- Le texte fourni ne traite ni de GPT-5.6 ni de l’optimisation convexe, mais d’un théorème de théorie des groupes qui classe tous les groupes simples finis en 18 familles infinies et 26 groupes sporadiques
- Les groupes simples finis sont les briques de base des groupes finis, comme les nombres premiers, mais l’existence de groupes non isomorphes ayant la même suite de composition signifie que les seuls constituants ne déterminent pas de façon unique le groupe d’origine
- La preuve de la classification se compose de centaines d’articles et de dizaines de milliers de pages, publiés principalement entre 1955 et 2004 par environ 100 auteurs ; après qu’Aschbacher et Smith ont démontré sur 1 221 pages le cas manquant des quasiminces, l’achèvement a été annoncé en 2004
- La preuve procède en traitant d’abord les groupes de petit 2-rang, puis en divisant le reste entre les groupes de type composante et de type caractéristique 2, avant de vérifier l’existence et l’unicité de chaque groupe simple candidat
- Une preuve de seconde génération continue d’être publiée pour simplifier et unifier la première preuve, jugée excessivement longue, et cette classification est utilisée dans l’algorithme théorique du problème d’isomorphisme de graphes ainsi que dans divers résultats de théorie des groupes et des groupes de permutations
Classification des groupes simples finis et rôle
- La classification des groupes simples finis établit que tout groupe simple fini, à isomorphisme près, est l’un des suivants
- un groupe cyclique d’ordre premier
- un groupe alterné de degré au moins 5
- un groupe simple de type de Lie appartenant à 16 familles infinies
- l’un des 26 groupes sporadiques
- Cela donne au total 18 familles infinies et 26 exceptions
- le groupe de Tits est parfois rangé parmi les groupes sporadiques parce qu’il n’est pas strictement un groupe de type de Lie ; dans cette convention, il y a alors 27 groupes sporadiques
- Les groupes simples sont les briques de base des groupes finis au sens précisé par le théorème de Jordan–Hölder
- contrairement à la décomposition en facteurs premiers des entiers, une même suite de composition peut correspondre à plusieurs groupes non isomorphes, donc la solution du problème des extensions n’est pas unique
- On peut ramener des problèmes sur les groupes finis ou sur leurs actions à un examen famille par famille, ainsi que groupe sporadique par groupe sporadique
Ampleur de la preuve et achèvement
- La preuve complète se compose de centaines d’articles et de dizaines de milliers de pages écrits par environ 100 auteurs, principalement publiés entre 1955 et 2004
- Daniel Gorenstein a annoncé en 1983 l’achèvement de la classification, mais c’était prématuré après avoir reçu des informations erronées sur la preuve concernant les groupes quasiminces
- Michael Aschbacher et Stephen D. Smith ont démontré sur 1 221 pages le cas manquant des groupes quasiminces, après quoi Aschbacher a annoncé l’achèvement en 2004
- En 2008, Harada et Solomon ont comblé un cas de composante standard omis à cause d’une erreur dans le calcul du multiplicateur de Schur du groupe de Mathieu M22
- Gorenstein, Richard Lyons et Ronald Solomon ont publié par étapes une version simplifiée et corrigée de la preuve
Grandes divisions de la preuve
- Les deux volumes de Gorenstein donnent une vue d’ensemble des faibles rangs et du cas de caractéristique impaire, tandis qu’Aschbacher, Lyons, Smith et d’autres traitent dans le troisième volume le cas restant de caractéristique 2
- La classification complète est structurée en traitant les groupes de petit 2-rang, les groupes de type composante et les groupes de type caractéristique 2, puis en vérifiant l’existence et l’unicité de chaque candidat
- Si le 2-rang sectionnel est au moins 5, les résultats de MacWilliams et le balance theorem permettent de diviser les groupes simples en groupes de type composante ou de type caractéristique 2
