le plan complexe en un réseau carré
    • Un réseau arbitraire du plan complexe produit une courbe elliptique et des fonctions elliptiques
    • Le carré présente davantage de symétrie que les autres parallélogrammes, ce qui en fait un exemple particulièrement intéressant
  • Gauss a découvert que cette courbe elliptique est liée à la moyenne arithmético-géométrique
  • La moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 vaut π/ϖ, et ce nombre est appelé la constante de Gauss
  • Une explication associée figure dans Lemniscate constant
  • Il existe aussi une suite généralisée ϖₙ
    • π est ϖ₂
    • ϖ est ϖ₄
    • ϖₙ semble être lié à certaines fonctions hyperelliptiques symétriques
    • Voir aussi June 2022 diary entry

À lire aussi

1 commentaires

 
GN⁺ 2024-12-25
Commentaires sur Hacker News

  • Grâce à cette discussion, j’ai découvert une nouvelle projection cartographique préférée : la projection quincunciale de Peirce
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • On trouve davantage de projections dans le sympathique PDF « An Album of Map Projections », et celle-ci apparaît à la page 190
      Pour un exemple plus festif, voir la projection en étoile de Berghaus à la page 156
      [1] : https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • Ça ressemble beaucoup à un diagramme de Penrose maximalement étendu
    • Il me semble avoir vu la même projection utilisée dans un mod de Quake 3 pour augmenter drastiquement le champ de vision

  • On peut aussi utiliser un talisman porte-bonheur en forme de trèfle à quatre feuilles pour s’en protéger. C’est la courbe polaire r=cos(2theta)
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    Son périmètre peut aussi se définir par la constante 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • La phrase « cette courbe en ∞ s’appelle “leminscate”, et ϖ s’appelle la “lemniscate constant”. Je montrerai la leminiscate dans le prochain billet » m’a embrouillé, donc j’ai vérifié : l’orthographe correcte est bien lemniscate

  • π vient du cercle, défini par la distance à un point, et ϖ vient de la lemniscate de Bernoulli, définie par la distance à deux points
    Existe-t-il alors une constante analogue issue d’une figure définie par la distance à trois points ?

    • Oui. π est le périmètre du cercle, et ϖ celui de la lemniscate. Avec trois points, on obtient trois formes en goutte d’eau, et on peut calculer leur périmètre
      Appelons ça une trilemniscate pour l’instant ;)
      Voici un graphe 3D. En regardant vers le bas depuis +Z, on voit la trilemniscate à l’endroit où le plan XY coupe le volume. J’ai soustrait 1 au produit pour visualiser l’intersection plane, et on peut aussi désactiver la version à trois points et activer celle à deux points pour comparer
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      Fait intéressant, pour deux comme pour trois points, l’aire à l’intérieur de la lemniscate et de la trilemniscate est la même. Cela reste vrai avec davantage de points s’ils sont répartis uniformément sur un cercle. Bien sûr, le périmètre tend vers l’infini à mesure qu’on ajoute des points
    • La notion de distance à trois points devient compliquée, car elle implique des fonctions de distance, voire la théorie de la mesure
      Avec deux points, il existe toujours un plus court chemin entre eux, donc la constante est liée à ce fait ; à partir de trois points, il faut traiter l’ensemble des formes triangulaires possibles

  • À propos de l’idée « je ne suis pas assez relativiste culturel pour croire qu’il existe une civilisation qui considère une forme en ∞ comme plus importante qu’une forme en ◯ », ces êtres pourraient ne pas être des êtres « linéaires » comme nous, mais plutôt des êtres logarithmiques
    La lemniscate est fondée sur la moyenne géométrique, qui est en pratique une moyenne multiplicative, autrement dit une moyenne dans l’espace logarithmique, par opposition à la moyenne additive de l’espace linéaire
    Si nous sommes des êtres linéaires, doués pour l’addition intuitive mais peu pour la multiplication intuitive, il pourrait exister des êtres vivant dans l’espace logarithmique et pensant sur une base multiplicative. Pour eux, le cercle serait la lemniscate

