La théorie du carré

• L’idée est que, dans les jeux de mots et les mots croisés, lorsque quatre sommets et quatre relations forment une structure quadrilatérale fermée, le résultat donne une impression de solidité et de satisfaction, comme une découverte fortuite
• Le point de départ vient des double doubles apparus dans #etuiposting sur Crosscord : une structure où deux paires de synonymes, comme PUB/BAR et QUIZ/EXAM, mènent à deux expressions différentes, PUB QUIZ et BAR EXAM
• Ce motif dépasse les combinaisons de synonymes et s’étend aux définitions de mots croisés avec point d’interrogation, aux titres d’articles scientifiques, aux noms de marques et aux blagues à jeux de mots ; plus les relations entre les quatre côtés sont fortes, plus l’ensemble est convaincant
• Contrairement au triangle, le carré possède des côtés opposés qui ne se touchent pas, ce qui rend le lien entre eux plus inattendu et élégant
• Les mots croisés partagent une structure quadrilatérale à tous les niveaux — définitions, thèmes et grille — et la structure récursive dans laquelle chaque lettre appartient à la fois à un mot horizontal et à un mot vertical crée un sentiment de satisfaction

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Les double doubles nés sur Crosscord

• L’histoire commence sur Crosscord, un serveur Discord de mots croisés réunissant plus de 5 000 personnes
• #etuiposting était un canal de discussion et de jeux de mots nommé d’après ETUI, un mot typique des mots croisés, et en janvier 2022 Alex Boisvert y a publié une petite observation
• Will Nediger a donné MULTITOOL et MULTIPLIERS comme exemples, puis Alex a enchaîné avec PUB QUIZ et BAR EXAM
  • PUB et BAR sont synonymes
  • QUIZ et EXAM sont aussi synonymes
  • Mais PUB QUIZ et BAR EXAM ne sont pas synonymes
• Ces « paires de paires » ont continué à être publiées pendant l’année suivante, avant d’être finalement regroupées dans un fil séparé, #double-doubles
• Trois ans après le premier prompt d’Alex, le fil est toujours actif et compte plus de 3 000 publications

La structure de base de la théorie du carré

• Les double doubles peuvent être vus comme un quadrilatère dont les quatre mots sont les sommets et les relations entre les mots les côtés
• Cette structure fermée fait que les exemples ressemblent moins à de simples jeux de mots qu’à des « découvertes »
• Depuis 2018, Ricki Heicklen compile une grande liste de ces double doubles sous le nom d’« Unparalleled Misalignments »
• Les relations qui forment le carré n’ont pas nécessairement besoin d’être des « synonymes » ou des « expressions »
  • Chaque côté peut être n’importe quelle relation reliant deux sommets
  • Plus la relation est forte, plus le carré l’est aussi
  • Les sommets eux-mêmes peuvent être non pas des mots, mais des entités ou des concepts
• Ce degré d’abstraction fait penser à la théorie des catégories en mathématiques : quels que soient les sommets et les côtés choisis, c’est la topologie du carré qui procure la satisfaction

Carrés dans les définitions à point d’interrogation, les noms et les blagues

• Les définitions à point d’interrogation des mots croisés ont souvent une structure quadrilatérale : elles oscillent entre le sens de surface et l’interprétation visée pour pointer vers la réponse
• Un exemple emblématique est « It turns into a different story », dans une grille de Martin Ashwood-Smith de 1995, que Will Shortz cite comme sa définition préférée
  • En surface, cela se lit comme « cela évolue vers une autre situation »
  • L’interprétation voulue est plutôt « cela tourne vers un autre étage »
  • La réponse est SPIRAL STAIRCASE
• Les titres d’articles scientifiques ou les noms d’entreprise marquent aussi davantage lorsqu’ils complètent un carré, plutôt que d’être simplement « plausibles »
• Brand New est un blog consacré aux rebrandings d’entreprise, et son nom lui-même est un exemple qui complète un carré
• Grubhub peut se lire comme une structure quadrilatérale entre le concept d’une application centrale pour la livraison de repas et son nom
• Les blagues à jeux de mots peuvent elles aussi être modélisées comme des carrés
  • Un côté est une prémisse forcée du type « Comment appelle-t-on X avec Y ? »
  • Le côté opposé est la chute
  • Plus la prémisse, la chute et le lien entre les deux sont forts, mieux la blague fonctionne

Pourquoi précisément le carré ?