- pour les faibles 2-rangs, les hypothèses de rang exigées par le signalizer functor theorem et d’autres résultats ne sont pas satisfaites, donc cette division ne peut pas être appliquée telle quelle
Groupes de petit 2-rang
- Les groupes d’ordre impair de 2-rang 0 sont tous résolubles d’après le théorème de Feit–Thompson
- Pour le 2-rang 1, les 2-sous-groupes de Sylow sont cycliques ou quaternioniques généralisés
- en appliquant la transfer map et le théorème de Brauer–Suzuki, il n’existe pas de groupe simple sauf le groupe cyclique d’ordre 2
- Pour le 2-rang 2, les sous-groupes de Sylow doivent être diédraux, semi-diédraux, de type wreath, ou être les 2-sous-groupes de Sylow de (U_3(4))
- le théorème de Gorenstein–Walter donne (L_2(q)) et (A_7) dans le premier cas
- le théorème d’Alperin–Brauer–Gorenstein donne (L_3(q)), (U_3(q)) et (M_{11}) dans les deux cas suivants
- Lyons montre que la seule possibilité simple dans le dernier cas est (U_3(4))
- Les groupes de 2-rang sectionnel au plus 4 sont classés par le théorème de Gorenstein–Harada
- En particulier, la classification pour le rang au plus 2 dépend fortement de la théorie des caractères ordinaires et modulaires, peu utilisée directement dans les autres parties de la classification
Groupes de type composante
- Si, pour un centralisateur (C) d’une involution, le quotient (C/O(C)) possède une composante, le groupe est classé comme de type composante
- (O(C)) est le plus grand sous-groupe normal d’ordre impair de (C)
- Les principaux objets sont les groupes de type de Lie de rang élevé en caractéristique impaire, les groupes alternés et certains groupes sporadiques
- Le B-theorem montre que toutes les composantes de (C/O(C)) sont des images de composantes de (C), ce qui élimine l’obstacle créé par le core des involutions
- On suppose par récurrence que les groupes quasi-simples plus petits apparaissant comme composantes de centralisateurs sont déjà connus, puis on examine les groupes simples possibles pour chaque extension centrale connue d’un groupe simple fini
- Il faut traiter séparément non seulement les 26 groupes sporadiques et les 16 familles de type de Lie, mais aussi les comportements exceptionnels sur les petits corps, les faibles rangs, et les différences entre caractéristique paire et impaire
Groupes de type caractéristique 2
- Un groupe est de type caractéristique 2 si, pour tout sous-groupe 2-local (Y), le sous-groupe de Fitting généralisé (F^*(Y)) est un 2-groupe
- Il s’agit surtout de groupes de type de Lie sur des corps de caractéristique 2, mais aussi de certains groupes alternés, sporadiques et de caractéristique impaire
- Le rang pertinent est le rang maximal d’un sous-groupe abélien impair normalisant un 2-sous-groupe non trivial
- dans les groupes de type de Lie de caractéristique 2, ce rang coïncide souvent avec celui d’une sous-algèbre de Cartan, mais pas toujours
- Les thin groups de rang 1 ont été classés par Aschbacher, et les groupes quasiminces de rang 2 par Aschbacher et Smith
- Le cas de rang au moins 3 se divise en trois classes selon le trichotomy theorem
- le type GF(2) a été principalement classé par Timmesfeld
- le type standard pour les nombres premiers impairs est traité par le théorème de Gilman–Griess et des travaux ultérieurs
- selon les résultats d’Aschbacher, il n’existe pas de groupe simple de type unicité
- Les résultats généraux de rang élevé se ramènent pour l’essentiel à des groupes de type de Lie sur des corps de caractéristique 2, de rang au moins 3 ou 4
Existence et unicité
- Une fois qu’une classification structurelle caractérise chaque candidat, il faut encore prouver séparément qu’un groupe simple satisfaisant ces propriétés existe réellement et qu’il est unique
- La première preuve de l’existence et de l’unicité du groupe Monster faisait à elle seule environ 200 pages
