L’art perdu des logarithmes — le webbook de Charles Petzold

 (lostartoflogarithms.com)
1 points par GN⁺ 2025-03-14 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • Webbook en cours d’écriture par Charles Petzold, qui relie des sujets comme la multiplication, les puissances, la trigonométrie, la musique et les graphiques à travers l’histoire et les usages des logarithmes
  • Son axe central est le logarithme comme outil de calcul et la règle à calcul, avec un parcours qui va au-delà de la théorie jusqu’au calcul manuel et à la fabrication d’outils
  • La couleur des titres de chapitres indique l’état d’avancement de la rédaction, ce qui permet de voir immédiatement quels chapitres sont presque terminés et lesquels sont encore en évolution ou non commencés
  • L’ensemble n’a pas encore fait l’objet d’une édition professionnelle, et l’objectif de finalisation complète est fixé à fin 2027
  • La consultation est surtout optimisée pour un ordinateur de bureau ou un ordinateur portable ; sur iPad Mini iOS 12.5.7 et sur téléphone, des problèmes d’affichage peuvent survenir

Portée du webbook et état de rédaction

  • The Lost Art of Logarithms est un webbook en cours d’écriture par Charles Petzold
  • Il traite les logarithmes non comme un simple concept mathématique, mais comme un outil traversant l’histoire du calcul et des sciences
    • ce que sont les logarithmes
    • leur utilité, leur histoire et leur universalité
    • les usages historiques des logarithmes en trigonométrie plane et sphérique
    • la théorie et l’usage pratique de la règle à calcul
  • La couleur des titres de chapitres indique l’étape actuelle de rédaction
    • vert : chapitre presque terminé, sans changements majeurs attendus, mais avec encore de possibles petites retouches, corrections ou ajustements de présentation
    • rouge : chapitre inachevé et actuellement en cours d’évolution
    • noir : chapitre pas encore commencé
  • Il n’y a pas encore eu de révision éditoriale professionnelle, et l’achèvement est prévu pour fin 2027

Environnement de consultation et structure de la table des matières

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1 commentaires

 
GN⁺ 2025-03-14
Commentaires sur Hacker News

  • J’ai bien mieux compris les logarithmes en les abordant à partir de leur motivation d’origine plutôt qu’à travers la manière dont on les enseigne à l’école primaire et secondaire
    Si l’on suit le problème auquel Napier était confronté — simplifier la multiplication de grandes valeurs d’observations astronomiques — en cherchant une fonction de la forme f(ab) = f(a) + f(b), et qu’on réfléchit à la raison pour laquelle cela mène à une certaine famille de fonctions, on saisit beaucoup mieux pourquoi les logarithmes apparaissent partout
    C’est très différent de l’approche qui consiste à les enseigner comme la fonction réciproque de l’exponentielle, alors qu’en réalité ce type de formulation n’est apparu qu’après Euler
    À mon avis, les mathématiques sont aussi plus intéressantes à apprendre de cette façon : en suivant le problème que l’auteur d’origine cherchait à résoudre et les outils dont il disposait à l’époque

    • "Calculus: The Genetic Approach" de Toeplitz explique les mathématiques à travers leur développement historique, et cette approche semble d’ailleurs être plus largement utilisée sous le nom de https://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_method
      Felix Klein disait aussi que, « à petite échelle, l’apprenant doit naturellement et nécessairement répéter le développement qu’a suivi la science à grande échelle »
    • Si cette approche vous plaît, je recommande vivement Mathematics: It's Content, Methods, and Meaning de Kolmogorov
      C’est un livre qui applique la même méthode à bien plus de concepts mathématiques, et il fait environ 1 000 pages
      Je crois l’avoir découvert ici moi aussi, donc je ne fais que transmettre à mon tour
      Cette approche rejoignait aussi la philosophie soviétique du matérialisme dialectique, selon laquelle tout naît de nécessités matérielles
      Je ne sais pas si j’adhère entièrement à cette philosophie dans son ensemble, mais le livre de Kolmogorov m’a vraiment ouvert les yeux
    • Je pense que cette manière de faire devrait passer au premier plan
      Dans cet esprit, je propose la "magnitude notation"[0]. Le mot « logarithme » sonne comme quelque chose de mathématiques avancées et rebute les gens, alors qu’en réalité l’idée de base rend les maths plus simples et plus amusantes
      https://saul.pw/mag
    • J’ai souvent cette impression
      L’enseignement des maths semble avoir tendance à vouloir attirer des gens très brillants et très abstraits, comme Euler, c’est-à-dire des personnes qui comprendront par intuition plutôt qu’en suivant une procédure opératoire
      Pour les autres, il faut souvent passer un certain temps à nager dans le problème d’origine avant que la lumière se fasse
    • Au contraire, je préfère l’explication directe selon laquelle les logarithmes sont la fonction réciproque des exponentielles
      10^2 * 10^3 = 10^5 devient immédiatement compréhensible, ce qui est plus intuitif
      C’est pour cela que l’usage d’une table de logarithmes pour faire des additions a du sens. Il n’y avait pas besoin d’un long texte
      On prend les logarithmes, on additionne 2 + 3 = 5, puis on ré-exponentie pour obtenir 10^5

