- Britta Späth et Marc Cabanes ont achevé la preuve de la conjecture de McKay, un grand problème non résolu de la théorie des groupes, ouvrant la voie à une compréhension de groupes finis complexes à partir de sous-groupes bien plus petits
- Cette conjecture part d’une coïncidence inattendue : un groupe fini et son normalisateur de Sylow possèdent exactement le même nombre de certaines représentations
- Après l’achèvement en 2004 de la classification des groupes finis, Isaacs, Navarro et Malle ont ramené le problème à un énoncé plus fort sur un ensemble plus restreint de groupes, le dernier obstacle étant les groupes de type de Lie
- Späth et Cabanes ont traité successivement les quatre catégories de groupes de type de Lie ; en 2018, il n’en restait plus qu’une, et il leur a fallu six années de plus pour vérifier aussi les règles de correspondance nécessaires entre représentations
- Les mathématiciens peuvent désormais étudier d’importantes propriétés des groupes via le normalisateur de Sylow, plus maniable, même si l’on ne sait toujours pas pourquoi un petit sous-ensemble contient autant d’informations sur le grand groupe
Ce que dit la conjecture de McKay
- La conjecture de McKay trouve son origine dans une coïncidence numérique repérée par John McKay dans les années 1970
- Elle concerne les groupes finis (finite groups), c’est-à-dire des groupes ayant un nombre fini d’éléments
- Un groupe est un objet abstrait qui représente les symétries d’un système mathématique
- Plus le nombre d’éléments augmente et plus la structure devient complexe, plus il est difficile d’étudier directement l’ensemble du groupe
- McKay a estimé qu’on pouvait obtenir des informations importantes en ne regardant qu’une petite partie du groupe initial
- Il s’est notamment intéressé au normalisateur de Sylow, un sous-groupe spécial plus petit du groupe de départ
- Le normalisateur de Sylow peut ne contenir qu’une infime partie des éléments du groupe initial, et sa structure peut être très différente de celle de ce dernier
- Le cœur de la conjecture est que le nombre d’un certain type de représentations est exactement le même pour le groupe fini initial et pour son normalisateur de Sylow
- Une représentation est une manière de réécrire les éléments d’un groupe sous forme de matrices
- Ce nombre sert à comprendre comment les éléments du groupe sont reliés entre eux et à calculer d’autres propriétés importantes
Pourquoi cette égalité est surprenante
- L’égalité observée par McKay n’est ni une simple approximation ni une tendance générale, mais une identité exacte
- Par exemple, un groupe de 72 éléments se décompose en 2³ × 3²
- On peut considérer un sous-groupe de 8 éléments ou un sous-groupe de 9 éléments
- En y ajoutant certains éléments spécifiques, on peut former le normalisateur de Sylow-2 et le normalisateur de Sylow-3
- Il n’existait aucune raison évidente pour que ces petites structures aient exactement le même nombre de représentations que le groupe entier
- Gabriel Navarro a comparé cela à une situation où la part des voix dans une petite ville du Montana ne serait pas simplement « proche » du résultat de toute l’élection américaine, mais exactement identique
- Si la conjecture est vraie, les mathématiciens peuvent étudier les propriétés des groupes à travers des normalisateurs de Sylow plus faciles à manipuler, plutôt qu’à travers des groupes finis beaucoup plus grands
La classification et la réduction du problème