- L’identification des groupes de Ree par Thompson et Bombieri a été l’une des parties les plus difficiles de toute la classification
- De nombreuses preuves d’existence, et certaines preuves d’unicité, des groupes sporadiques ont d’abord utilisé des calculs sur ordinateur, mais ont pour la plupart été remplacées par des démonstrations manuscrites plus courtes
Le programme en 16 étapes de Gorenstein
- En 1972, Gorenstein a publié un programme visant à achever la classification, et la version finale suit globalement ce plan
- groupes de faible 2-rang
- semi-simplicité des 2-layers
- type standard en caractéristique impaire
- classification des groupes de type impair via le classical involution theorem d’Aschbacher
- quasi-type standard
- involutions centrales
- classification des groupes alternés
- certains groupes sporadiques
- thin groups, classés par Aschbacher en 1978
- groupes ayant un sous-groupe fortement (p)-plongé pour un nombre premier impair (p)
- méthode des signalizer functors pour les nombres premiers impairs, résolue par McBride en 1982
- groupes de type caractéristique (p), traités par Aschbacher
- groupes quasiminces, achevés par Aschbacher et Smith en 2004
- groupes de 3-rang 2-local faible
- centralisateurs de 3-éléments de type standard
- classification des groupes simples de type caractéristique 2 à l’aide du théorème de Gilman–Griess
Développement historique
- En 1832, Galois introduit les sous-groupes normaux et découvre les groupes simples (A_n) et (PSL_2(\mathbf F_p)), puis Cayley définit les groupes abstraits en 1854
- De 1861 à 1873, Mathieu introduit les cinq groupes de Mathieu, premiers groupes simples sporadiques, et Hölder pose en 1892 la classification des groupes simples finis comme problème
- Dans la première moitié du XXe siècle, les théorèmes de Sylow, la théorie des caractères, les caractères modulaires, le sous-groupe de Fitting et les groupes classiques sur corps finis établissent les bases du sujet
- En 1955, le théorème de Brauer–Fowler montre qu’il n’existe qu’un nombre fini de groupes simples finis ayant un centralisateur d’involution donné, ce qui stimule l’approche fondée sur les centralisateurs
- De 1955 à 1961, Chevalley, Steinberg, Suzuki et Ree introduisent plusieurs nouvelles familles de groupes simples de type de Lie
- Feit et Thompson démontrent en 1963 le théorème de l’ordre impair, et les années 1960 et 1970 voient l’achèvement de plusieurs théorèmes de classification fondés sur la structure des 2-sous-groupes de Sylow et les involutions
- Après la découverte du groupe de Janko J1 en 1966, de nombreux groupes sporadiques sont découverts, jusqu’à J4 introduit par Janko en 1976, le dernier à être trouvé
- La découverte du baby monster et du monster en 1973 conduit à celle du groupe de Thompson et du groupe de Harada–Norton
- En 1974, le théorème de Gorenstein–Harada divise les groupes simples restants entre type composante et type caractéristique 2
- Après le classical involution theorem de 1977, on considère que l’achèvement de la classification est proche, car il devient possible de traiter la plupart des groupes simples
- En 1981, Bombieri achève la caractérisation des groupes de Ree, et en 1982 Griess construit à la main le groupe Monster
- En 1983, le trichotomy theorem répartit les groupes de type caractéristique 2 de grand rang en trois sous-cas, mais l’annonce d’achèvement de la même année laissait encore un vide pour les groupes quasiminces
- En 1985, l’Atlas of Finite Groups réunit les informations de base sur 93 groupes simples finis
- En 2012, Gonthier et ses collaborateurs publient une version vérifiée par ordinateur du théorème de Feit–Thompson à l’aide de Rocq, alors appelé Coq
Preuves de seconde et troisième génération
- On appelle première génération les preuves établies jusqu’autour de 1985, et leur longueur extrême a motivé une preuve de classification de seconde génération plus simple
