Créer tous les entiers avec quatre 2

Le puzzle consistant à obtenir un nombre cible avec seulement quatre chiffres 2 voit la plage des valeurs représentables s’élargir fortement à mesure que l’on autorise davantage d’opérations mathématiques
Avec les seules quatre opérations de base, on peut construire les nombres de 1 à 6, et en ajoutant exponentiation, factorielle et racine carrée, on peut aussi exprimer des valeurs comme 18, 28, 256 et 65536
Si l’on autorise aussi la notation qui considère 22 comme deux 2, la fonction Gamma, les intégrales, les décimaux périodiques, les opérateurs de combinaison et même les nombres complexes, les solutions deviennent bien plus variées
La solution générale de Paul Dirac permet de produire n’importe quel entier naturel n à l’aide de racines carrées emboîtées et du logarithme en base 2 ; ici, n n’est pas un chiffre écrit dans l’expression, mais le nombre de répétitions de la racine carrée
La formule générale d’origine n’utilise que trois chiffres 2, mais en remplaçant un 2 par √(2+2), on obtient une forme qui emploie exactement quatre 2

Comment le puzzle des quatre 2 s’étend

La règle consiste à former l’entier naturel cible en utilisant exactement quatre chiffres 2 et des opérations mathématiques
Même avec les seules quatre opérations arithmétiques élémentaires, on peut obtenir directement de petits nombres
- 1 = (2+2)/(2+2)
- 2 = 2/2 + 2/2
- 3 = 2·2 - 2/2
- 4 = 2+2+2-2
- 5 = 2·2 + 2/2
- 6 = 2·2·2 - 2
Si l’on autorise l’exponentiation et la factorielle, l’éventail des expressions possibles s’élargit considérablement
- 18 = 2^(2^2) + 2
- 28 = (2+2)! + 2 + 2
- 256 = (2+2)^(2+2)
- 65536 = 2^(2^(2^2))
On peut aussi utiliser la convention notationnelle qui considère 22 comme composé de deux 2
- 26 = 22 + 2 + 2
- 11 = 22 / √(2+2)
- 444 = 222 · 2
Le 7 est connu pour être difficile à obtenir, mais si l’on autorise la fonction Gamma, on a 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
Avec un ensemble d’outils encore plus large, on trouve aussi, comme dans ce fil Math StackExchange, des solutions incluant intégrales, décimaux périodiques et opérateurs de combinaison
Un exemple faisant appel aux nombres complexes est 12 = |2 + 2√(-2)|²

Dans les années 1920, les mathématiciens s’amusaient déjà avec ce puzzle, et Paul Dirac a trouvé une solution générale pour tous les nombres
L’idée centrale consiste à appliquer de façon répétée la racine carrée à 2
- √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
- √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
- √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
En appliquant la racine carrée n fois, on obtient une expression de la forme √√...√2 = 2^(2^-n)
En y appliquant ensuite deux fois le logarithme en base 2, on obtient -n
- log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
- log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
La formule générale est donc la suivante
- n = -log₂(log₂(√√...√2))
- ici, la racine carrée est répétée n fois
Comme cette expression n’utilise que trois chiffres 2, on peut remplacer le 2 de la base par √(2+2) afin d’utiliser exactement quatre 2
- n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
Par exemple, 7 peut s’écrire en emboîtant la racine carrée sept fois, comme suit
- 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
Dans cette méthode, n n’apparaît pas directement comme chiffre dans l’expression : c’est la valeur qui compte le nombre de répétitions de la racine carrée, et il ne reste plus qu’à tracer autant de symboles de racine carrée que nécessaire