    • Les humains pensent en réalité assez intuitivement sur une échelle logarithmique. Les personnes n’ayant pas reçu d’enseignement arithmétique élémentaire de type occidental ont tendance à raisonner davantage en termes de rapports que de différences, et il existe même une théorie selon laquelle ce serait plus adaptatif du point de vue évolutif
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • Les humains ont de nombreuses réponses logarithmiques : la luminosité, l’intensité sonore, les octaves en musique et la hauteur relative, par exemple

  • Comme l’a souligné le professeur, le rapport entre π et son jumeau maléfique vaut environ 1.198, et c’est la moyenne arithmético-géométrique de sqrt(2) et 1
    Le côté géométrique implique une racine carrée, et les racines carrées coûtent cher. Je me suis donc dit que si la moyenne arithmétique converge vers la moyenne géométrique, alors, d’après l’inégalité arithmético-géométrico-harmonique, elle devrait aussi converger vers la moyenne harmonique, qui ne nécessite pas de racine carrée coûteuse
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    La convergence arithmétique-géométrique est presque immédiate et prend deux étapes, mais il faut plutôt une quinzaine d’étapes pour obtenir avec la moyenne harmonique une convergence exploitable pour la constante de Gauss, ce qui est assez fascinant. On peut éliminer l’opérateur coûteux qu’est la racine carrée, mais on paie alors en nombre d’itérations

    • La valeur de c calculée dépend du calcul de b, donc cela ne s’exécute pas via une récurrence évitant les racines carrées
      Il s’agit simplement de calculer la même suite de moyennes arithmético-géométriques, puis de prendre sur cette suite une moyenne harmonique pondérée spécifique ; comme la suite d’origine converge, celle-ci converge aussi
      À noter : la moyenne arithmético-harmonique visée est en fait simplement la moyenne géométrique. Pas la moyenne arithmético-géométrique, mais bien la moyenne géométrique pure : https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • D’autres constantes notables et là où elles apparaissent : la constante d’Euler-Mascheroni intervient dans des intégrales et des sommes liées à la série harmonique et à la fonction gamma, la constante de Catalan dans certaines séries trigonométriques et les fonctions de Green sur réseau, la constante de Feigenbaum dans l’application logistique et le chaos des systèmes dynamiques, la constante de Khinchin dans les quotients partiels des fractions continues simples, la constante de Glaisher-Kinkelin dans le développement asymptotique de la fonction G de Barnes, des limites combinatoires et certains développements en produit, la constante de Ramanujan dans la multiplication complexe des courbes elliptiques, et la constante Omega dans Ωe^Ω=1, la fonction W de Lambert et x^x^x^...=2

    • Je ne comprends pas ce que signifie x^x^x^... = 2. Sa solution n’est-elle pas sqrt(2) ?
    • Il faudrait expliquer comment la constante de Ramanujan est liée aux opérations sur les courbes elliptiques

  • Il est clair que ce ne sont pas des jumeaux. On peut seulement dire que π et ϖ sont deux membres d’une infinité de frères ϖₙ

  • Pourquoi seulement 2 ? Pourquoi pas 3 points ? Peut-on trouver des figures intéressantes à partir de courbes où le produit des distances à N points est constant ?
    Et dans des dimensions supérieures aussi : avec un seul point on obtient une sphère, mais avec deux points, à quoi ressemble la forme ? Plus à une double goutte en sablier ?

    • Il existe une généralisation. Avant que Twitter ne devienne un bar nazi, un défi y avait été lancé : trouver une série de nombres analogues à pi, chacun avec son propre ensemble de formules, et @duetosymmetry l’a relevé en construisant les ϖₙ
    • Pour ce qui est de trois points, les cas à un et deux points sont particuliers. Dans ces cas, il n’existe qu’une seule configuration à translation et changement d’échelle uniforme près
      Mais à partir de trois points, il y a autant de configurations que de triangles semblables. On peut certes obtenir un nombre pour chaque classe de similitude de triangle, mais il ne faut pas s’attendre à retrouver la même constante dans toutes les classes de similitude

  • Dans « cette courbe en ∞ s’appelle “leminscate”, et ϖ s’appelle la “lemniscate constant”. Je montrerai la leminiscate dans le prochain billet », deux des trois orthographes semblent fausses