- En 2023, Gorenstein, Lyons, Solomon et Inna Capdeboscq avaient publié 10 volumes
- Solomon estimait en 2012 qu’environ 5 volumes supplémentaires seraient nécessaires, tout en jugeant l’avancement lent
- la nouvelle preuve était estimée à environ 5 000 pages, mais avec le volume 9 et les ouvrages d’Aschbacher–Smith, ce total avait déjà été atteint, et d’autres volumes étaient en préparation
- Cette simplification est possible parce que la liste finale de la classification est déjà connue, ce qui permet de choisir les techniques adaptées à la portée nécessaire
- dans la première génération, on ne connaissait même pas encore le nombre de groupes sporadiques, et certains groupes de Janko ont été découverts pendant la preuve
- des théorèmes indépendants sur des cas particuliers peuvent être intégrés dans une preuve organisée unique, ce qui permet de repousser le traitement de certains cas jusqu’au moment où des hypothèses plus fortes s’appliquent
- les identifications redondantes de familles peuvent être supprimées grâce à de nouveaux découpages en cas
- l’expérience accumulée en théorie des groupes finis et de nouvelles techniques ont aussi joué un rôle
- L’inconvénient est que des théorèmes individuels auparavant relativement courts dépendent désormais de la classification complète
- Aschbacher a qualifié de programme de troisième génération les travaux de Meierfrankenfeld, Stellmacher, Stroth et d’autres, dont l’un des objectifs est de traiter de façon unifiée tous les groupes de caractéristique 2 par la méthode des amalgames
Pourquoi une preuve courte est difficile
- À cause des 26 groupes sporadiques, toute preuve risque d’inclure de nombreux cas particuliers, et il n’existe pas de paramétrisation propre et unifiée comparable à la classification des groupes de Lie compacts par diagrammes de Dynkin
- Il a aussi été proposé de construire puis classifier les objets géométriques sur lesquels les groupes agissent
- dans la pratique, la classification cherche bien des structures géométriques comme les BN-pairs, mais cela n’est possible qu’après une longue analyse de la structure des groupes simples
- La théorie des représentations fonctionne bien pour contrôler très finement les sous-groupes dans les faibles rangs
- pour les rangs élevés, elle n’a pas permis de simplifier la classification
Résultats utilisant la classification
- Elle a servi à développer les meilleurs algorithmes théoriques de l’époque, notamment le résultat de 1982 donnant un test en temps polynomial pour le problème d’isomorphisme de graphes à degré borné
- Elle est utilisée pour la conjecture de Schreier, le signalizer functor theorem, la conjecture B et le théorème de Schur–Zassenhaus pour tous les groupes
- pour ce dernier résultat, le théorème de Feit–Thompson suffit, sans nécessiter la classification complète
- Tout groupe de permutations transitif non trivial sur un ensemble fini contient un élément sans point fixe d’ordre une puissance d’un nombre premier
- Elle intervient aussi dans la classification des groupes de permutations 2-transitifs et de rang 3, dans la conjecture de Sims et dans la conjecture de Frobenius sur le nombre de solutions de (x^n=1)
- Les groupes simples finis non abéliens sont caractérisés par leur graphe de commutation
1 commentaires
Avis sur Hacker News
Je connais un peu ce domaine, et cette conjecture semble un peu plus de niche que la conjecture de la double couverture cyclique récemment démontrée par OpenAI, mais c’est clairement une contribution substantielle
Elle traite du temps nécessaire pour résoudre le problème d’optimisation de fonctions convexes lipschitziennes, et la restriction à un domaine sphérique n’est pas essentielle puisqu’un changement de variables permet de se ramener à un domaine borné. Une borne supérieure de la complexité temporelle se déduit assez facilement du temps d’exécution d’un algorithme, mais une borne inférieure non triviale est bien plus difficile à prouver, puisqu’elle doit contraindre tous les algorithmes