• Une boucle fermée peut être séduisante quel que soit le nombre de côtés
  • Une histoire qui revient à son point de départ est aussi satisfaisante
  • Découvrir un triangle entre trois personnes qui se connaissent mutuellement est également intéressant
• Le carré est le polygone le plus simple à posséder des côtés qui ne sont pas adjacents
• Dans un triangle, chaque côté touche les deux autres, alors que dans un carré deux côtés opposés n’ont pas de point commun
• Le lien entre des côtés opposés paraît donc plus fortuit et plus surprenant
• Les pentagones et les polygones à plus de côtés ont aussi cette propriété, mais la complexité augmente avec le nombre de côtés, ce qui peut les rendre moins élégants
• L’exemple JET BLACK / JETBLUE d’Alex Boisvert peut sembler triangulaire, mais le jet de JET BLACK vient de la pierre précieuse jais, tandis qu’il n’a aucun lien étymologique avec le jet, l’avion, de JETBLUE ; il est donc plus approprié de le voir comme un carré

La solidité des thèmes de mots croisés

• Les mots croisés américains, en particulier les grilles dans le style du New York Times, ont généralement un thème composé de 4 à 6 longues entrées horizontales, souvent accompagné d’un révélateur
• Chez les concepteurs de mots croisés actuels, il est généralement admis qu’un simple regroupement comme « joueurs de basket célèbres » ou « marques de céréales » donne moins facilement aux solveurs un moment « aha » qu’un lien fondé sur un jeu de mots
• La cohérence et la « tightness » sont importantes dans un bon thème, mais les thèmes particulièrement marquants sont souvent ceux qui complètent un carré

• Grille du New York Times du 17 février 2025

  • La grille de mots croisés du New York Times du 17 février 2025, par Kate Hawkins et Erica Hsiung Wojcik, utilise SCRAPBOOK, POPEYES, UNDER PRESSURE et GIDDY UP comme entrées thématiques
  • Chaque entrée contient à la fin une expression affirmative : OK, YES, SURE, YUP
  • Le révélateur est YEAH RIGHT ; avec la définition « Uh-huh, I bet », il fonctionne aussi comme une explication littérale indiquant qu’un synonyme de YEAH se trouve à droite de chaque entrée thématique
  • Comme YEAH RIGHT n’est pas une simple explication mais une expression idiomatique, le thème complète un carré

• Grille du New York Times du 18 février 2019

  • La grille de mots croisés du New York Times du 18 février 2019, par Leslie Young et Andrea Carla Michaels, a pour entrées thématiques NIGHT NIGHT, WHITE WEDDING et MUSHROOM BALL
  • Le révélateur est CAP AND GOWN, qui désigne la tenue de cérémonie de remise de diplôme tout en décrivant la structure créée par chaque réponse composée
  • La première partie de chaque entrée thématique peut précéder CAP, et la seconde peut précéder GOWN
  • MUSHROOM CAP
  • BALL GOWN
  • Ce thème peut être modélisé comme trois carrés, un par entrée

• Grille du New York Times du 18 août 2021

  • La grille de mots croisés du New York Times du 18 août 2021, par Alina Abidi, utilise PIN THE TAIL ON THE DONKEY et WHITE ELEPHANT comme principales entrées thématiques
  • Le révélateur PARTY ANIMAL relie les deux entrées en indiquant qu’il s’agit de jeux de fête contenant des noms d’animaux
  • Le second révélateur, THOMAS NAST, renvoie aux caricatures politiques de Thomas Nast, où DONKEY et ELEPHANT sont respectivement les animaux symbolisant le Democratic Party et le Republican Party
  • Chaque entrée thématique devient une structure de carré avec une diagonale supplémentaire, la relation entre l’animal et le parti politique formant cette diagonale
  • Réduire une grille entière de mots croisés à un graphe a ses limites, mais la théorie du carré peut servir d’indicateur indirect utile pour évaluer la complexité et la solidité du thème dans de nombreuses grilles