- L’immense projet de classification de tous les blocs de construction des groupes finis s’est étendu sur plus d’un siècle et s’est achevé en 2004
- Tous les blocs de construction appartiennent à l’une de trois catégories, ou à une liste de 26 exceptions
- Les mathématiciens pensaient depuis longtemps que cette classification pourrait simplifier des problèmes comme la conjecture de McKay
- En 2004, Marty Isaacs, Gabriel Navarro et Gunter Malle ont trouvé comment reformuler la conjecture de McKay en un énoncé plus fort portant sur un ensemble plus restreint de groupes
- Il ne s’agissait plus seulement d’avoir le même nombre de représentations, mais aussi d’exiger une correspondance entre elles selon des règles précises
- Si cet énoncé plus fort est vrai pour ces groupes, alors la conjecture de McKay pour l’ensemble des groupes finis s’ensuit
- Cette réduction a ensuite servi, au fil des années, à résoudre la plupart des cas de la conjecture de McKay
- La même méthode a aussi servi de feuille de route pour réduire d’autres conjectures connexes où l’on étudie l’ensemble à partir d’une partie seulement
Les groupes de type de Lie, dernier obstacle
- Même après cette réduction, une classe restait ouverte : les groupes de type de Lie (groups of Lie type)
- Les groupes de type de Lie sont mathématiquement importants parce qu’ils constituent les blocs de construction les plus courants parmi les autres groupes, mais leurs représentations sont extrêmement difficiles à étudier
- Späth a découvert la conjecture de McKay en 2003, lorsqu’elle était doctorante de Malle à l’Université de Kassel
- Elle a ensuite approfondi l’étude des représentations de groupes tout en continuant à faire avancer la conjecture
- En 2010, Späth a rencontré Cabanes à l’Université Paris Cité
- Cabanes était spécialiste du petit ensemble de groupes au cœur de la version réduite de la conjecture de McKay
- Les deux se sont plongés ensemble dans le problème, que Cabanes qualifie de « notre obsession »
- Il existe quatre catégories de groupes de type de Lie, et Späth et Cabanes les ont démontrées l’une après l’autre pendant plus de dix ans
- Ils ont publié plusieurs résultats majeurs durant ce processus
- Ils ont mobilisé des théories difficiles venues de différents domaines des mathématiques pour développer une compréhension profonde des groupes de type de Lie
La preuve finale et les questions restantes
- En 2018, il ne restait plus qu’une seule des quatre catégories de groupes de type de Lie, et il a fallu encore six ans pour résoudre ce dernier cas
- Späth et Cabanes ont montré que, dans cette dernière catégorie aussi, le nombre de représentations coïncide avec celui du normalisateur de Sylow, et que les règles de correspondance entre représentations requises sont elles aussi satisfaites
- Une fois ce dernier cas réglé, l’ensemble de la conjecture de McKay devient automatiquement vrai
- Tous deux ont présenté la preuve en octobre 2023 devant plus de 100 mathématiciens, puis l’ont mise en ligne un an plus tard
- Radha Kessar a qualifié cela d’« accomplissement absolument éblouissant »
- Les mathématiciens peuvent désormais étudier d’importantes propriétés des groupes en observant seulement le normalisateur de Sylow
- C’est une approche plus simple que de travailler sur le groupe d’origine
- Elle pourrait aussi avoir des applications pratiques
- Reste toutefois un mystère : pourquoi un petit sous-ensemble fournit-il autant d’informations sur le grand groupe dont il provient ?