Cette preuve semble montrer que la borne inférieure de complexité temporelle est égale à la complexité d’algorithmes vieux de 30 ans, et qu’il faut Ω(d²) évaluations de fonction pour résoudre le problème dans cette classe de fonctions. S’il existe un oracle de gradient, on peut approximer le gradient avec d évaluations de fonction, donc il semble plausible que le nombre minimal d’évaluations soit d, mais je ne suis pas sûr de la difficulté qu’il y aurait à le prouver rigoureusement
Je me demande si, en recherche mathématique aussi, on s’entraîne en résolvant des problèmes de faible difficulté, puis intermédiaires, avant d’aller vers des problèmes ouverts. Je serais aussi curieux de comparer cela à ce qui arrive aux développeurs juniors en logiciel
Il peut exister d’excellents seniors qui ne savent pas ce qu’est un défaut de cache L1, et les modèles d’IA actuels connaissent ce genre de notions, mais sans pilotage humain ils ont du mal à les appliquer correctement. Dans l’énergie, par exemple, le contexte peut exiger qu’en débogage on privilégie la sûreté d’exécution plutôt que la sécurité, et l’IA ne sait pas bien en juger. Si vous cherchez un développeur jeune, peu expérimenté, mais qui connaît vraiment l’informatique, il coûte moins cher, donc vous aurez plutôt tendance à l’embaucher
Ce n’est pas propre au logiciel. Je travaille sur des applications d’IA d’entreprise à déployer vers les agents IA des employés, et il s’avère que seuls les experts centraux à qui toute l’équipe demande conseil ne sont pas menacés. Même des gens compétents dans leur travail sont souvent en dessous de l’IA. Cela va représenter un immense défi pour la société, et il est possible que l’IA remplace même les experts métier. Quand je pense qu’il y a encore quatre mois, j’aurais dit que tout cela était exagéré, j’ai du mal à affirmer que c’est encore lointain
Pour obtenir un doctorat, il faut faire une recherche originale, donc on travaille dès le départ sur des problèmes ouverts. Cela n’a pas besoin d’être révolutionnaire, et la plupart des thèses, y compris la mienne, sont d’un niveau qu’un chercheur senior du même sous-domaine pourrait produire sans trop de difficulté. Une grande partie de l’intérêt à confier de la recherche à des juniors est de les former pour qu’ils deviennent un jour seniors, et le résultat produit n’a souvent rien de très spécial, ce qui ressemble au développement logiciel
Vu la tendance des preuves par LLM, cette structure va probablement devoir changer bientôt. Je suis heureux de ne pas être chargé de prendre cette décision, car je m’inquiète assez pour l’avenir des mathématiques
Les solutions logicielles demandent de la maintenabilité et de la planification, et les LLM sont faibles sur ces points. Cela produit donc du code LLM patchwork qui réutilise mal les bibliothèques standard existantes et accumule logique dupliquée et rustines
Sauf dans des cas comme Grothendieck, qui s’était mis en colère parce que Deligne n’avait pas résolu les conjectures de Weil de la « bonne manière », logiciel et mathématiques sont fondamentalement différents sur ce point. Il existe suffisamment de gros problèmes compatibles avec les capacités actuelles de planification à long terme, donc l’IA a de bonnes chances d’obtenir une médaille Fields avant de gérer un McDonald’s
En regardant de plus près, l’auteur explique qu’il a essayé pendant un an de résoudre ce problème avec GPT-5.4 et GPT-5.5, puis qu’il a mis toutes ces informations dans le prompt de Sol Pro, et il est même possible que Sol Pro ait eu un accès direct à l’historique des conversations précédentes. Donc les 148 minutes annoncées correspondent en réalité à un an + 148 minutes
En plus, la technique utilisée pour résoudre le problème semble elle aussi avoir été incluse dans le prompt : https://old.reddit.com/r/math/comments/1uxj3cy/after_openais...
