Tous les mathématiciens n'ont que quelques astuces (2020)
(mathoverflow.net)- Le principe selon lequel deux matrices commutables peuvent être diagonalisées simultanément est au centre de l’approche, qui explique sous un angle physique la façon d’interpréter plusieurs systèmes
- Dans les systèmes à symétrie de translation, on résout diverses équations physiques comme l’équation d’onde et l’équation thermique grâce à la transformée de Fourier
- Dans les structures à symétrie de translation discrète, la théorie de Bloch-Floquet explique la structure en bandes d’énergie et distingue les conducteurs des isolants
- Pour les systèmes à symétrie de rotation, le problème aux valeurs propres de l’atome d’hydrogène se résout par la diagonalisation de l’opérateur de rotation, et la représentation de SO(3) est reliée à la structure électronique du tableau périodique
- En physique des particules, la symétrie SU(3) structure la classification d’un monde de particules apparemment complexe, en révélant leur organisation systématique
Principes fondamentaux des opérateurs et de la diagonalisation
- Le concept central est la propriété mathématique : deux matrices qui commutent peuvent être diagonalisées simultanément
- Connaître les vecteurs propres d’un opérateur rend la diagonalisation d’un autre opérateur beaucoup plus simple
- En physique, on suppose généralement que la plupart des matrices sont diagonalisées
1) Systèmes invariants par translation
- Puisque les vecteurs propres de l’opérateur de translation sont de la forme ( e^{ikx} ), il est naturel d’utiliser la transformée de Fourier
- Cette méthode s’applique à la résolution d’équations d’onde, comme la lumière, le son, les électrons libres, et l’équation thermique dans un milieu homogène
2) Symétrie de translation discrète et théorie de Bloch-Floquet
- L’arrangement atomique d’un solide cristallin possède une symétrie de translation discrète
- En utilisant comme vecteurs propres de l’opérateur ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) la condition ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) )
- La théorie de Bloch-Floquet en découle, et le spectre se scinde en une structure de bandes
- Cette théorie est un modèle de référence de la physique de la matière condensée pour expliquer la distinction entre conducteurs et isolants
3) Symétrie de rotation et atome d’hydrogène
- Dans les systèmes à invariance de rotation, il faut d’abord diagonaliser l’opérateur de rotation
- Cela permet de déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l’atome d’hydrogène
- L’espace propre de l’atome d’hydrogène est stable sous les rotations et forme une représentation de dimension finie de SO(3)
- Les dimensions des représentations irréductibles de SO(3) sont 1, 3, 5, … ; en tenant compte du spin électronique, elles correspondent aux couches du tableau périodique (2, 6, 10, 14, …)
4) Symétrie SU(3) et physique des particules
- La physique des particules est complexe, mais repose sur la symétrie SU(3)
- En considérant les représentations de SU(3), divers types de particules sont classés de manière plus systématique et organisée
- Cela fait apparaître une “zoologie” des particules sous une forme ordonnée
Mention additionnelle
- Le texte original contient 39 commentaires supplémentaires en plus de ces quatre cas, mais aucun détail n’est fourni dans l’article
1 commentaires
Commentaire Hacker News
Mon père n’était pas mathématicien mais ingénieur, et il résolvait tous les problèmes non linéaires avec Newton-Raphson
L’un de mes premiers souvenirs de programmation, enfant, c’est de l’implémenter en BASIC sur un HP85a
Plus tard, je l’ai aussi implémenté en RPN sur une calculatrice HP, et j’ai débogué les atroces programmes BASIC de mon père
Mon père n’avait appris qu’une seule méthode de recherche de racines en analyse numérique et une méthode de calcul de dérivée seconde, et il s’en est servi toute sa vie comme ingénieur en procédés chimiques
À titre de référence, la documentation associée est visible ici