- Kessar affirme qu’« il doit y avoir une raison structurelle au fait que ces nombres soient égaux »
- Quelques travaux préliminaires existent, mais ce lien n’est pas encore compris
- Späth et Cabanes cherchent désormais le prochain problème auquel se consacrer
- Späth dit qu’aucun sujet ne l’a encore captivée autant que la conjecture de McKay
1 commentaires
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Il y a sans doute une raison pour laquelle presque tous les articles contiennent une phrase du genre : « Se consacrer obstinément à un problème aussi difficile risquait de nuire à une carrière universitaire, mais Späth y a quand même consacré tout son temps »
Heureusement qu’il existe des personnes aussi tenaces, et j’ai aussi envie de porter un toast aux possibilités contrefactuelles qui ne sont même pas mentionnées
On ne peut pas changer un paradigme en le suivant. À mon avis, on perd beaucoup à minimiser le rôle des outsiders. Beaucoup échouent, probablement même la plupart, mais vu l’impact potentiel, il suffit qu’une petite proportion réussisse pour que cela mérite largement d’être encouragé
Or, en pratique, on décourage souvent les travaux à contre-courant, notamment par peur de l’échec. Dans la recherche, la plupart des tentatives échouent, mais le seul véritable échec est celui dont on n’apprend rien. Aujourd’hui, il est très difficile de publier des résultats négatifs, ce qui réduit ces tentatives, et le système encourage des recherches « sûres » qui, par nature, ne peuvent être qu’incrémentales. Il est ironique que, dans le même temps, beaucoup d’articles soient rejetés pour « manque de nouveauté »
Les regards jugeants resteraient, mais on pourrait les ignorer. Personnellement, je pense que les gouvernements devraient financer davantage de recherches moonshot à haut risque et fort rendement, menées par des individus ou de petites équipes. En les répartissant entre beaucoup de personnes, on réduit la variance et des résultats peuvent émerger. Mais le flux actuel des financements de recherche aux États-Unis semble aller exactement dans la direction opposée, donc je ne suis pas optimiste
Elle a fini par réussir, et j’ai toujours eu beaucoup d’estime pour la direction qui l’a soutenue
Tout le monde n’est pas obligé de consacrer son existence à maximiser ses opportunités de carrière, donc laissez-les tranquilles
J’ai aimé le passage : « Lorsque le couple a annoncé son résultat, leurs collègues ont été saisis d’admiration. Persi Diaconis, de Stanford University, a déclaré : “J’aurais voulu qu’il y ait une parade. Après des années de travail vraiment, vraiment, vraiment difficile, elle l’a fait, ils l’ont fait.” »
L’un des aspects qui m’avaient plu quand je travaillais sur des problèmes de combinatoire, c’était ce soutien positif. Des gens comme Persi Diaconis ou D.J.A. Welsh étaient si bienveillants que tout le domaine paraissait plus accueillant
Et ces ondes résonnent en nous sous forme de bonheur, ou de son contraire, selon nos intentions et nos actions
« Positive vibration, yeah. » --Bob Marley
Voici, en gros, ce que dit à mon avis la conjecture de McKay
Supposons que l’on veuille représenter un groupe par des matrices complexes. Il existe en général plusieurs façons de le faire, et chacune possède un caractère (character), comme une empreinte digitale de cette représentation
Par ailleurs, on sait que tout groupe possède un grand sous-groupe dont la taille est une puissance d’un certain nombre premier. Appelons-le P. Ce groupe a un normalisateur dans lequel P est un sous-groupe normal, que l’on note N(P)
Ce qui est surprenant, c’est que le nombre de caractères de G tout entier est égal au nombre de caractères de N(P), qui n’est pourtant qu’une petite partie de G
Techniquement, dans les deux cas, on exclut les représentations dont le degré est un multiple de p
Il est intéressant que la conjecture ait été démontrée par une analyse au cas par cas, et que chaque cas ait nécessité des techniques différentes
Le fait que tous les groupes finis possèdent cette propriété semble presque relever du hasard. Chaque groupe l’a pour des « raisons » différentes
Mais d’après l’article, les mathématiciens cherchent maintenant une raison structurelle plus profonde expliquant pourquoi cette conjecture est vraie. Puisque l’on sait désormais que le résultat est vrai, davantage de mathématiciens peuvent s’y attaquer sérieusement
Il est courant de décomposer en familles apparentées, puis de démontrer le résultat pour chaque bloc. Certaines preuves sont simples, tandis que d’autres nécessitent des techniques beaucoup plus avancées et restent des problèmes ouverts pendant des années