La structure quadrilatérale des grilles de Scrabble et de mots croisés

• Au Scrabble ou à Bananagrams, un nouveau mot posé doit croiser un mot déjà présent sur le plateau
• Certains coups croisent non pas un seul mot, mais deux mots à la fois, formant un rectangle de mots ; ces placements donnent une satisfaction particulière
• Ici, la relation est « un mot qui contient les deux lettres », ce qui peut paraître assez faible
• Il est possible d’obtenir un réseau quadrilatéral dense où chaque lettre fait exactement partie de deux mots : c’est le cas des mots croisés américains
• Dans les mots croisés américains, chaque lettre doit appartenir simultanément à un mot horizontal et à un mot vertical ; chaque lettre devient donc un sommet de carré
• La sensation de « clic » que ressent un créateur de mots croisés lorsqu’il ajuste le dernier coin du remplissage de la grille ressemble à celle d’un carré qui se referme

La théorie du carré comme framework créatif

• Les définitions, les thèmes et les grilles de mots croisés partagent tous la même structure abstraite : le carré
• Si le carré est intrinsèquement satisfaisant, les mots croisés apparaissent comme une forme d’art à la structure récursivement quadrilatérale
• Les créateurs peuvent vérifier si un carré se complète lorsqu’ils conçoivent des titres d’articles, des noms de marques, des blagues, des thèmes de mots croisés ou des définitions à point d’interrogation
• Dans les récits, les actualités et les billets de blog, une structure qui revient à son point de départ ou une structure en « full square » peut aussi avoir une valeur fondamentale

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Avis sur Hacker News

• J’aime les jeux de mots pour passer le temps pendant les longs trajets en voiture.
  Celui que je préfère en particulier mélange rimes et théorie des carrés : une personne choisit deux mots qui riment parfaitement, puis définit pour chacun un mot-indice, généralement un synonyme. Elle donne ces deux indices, et les autres doivent retrouver la paire de mots rimés d’origine.
  Le plaisir vient du fait de remonter des indices vers les rimes d’origine, avec l’impression de résoudre un petit puzzle logique. Il est facile de créer de nouvelles énigmes, mais étonnamment difficile de les deviner ; cela dit, il y a une structure, donc on finit généralement par pouvoir les résoudre.
  On trouve une explication similaire sur https://bestlifeonline.com/jeopardy-rhyme-time-opera-version..., mais il est étonnamment difficile de trouver une explication d’une catégorie que beaucoup de gens connaissent déjà.

  • Dans ma famille, on joue à Match Three pendant les longs trajets. Une personne donne trois mots, et celui qui trouve un mot pouvant se placer avant ou après n’importe lequel des trois pour former une expression devient le prochain à proposer une énigme.
    Les homophones et les noms propres sont autorisés. Par exemple, pour (Fox, Lone, Crossed), la réponse est Star.
    Star Fox est un célèbre rail shooter sur SNES, Lone Starr est le seul homme assez courageux pour faire un bras d’honneur à Dark Helmet, et Star Crossed est une expression shakespearienne désignant deux personnes dont la relation est vouée à se terminer tragiquement.
  • Ça me fait penser à https://en.wikipedia.org/wiki/Rhyming_slang.
    L’argot rimé consiste à remplacer un mot courant par une expression de deux mots ou plus dont le dernier rime avec le mot d’origine, puis, presque toujours, à omettre le mot final qui rime, ne laissant qu’une allusion.
  • Il y a quelques années, on faisait quelque chose de similaire avec des amis dans une discussion de groupe. Pas de rimes : il s’agissait de reformuler des titres de jeux vidéo avec des synonymes approximatifs.
    Voici des exemples, avec les réponses écrites en rot13 : Strange, this reunion = Zntvp gur Tngurevat, Boat pork refuge = Nexunz Nflyhz, Donkeybutt taverns gospel = Nffnffvaf Perrq, Caring for the elderly = QBGN, Belongs to me create = Zvarpensg, Superclock = Birejngpu, Top Stories = Ncrk Yrtraqf, Skyline no morning = Ubevmba Mreb Qnja
  • Ce n’est pas un jeu de voyage, mais je recommande Codenames. Il a la marque certifiée d’un excellent jeu : il force à créer des associations intéressantes et finit par faire enrager son partenaire.
    https://boardgamegeek.com/boardgame/178900/codenames
  • Dans ma famille, on appelle ce jeu “pink mink”.

• La mention de la théorie des carrés appliquée aux blagues de papa me fait penser à la blague classique de l’épouvantail. On dirait un exemple de théorie des carrés en dimension supérieure.
  « Pourquoi l’épouvantail a-t-il reçu un prix ? » « Parce qu’il était exceptionnel dans son domaine. »
  Le travail d’un épouvantail consiste littéralement à se tenir dans un champ (out standing in his field), et l’expression indiquant qu’on excelle dans son travail peut aussi être outstanding in his field ; cela ressemble à une coïncidence linguistique étonnante.