Et mon père vivait avec la conviction qu’« un programmeur FORTRAN déterminé peut écrire du FORTRAN dans n’importe quel langage »
La SVD est un outil vraiment puissant pour les calculs d’ingénierie quand on sait bien l’utiliser
Une fois, je lui ai expliqué la POO, et il a décrété que c’était « inutile » avant de ne plus jamais y revenir
Sur des exemples simples, il fonctionne parfaitement, mais sur des problèmes réels, il échoue souvent de façon catastrophique
Mais je crains celui qui a pratiqué un seul coup de pied 1000 fois »
C’est une métaphore parfaite pour mon père, qui a utilisé Newton-Raphson toute sa vie
C’est facile à implémenter, et l’explication sur Wikipédia est assez intéressante
Les ingénieurs aussi semblent avoir chacun leur thème de résolution de problèmes
Un collègue trouvait toujours le hack le plus simple, un autre aimait le code pour lui-même et cherchait l’expression la plus élégante
Un ancien physicien lisait toujours des mailing lists obscures pour construire une compréhension approfondie
Moi, j’ai tendance à creuser longtemps la structure d’un problème, mais au final les outils acquis dans ce processus m’ont été plus utiles que la solution elle-même
J’ai connu un ingénieur infra qui testait immédiatement tout ce qu’il voyait sur Reddit, et aujourd’hui il vaut probablement 50 millions de dollars
Un autre ingénieur intégrait chaque technologie en l’apprenant directement via des sessions de formation
Et un ingénieur célèbre écrivait les meilleurs commentaires du monde : il détaillait le problème, les compromis, les performances et les points inachevés comme dans un essai
Au fond, les meilleurs ingénieurs partageaient tous une même tendance : « essayer jusqu’à ce que ça marche »
C’est particulièrement utile quand le résultat est faux
Je pense que la fonction « Go To Definition » est l’outil le plus puissant
Ce que j’ai ressenti en cours d’informatique, c’est qu’en maths, la reconnaissance de motifs et les astuces comptent énormément
Sans ces astuces, on n’avance pas, et les cours les enseignaient rarement de façon explicite
Les professeurs supposaient que les étudiants les connaissaient déjà, ou pensaient que ceux qui ne les connaissaient pas étaient paresseux
Feynman disait dans son autobiographie qu’il avait réussi parce qu’il possédait des astuces mathématiques différentes de celles des autres
On peut voir une explication ici
Il remettait continuellement à jour sa propre compréhension
Ce n’était pas spectaculaire, mais il maîtrisait parfaitement ce domaine limité
À l’université, quand le professeur expliquait un problème et que je m’endormais, il m’appelait par mon nom
À moitié endormi, je répondais « théorème des restes chinois », et j’avais raison dans 90 % des cas
C’était un cours d’algèbre, et ça marchait si souvent que ça
Une fois, pendant un cours, le professeur n’a pas réussi à résoudre un problème
Il a fait une pause, est allé à son bureau chercher ses notes, et il n’y avait qu’une seule ligne écrite : « utiliser une astuce »
Quelqu’un a présenté Tricki.org, un wiki de techniques pour résoudre des problèmes de maths, et c’était assez intéressant
Le site n’est plus maintenu, mais il reste utile comme référence
Pour les programmeurs, raisonner en graphes est très utile
Certains disent aussi que SAT est une bonne astuce, mais je ne l’ai jamais utilisé moi-même
En mathématiques appliquées, il y a cette blague : « nous sommes comme Taco Bell. On mélange les mêmes six ingrédients pour créer des menus différents »
Moi aussi, j’ai quelques techniques que je réutilise sans cesse
Au fond, il n’y a que quelques idées qui font tourner le monde, et un professeur disait que la seule vraie innovation récente, sur ces dernières décennies, était le compressed sensing
La partie difficile d’un compilateur, c’est le parser
Il suffit de trouver un parser existant et de produire la sortie avec le template web de ce langage
Pour les requêtes de base de données, il vaut mieux les transformer en index inversé
Et surtout, il faut réfléchir soigneusement à la localité des données