  • Le timing est parfait. J’ai justement appris à utiliser une règle à calcul hier
    En voulant en acheter une, je suis tombé dans un petit terrier de lapin[0] tant il y avait de choix, et certaines règles à calcul ressemblaient à de véritables œuvres d’art
    À une époque où toutes les interfaces sont devenues des plaques de verre, je redécouvre les avantages inattendus que peuvent offrir les outils analogiques
    Ces derniers temps, j’aime aussi utiliser un stylo et du papier comme un éditeur pour esquisser les premières versions de mes projets de code
    Je serais curieux de savoir si vous avez un outil analogique favori
    [0]:https://sliderulemuseum.com/

    • En suivant des cours de maths, je me demande parfois si je ne devrais pas acheter l’un de ces outils analogiques
      Quelqu’un sur Hacker News m’a donné envie de m’intéresser au soroban[1], le boulier japonais, qui sert encore aujourd’hui à entraîner une vitesse de calcul mental impressionnante[2]
      1. https://en.wikipedia.org/wiki/Soroban
      2. https://www.youtube.com/watch?v=s6OmqXCsYt8
    • J’ai plusieurs règles à calcul et je m’en sers tous les jours
      C’est sans doute le meilleur outil possible, surtout dans la cuisine, où il faut souvent ajuster des proportions
      Une fois réglée à l’échelle voulue, on peut lire en un clin d’œil n’importe quel rapport nécessaire
      Franchement, je suis surpris que ce ne soit pas un équipement standard dans les cuisines
    • Soroban. C’est un boulier japonais
      Chaque nombre n’a qu’une seule représentation, et on peut faire + - * / ainsi que d’autres calculs
      http://totton.idirect.com/
    • J’utilise un stylo/crayon et du papier pointé. Cela ouvre un espace mental complètement différent
    • Où peut-on trouver la règle à calcul d’un mètre que tient l’homme sur la photo de l’article ?

  • Je trouve intéressant que l’application d’une transformation logarithmique rende souvent les données proches d’une distribution normale
    Les lois de la nature sont généralement de forme multiplicative, avec des équations comme F=ma ou PV=nRT
    Si l’on multiplie des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, on obtient des données log-normales grâce au théorème central limite. Sur une échelle logarithmique, la multiplication devient une addition, et le théorème central limite reste assez robuste même quand les distributions ne sont pas identiques
    Si l’on considère les données comme le résultat de plusieurs facteurs d’influence qui se multiplient entre eux, on comprend pourquoi la loi log-normale apparaît

    • Le théorème central limite n’exige pas des variables indépendantes et identiquement distribuées
      Il suffit qu’elles soient indépendantes, qu’elles aient une variance, et qu’elles satisfassent à des conditions assez faibles sur des moments d’ordre légèrement supérieur
      À part cela, les variables peuvent être assez différentes les unes des autres
    • Avec un gros marqueur, toutes les données deviennent linéaires sur une échelle log-log

  • Il existe un fait sur les logarithmes dont je me suis souvent servi
    si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle entre 0 et 1, alors –ln(X)/λ suit une loi exponentielle de taux λ
    C’est utile, par exemple, pour faire de l’échantillonnage aléatoire pondéré ou générer des temps d’événement dans des simulations

    • Sa généralisation s’appelle l’échantillonnage par transformation inverse[0]
      On utilise le fait que, pour la fonction de répartition F d’une variable aléatoire arbitraire X, la variable aléatoire Y = F(X) suit une loi uniforme standard[1]
      Toute fonction de répartition est monotone croissante sur l’intervalle unité, donc on peut l’inverser[2]
      En appliquant donc la fonction de répartition inverse aux deux côtés de l’expression ci-dessus, on obtient F^-1(Y) = X, qui suit la même distribution que X
      Prendre un échantillon dans une loi uniforme standard puis appliquer la transformation inverse est la méthode la plus courante pour générer des nombres aléatoires selon une loi arbitraire
      0. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling
      1. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Probability_integral_transfo...
      2. Toutes les fonctions de répartition ne sont pas bijectives, donc une fonction inverse généralisée peut être nécessaire
    • Combien faut-il étudier les maths pour comprendre ça ?
    • Il y a aussi une manière de le comprendre sans utiliser ni fonction de répartition ni densité de probabilité
      Si X suit une loi exponentielle et que c est une constante, alors, conditionnellement au fait qu’elle prenne une grande valeur, X + c a la même distribution que X
      Autrement dit, les deux variables ont la même distribution de queue. Cette propriété est exacte pour la loi exponentielle, et on l’appelle souvent absence de mémoire
      De manière similaire, si U suit une loi uniforme sur [0, 1] et que c est une constante, alors, conditionnellement au fait qu’elle prenne une petite valeur, cU a la même distribution que U
      Si cU est distribué comme U près de 0, alors -ln(c U) est distribué comme -ln(U) près de l’infini
      Or -ln(c U) = -ln(c) - ln(U), donc la queue de -ln(U) ne change pas quand on lui ajoute une constante. Elle doit donc suivre une loi exponentielle