  • Le classique « pourquoi le poulet a-t-il traversé la route ? » entre aussi dans ce genre, mais il semble que tout le monde ne sache pas que « pour aller de l’autre côté » signifie passer de la vie à la mort. Chaque fois que je l’explique, les gens sont surpris d’apprendre ce sens.
  • Il y a aussi : « Un ami a accidentellement bu une bouteille d’encre invisible, et il attend maintenant d’être vu à l’hôpital. »
    Waiting to be seen signifie, à l’hôpital, attendre d’être pris en charge, et dans le contexte de l’encre invisible, attendre de devenir visible ; c’est ce qui est drôle.
  • Sans rapport, mais cette vieille phrase me revient : Time flies like an arrow. Fruit flies like a banana.
  • Est-ce vraiment une coïncidence ? On a peut-être commencé par l’expression outstanding in his field, remarqué son ambiguïté, puis cherché s’il existait un métier consistant réellement à se tenir dans un champ. L’épouvantail n’est qu’une possibilité parmi d’autres.
  • Les deux sens me paraissent assez proches. Plutôt qu’une coïncidence, cela veut dire se distinguer dans un domaine.

• Leibnitz a dit un jour que « la musique est le plaisir que ressent l’esprit humain en comptant sans savoir qu’il compte ». Peut-être que résoudre des mots croisés, c’est le plaisir que ressent l’esprit en faisant de la théorie des groupes.

  • On trouve une idée similaire dans un chapitre de L’Homme qui prenait sa femme pour un chapeau, d’Oliver Sacks. Il y décrit le cas de jumeaux autistes qui ne savaient pas faire de calcul, mais jouaient à se dire mutuellement des nombres premiers de plus en plus grands, et s’en sert pour parler de la musique.
    En gros, la musique et l’harmonie relèvent d’une appréciation innée des relations numériques entre les sons, et énoncer des nombres premiers ressemblerait à apprécier l’absence de relations numériques entre les nombres. L’expérience de résonance entre des choses différentes — fréquences, nombres ou, dans le cas de cet article, mots — peut être très forte indépendamment de la capacité à manipuler réellement ces objets. C’est une lecture intéressante.
  • Ça me fait penser à l’article classique Explanation as Orgasm.
    https://link.springer.com/article/10.1023/A:1008290415597
  • Il y a une profonde satisfaction quand toutes les pièces s’emboîtent sous l’effet d’une règle cachée.

• Si l’explication qui voit les grilles de mots croisés comme de la théorie des carrés vous parle, je pense que mon jeu de mots https://spaceword.org pourrait aussi vous plaire.
  Le but est de placer 21 lettres dans un carré aussi compact que possible. Personne n’a encore créé de motif « parfait », mais on s’en approche pas mal, au point qu’il est fréquent de ne laisser que 3 cases vides.

  • Jeu amusant. En revanche, j’ai du mal à être d’accord avec l’idée que les gens sont très proches d’un motif parfait.
    Pour créer un motif parfait, il faut empiler trois mots de 7 lettres sur des lignes adjacentes, de sorte que chaque colonne forme un mot de 3 lettres. Par exemple, des arrangements comme operate / arrowed / resends existent, mais ils sont très rares.
    J’estime qu’environ 0,002 % seulement des combinaisons de trois mots de 7 lettres peuvent former un arrangement valide. Avec les fréquences de lettres standard ETAOIN, un groupe de 21 lettres ne contient généralement que très peu de combinaisons de trois mots de 7 lettres ; la probabilité qu’une grille donnée ait une solution parfaite est donc bien inférieure à 0,1 %.
    En revanche, il y a 12 000 fois plus de façons de réarranger 21 tuiles dans une grille 8x3, et le choix des mots est plus permissif. Dans une distribution ETAOIN, lorsqu’on tire 7 lettres, il est bien plus fréquent que leur ordre forme un mot de 3 lettres suivi d’un mot de 4 lettres qu’un seul mot de 7 lettres. Presque toutes les grilles auront au moins quelques solutions qui tiennent dans du 8x3.
    De plus, comme la grille ne fait que 10 cases de large, 3 cases vides est le mieux possible parmi les arrangements non parfaits. Une seule case vide n’est possible qu’avec un mot de 23 lettres, et deux cases vides exigeraient un mot de 11 lettres à côté d’un mot de 10 lettres, or un mot de 11 lettres ne tient pas dans une grille 10x10.
  • La première chose à laquelle j’ai pensé en voyant le jeu, c’était spaceword golf.
    Comme au golf, on commencerait par le plus petit carré possible, puis on augmenterait la taille à chaque étape. Plus le carré est parfait, plus le score est bas.
  • Existe-t-il une version de spaceword qui ne soit pas « daily » ? Si oui, j’aimerais l’essayer.
  • Spaceword gratte exactement la même démangeaison cérébrale que la théorie des carrés.