L’auteur dit avoir mis dans le prompt la plupart des approches raisonnables auxquelles penserait quelqu’un du domaine, et avoir aussi utilisé Sol pour l’aider à rédiger le prompt en lui fournissant le prompt CDC, des idées, ainsi qu’une définition claire du problème et des spécifications. La classe de fonctions de la solution finale, construite comme maximum de fonctions affines, figurait elle aussi dans le prompt
Au final, il n’est pas clair si GPT-5.6 a réellement comblé l’écart à partir du seul prompt, ou si l’auteur avait en pratique déjà fait l’essentiel du travail avant d’en attribuer avec enthousiasme le mérite à GPT-5.6
Sur Reddit, il a été précisé que ce travail avait été réalisé avec Sol Pro et non Ultra, et je me demande comment comprendre la différence entre les deux
J’ai l’impression que ChatGPT Pro ressemble davantage à un système multi-agents qui exécute plusieurs LLM en parallèle et sélectionne la meilleure réponse, tandis que j’imagine Ultra comme un mode à la Claude-Code UltraCode, où l’agent principal crée un workflow JavaScript dynamique pour orchestrer de manière déterministe plusieurs agents et des vérificateurs adversariaux. Est-ce globalement correct, et existe-t-il des sources pour étayer cela ?
Je me souviens que la preuve de la conjecture abc proposée par Mochizuki https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Claimed_proofs avait été rejetée parce qu’elle était trop difficile à comprendre pour les humains. Je me demande si ce genre de preuve n’est pas justement une cible idéale pour les LLM
Malgré cela, les LLM ont un fort potentiel, à la fois pour la vérification informelle consistant à lire vite et repérer des lacunes, et pour la vérification formelle qui tente une véritable formalisation
Il est étonnant de constater que l’intelligence est désormais bon marché, efficace et abondante. Il faut donc recentrer notre énergie sur les valeurs et principes essentiels, puisque la plupart des compétences humaines deviennent dénuées de sens
On ne sait pas non plus très bien comment mesurer l’efficacité. Il est difficile de dire que c’est efficace en ne regardant qu’une seule session et son résultat, tout en ignorant l’énorme infrastructure et les coûts d’entraînement nécessaires pour rendre cela possible. Les résultats de l’IA ne rendent pas non plus les compétences humaines dénuées de sens, et le fait de perdre nos capacités cognitives en déléguant la pensée à l’IA est précisément au cœur du débat actuel
Globalement, c’est une démonstration impressionnante de capacités, mais je n’irais pas au-delà
Mais maintenir cette distinction crée des problèmes difficiles à surmonter. Les systèmes conceptuels par lesquels on comprend le monde sont toujours imprégnés de valeurs, et il n’existe ni point de vue de nulle part ni système de valeurs affranchi des conditions historiques. Le cadre selon lequel les valeurs doivent être imposées de l’extérieur à l’intelligence finit par mener à une impasse, une sorte de pseudo-théologie autour de l’alignement de l’IA et de la superintelligence
Plutôt que de séparer fortement faits et valeurs, intelligence et éthique, mieux vaut se concentrer sur l’appropriation critique et l’extension de la sagesse transmise par les humains ou les LLM
Cela dit, il est probable que les LLM y parviennent finalement, soit en acquérant eux-mêmes ce raisonnement spatial, soit en servant d’interface à des modèles qui l’exécutent, donc l’idée de départ reste valable
Au fond, cela montre simplement que l’information, c’est le pouvoir. Si l’on ne sait pas dans quelle direction aller, c’est-à-dire si l’on ne connaît pas le gradient partiel, on calcule sans fin
En essayant de résoudre des problèmes de mathématiques avancées avec l’IA, on a pu déverser sur le problème une force brute à une échelle énorme. Le jour où l’on pourra appliquer la force brute au raisonnement mathématique, on verra des avancées intéressantes
Cela n’a pas encore fait l’objet d’une évaluation par les pairs
Il est intéressant de voir qu’il y a encore quelques mois, beaucoup affirmaient avec certitude que personne ne s’intéresserait aux problèmes mathématiques « non résolus » que l’IA parvient à résoudre