  • J’ai commencé à utiliser LMAX Disruptor dans quelques projets
    Une particularité de Disruptor est que la taille de la file doit toujours être une puissance de 2
    Je voulais qu’il y ait toujours au moins assez de place quelle que soit la taille demandée, et je n’avais pas envie de faire le calcul à la main, donc j’ai écrit ceci
    var actualSize = Double.valueOf(Math.pow(2, Math.ceil(Math.log(approxSize) / Math.log(2)))).intValue();
    C’est un peu excessif pour une seule ligne, mais ça n’utilise que les règles de base des logarithmes pour obtenir le bon exposant
    C’est le genre de chose qu’on apprend au lycée, mais certains collègues ont réagi comme si j’utilisais une mathématique mystérieuse sans précédent
    J’ai l’impression qu’on ne voit les logarithmes qu’en dehors de la notation grand O

    • Bien sûr, tel quel c’est déjà très utilisable, mais moi j’écrirais plutôt ça
      var actualSize = Integer.highestOneBit(approxSize - 1) << 1;
      Simplement pour éviter l’effroi caché derrière l’inoffensif pow() et log()
      Integer.highestOneBit est aussi appelé « isolement du bit le plus à gauche » ou « bit de poids fort », et pour être implémenté efficacement, ça devrait pratiquement être une opération primitive
      Ce n’est pas la même chose que le x&-x du bit de poids faible
      L’instruction CPU réelle se rapproche en général davantage de Integer.numberOfLeadingZeros, puis il suffit de faire un décalage de bits
    • Si l’on décale la taille d’un bit vers la droite jusqu’à ce que la valeur devienne 0, puis qu’on compte le nombre d’itérations, on obtient l’exposant de 2 correspondant à cette taille

  • Je recommande vivement de mémoriser quelques logarithmes pour le calcul mental
    Cela m’a donné des capacités inattendues
    Le billet que j’avais écrit au départ est ici : https://entropicthoughts.com/learning-some-logarithms

    • Ce blog est excellent
      Fait intéressant, la décroissance de la mémoire elle-même est fondamentalement logarithmique/exponentielle
      Apprendre les logarithmes par répétition espacée est assez méta
    • Je me demande quelles réflexions il a tirées après l’avoir réellement appliqué pendant un an depuis cet article
      Et au passage, c’est vraiment l’un de mes blogs préférés

  • La différentiation logarithmique est elle aussi un concept étonnamment fondamental
    (ln(f))' = f'/f
    En théorie des fonctions, on l’utilise tout le temps, mais les gens ne remarquent pas toujours que cela a un lien avec les logarithmes
    Les fonctions dont la différentiation logarithmique donne de belles formes sont aussi bien plus intéressantes qu’on ne l’imagine
    La nature est pleine de fonctions de Gompertz, et une fois qu’on s’y habitue, on en voit partout

  • Autrefois, savoir faire de base des approximations logarithmiques de tête avait une vraie valeur pratique
    Avant les calculatrices, on s’en servait pour faire rapidement des multiplications, des divisions ou des puissances
    Dans "Surely You're Joking", Feynman raconte que les scientifiques de Los Alamos faisaient la course à qui calculerait des logarithmes mentalement le plus vite

  • Le père des logarithmes, John Napier — c’est presque le N de ln — a fait tourner pendant une vingtaine d’années ce qui ressemblait à un atelier de calculateurs humains pour produire des tables de logarithmes
    C’était crucial pour la navigation astronomique
    Une importante récompense était offerte à quiconque trouverait un moyen de traverser la mer en sécurité, ce qui a aussi conduit à l’invention de la montre de poche

    • Le n de ln, ce n’est pas pour « natural », comme dans « logarithme naturel » ?

  • Dans un cours donné par Huffman, le Huffman célèbre pour la compression, j’ai appris comment multiplier avec des additions et des tables de consultation
    Les calculatrices étaient interdites à l’examen
    Mais mon astuce préférée reste le changement de base : https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:...
    Avec un peu d’entraînement, on peut faire de tête des changements de base approximatifs entre les puissances de 2, les puissances de 10 et e