• Je n’aime pas quand les citations sont mises en image, parce qu’on ne peut pas les copier-coller.
  Par exemple Jet black/Jet Blue, catnap/dognap, etc.
  Mon exemple préféré est la façon dont les prépositions changent le sens idiomatique. down for et down with ont des sens proches, mais down on signifie l’inverse. Et going down to X a un sens très différent de going down on X. Ce dernier exemple est aussi intéressant à la HN, parce que la préposition impose une contrainte de type sur le binding de X, donc il fallait écrire X plutôt que something.

  • Dans ce cas, le texte est dans la balise ALT, donc si le navigateur l’expose, ça devrait aider.
  • C’est beaucoup moins vrai qu’avant. Je ne sais pas quel appareil vous utilisez, mais sur iPhone on peut copier naturellement le texte de cette image.
  • Down for lunch? Down with lunch! La nourriture du petit-déjeuner est meilleure.
  • down for something est aussi presque synonyme de up for something.

• Mon exemple préféré de vraie erreur de traduction commise par un ami non natif, c’est Hand job. Ce qu’il voulait dire, c’était manual labor.

  • Il y a aussi eu un cas célèbre du même genre avec une vtuber japonaise : https://www.youtube.com/watch?v=UeQ5K5DQiDI
  • En chinois, 手工 semble littéralement assez proche de « fait à la main ». Le deuxième caractère, 工, peut apparemment aussi signifier travail ou métier, mais l’idiome sexuel semble être différent là-bas.
  • J’ai déjà entendu un non-natif, en regardant un tir raté pendant un match de basket, dire : “Another rim job!”
  • Le film The Jerk utilise aussi une blague fondée sur le même malentendu volontaire.
  • J’ai aussi entendu des gens appeler une manucure un handjob pour plaisanter.

• Cette idée est astucieuse et j’ai envie d’y réfléchir davantage. D’une certaine manière, cela ressemble à l’idée qu’on pourrait faire entrer dans un carré une analogie standard de type SAT, par exemple Lumen : Brightness = Inches : Length, et que la plupart des indices de mots croisés peuvent être formulés comme d’étranges analogies de SAT. Peut-être que je pousse l’analogie trop loin.
  Cela dit, la « diagonale » que l’auteur propose comme lien entre Donkey, Elephant et Party ne me semble pas exacte. Le point essentiel est que Donkey et Elephant sont tous deux des Party Animal. On ne peut pas ignorer la partie Animal : c’est elle qui les décrit. Ce sont chacun des animaux représentant leur parti, autrement dit des party animal.
  Je ne sais pas quelle serait la bonne façon de représenter cela dans la théorie des carrés, mais il ne suffit pas de relier simplement Party à ces animaux.

• C’est assez réjouissant de voir le carré sémiotique d’Algirdas Greimas dérivé des premiers principes d’un jeu.
  https://en.m.wikipedia.org/wiki/Semiotic_square

• Bon article.
  Le carré Grubhub fonctionne aussi avec d’autres variantes. Grubclub, Bitesite ou Eatmeet sont possibles aussi, même si le dernier est un peu bof.

• Une bonne partie des « trouvailles intelligentes » de l’écriture pourrait sans doute s’adapter à des formes plus complexes. C’est particulièrement vrai dans les classiques que seuls les gens qui adorent vraiment les classiques littéraires risquent d’aimer.
  Par exemple, une histoire avec cinq protagonistes, tous reliés d’une certaine manière comme si l’on formait un pentagramme avec cinq punaises et un fil, mais aussi reliés d’une façon totalement différente et sans rapport, comme le pentagone qu’on formerait avec le même arrangement de punaises.