Article : https://arxiv.org/abs/2410.20392
Par coïncidence, je lisais récemment la partie sur les groupes dans Infinite Napkin après l’avoir vue passer sur HN
Je comprends les définitions et le reste, mais je ne saisis pas encore pourquoi les groupes sont si fondamentalement importants
Par exemple, l’article dit qu’il existe 50 groupes d’ordre 72, et ChatGPT parle de 50 non abéliens et 5 abéliens, mais je ne vois pas en quoi cela constitue un éclairage important
Les groupes d’ordre 72 sont 44 non abéliens et 6 abéliens. Je ne pense pas que ces nombres précis soient extrêmement importants, mais ce sont bien les bons chiffres
S’il existe des opérations qui laissent un objet inchangé, par exemple une rotation qui envoie un sommet d’un triangle équilatéral à la place d’un autre sommet, cette opération est réversible, et son inverse laisse aussi l’objet inchangé. En composant de telles opérations, on préserve toujours l’invariance, et la fonction identité laisse toujours tout inchangé. Les opérations de symétrie forment donc un groupe
Le point un peu plus subtil, c’est que tout groupe est l’ensemble des opérations de symétrie de quelque chose. Les groupes capturent donc précisément la notion de symétrie. Pour un mathématicien, « groupe » et « symétrie » sont presque synonymes
Les groupes finis sont intéressants car, comme les symétries qui échangent les atomes d’une molécule entre leurs positions, ils peuvent renseigner sur la structure moléculaire, les niveaux d’énergie, les spectres, les possibilités de liaison, etc. Les groupes infinis apparaissent en physique, par exemple quand les lois physiques restent les mêmes si l’on fait tourner ou translater arbitrairement le système de coordonnées. La symétrie intervient aussi comme méthode pour étudier d’autres objets mathématiques, et les mathématiciens veulent aussi savoir à quoi peuvent ressembler tous les groupes possibles
Personne ne cherche vraiment à expliquer pourquoi les nombres premiers sont espacés ainsi ; on indique plutôt, lorsqu’on explique un phénomène, si tel élément précis est premier ou non
Par exemple, il existe une formule élégante pour factoriser les polynômes du second degré, la formule quadratique, et il existe aussi des formules pour les degrés 3 et 4, même si on ne les fait généralement pas apprendre par cœur. Mais il n’existe pas de telle formule pour le degré 5. Il a fallu du temps aux mathématiciens pour démontrer qu’une telle formule n’existait pas, mais l’idée est qu’une formule de ce type devrait s’appuyer sur des groupes finis de taille inférieure à une certaine borne ; or, en énumérant ces groupes, on constate qu’aucun ne correspond à une formule du cinquième degré, donc il n’existe pas non plus de formule du cinquième degré
Les groupes sont donc utiles comme une forme de complexité primitive à laquelle on peut faire référence sans longue explication. Les propriétés des petits groupes peuvent se vérifier à la main, et quand on sait les reconnaître, beaucoup de choses forment des groupes si on les regarde ainsi
Par exemple, le problème que l’on étudie est-il abélien ? Si oui, alors il doit nécessairement avoir une forme du type X ou Y
Leur démonstration : https://arxiv.org/abs/2410.20392 (2024)
C’est vraiment un engagement impressionnant. J’ai particulièrement aimé la dimension personnelle dans l’article, ce qu’on ne voit pas toujours dans les textes sur les STEM
J’espère que leur relation s’adaptera bien à cette nouvelle réalité où l’objectif principal a désormais été atteint
Lorsqu’on ne montre que le résultat final, on a l’impression que cela a été facile pour eux, ce qui peut pousser d’autres personnes à renoncer même à essayer de comprendre ou de contribuer. En mathématiques en particulier, l’idée elle-même doit être simple. Nous ne sommes pas Ramanujan, capables d’additionner des séries infinies de tête. Mais cette idée est enfouie derrière une énorme quantité de jargon symbolique spécialisé
Cela me rappelle l’interprétation abstraite créée conjointement par Patrick Cousot et Radhia Cousot [1]
C’est une technique utile, que j’ai apprise dans un cours de vérification formelle
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_interpretation
Article vraiment excellent
Il m’a amené à passer plusieurs heures à chercher des travaux connexes, dont certains de John Conway
Pour situer mon niveau en maths, il est de l’ordre d’un BSEE. J’ai tout de même un exemplaire de The Algebraic Eigenvalue Problem, l’un des ouvrages de travail auxquels les professeurs d’université aimaient se référer, et je le feuillette brièvement de temps en temps