Créer tous les entiers avec quatre 2

Créer tous les entiers avec quatre 2

• Présentation du puzzle mathématique

  • On donne quatre chiffres 2 et un entier naturel cible, et le but est de construire ce nombre sans utiliser d’autres chiffres, au moyen de diverses opérations mathématiques.
  • Exemples accessibles même à des élèves du primaire :
    • 1 = (2+2) / (2+2)
    • 2 = (2/2) + (2/2)
    • 3 = 2×2 - (2/2)
    • 4 = 2 + 2 + 2 - 2
    • 5 = 2×2 + (2/2)
    • 6 = 2×2×2 - 2

• Mathématiques de niveau collège

  • Dès qu’on apprend les exposants et les factorielles, l’éventail s’élargit :
    • 18 = 2^(2^2) + 2
    • 28 = (2+2)! + 2 + 2
    • 256 = (2+2)^(2+2)
    • 65536 = 2^(2^(2^2))

• Astuces mathématiques avancées

  • On peut utiliser diverses astuces, comme considérer 22 comme deux 2 :
    • 26 = 22 + 2 + 2
    • 11 = 22 / √(2+2)
    • 444 = 222×2

• Utilisation d’outils mathématiques avancés

  • Avec des outils mathématiques avancés comme la fonction gamma, on peut facilement construire 7 :
    • 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2

• Nombres complexes et mathématiques avancées

  • Exemple utilisant les nombres complexes :
    • 12 = |2 + 2√(-2)|^2

• La solution générale de Paul Dirac

  • Paul Dirac a découvert une solution générale pour tous les nombres.
  • En utilisant des racines carrées imbriquées, il est possible de représenter n’importe quel nombre :
    • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
    • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
    • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)

• Formule générale

  • n = -log_2(log_2(√√...√2))
  • Cette formule utilise trois 2, mais on peut l’ajuster à quatre en utilisant 2 = √(2+2) :
    • n = -log_√(2+2)(log_2(√√...√2))

• Une solution conforme aux règles du puzzle

  • Cette méthode respecte les règles du puzzle et permet de représenter tous les nombres.
  • Par exemple, une autre façon de représenter 7 :
    • 7 = -log_√(2+2)(log_2(√√√√√√√2))

• Référence

  • Cette histoire est tirée du livre de Graham Farmelo, The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius.

[GN⁺]

Commentaires sur Hacker News

• On a l’impression de perdre l’esprit du jeu si l’on autorise l’usage de fonctions

  • Par exemple, la fonction gamma vaut (n-1)!
  • On peut alors former 7 avec quatre 2 et un 1
  • Si l’on peut cacher des nombres dans des appels de fonction, il devient toujours facile de réussir

• Si l’on autorise les opérations mathématiques

  • il devient facile de résoudre le problème avec des fonctions de succession
  • Exemple : S(n) = n+1
    • 6 = 2*2*2-2
    • 7 = S(2*2*2-2)
    • 8 = S(S(2*2*2-2))

• Donald Knuth a écrit à 26 ans, en 1964, un texte intitulé "Representing numbers using only one 4"

  • Il y utilise le seul chiffre 4 et trois opérations (√x, ⌊x⌋, x!)
  • Le texte se termine sur une conjecture non résolue : peut-on représenter tous les entiers de cette manière ?
  • En annexe, il mentionne un article de 1962 de J. H. Conway et M. J. T. Guy intitulé "π in Four 4's"

• Utiliser sqrt(2*2) ou sqrt(2^2) au lieu de sqrt(2+2) semble être un choix étrange

  • Cela cache inutilement la raison pour laquelle 2=sqrt(2+2)

• Je préfère la concision

  • J’avais créé une machine à pile avec des commandes à un seul caractère
  • Seuls les chiffres de 0 à 9 étaient autorisés
  • Pour représenter le nombre 23, il fallait faire quelque chose comme 45*3+
  • Il fallait résoudre le problème consistant à encoder chaque entier avec le moins de caractères possible

• Cela me rappelle le jeu mobile Tchisla

  • Il faut y former des nombres jusqu’à 1000 (ou 10000) à partir de chiffres donnés et de quelques opérateurs seulement
  • C’est très amusant et cela pousse à développer des stratégies
  • L’UX est simple et efficace
  • C’est extrêmement chronophage

• Il y a un petit problème avec l’utilisation de trois 2

  • La notation avec racine cache un exposant de 1/2
  • Il y a donc beaucoup de 2 cachés

• Il existe un jeu classique appelé "four fours"

  • Je l’ai appris enfant dans le livre "The Man Who Counted"

• Utiliser des racines carrées arbitraires ressemble presque à de la triche

  • La racine carrée est en pratique juste un autre symbole pour « 2 »

• Certains pensent que définir 7 est vraiment difficile

  • 7 = 2/2 + 2 + 2 + 2