L’histoire du papier A4

• Présentation d’une méthode de mesure non officielle pour estimer simplement la taille d’un objet à l’aide d’une feuille de papier A4
• Le papier A4 fait partie de la série normalisée ISO qui conserve un rapport largeur/hauteur de √2 et garde les mêmes proportions même lorsqu’on le coupe en deux
• En partant du format A0 et en divisant par moitié, on obtient A1, A2, A3, puis A4 (21,0 × 29,7 cm), selon une structure systématique dérivée mathématiquement d’une surface de 1 m²
• L’auteur utilise une feuille A4 pour calculer la taille d’un moniteur de 27 pouces, vérifiée ensuite à environ 27,2 pouces
• Exemple mêlant au quotidien raisonnement mathématique pratique et humour, sans recherche de précision absolue, qui montre la souplesse de la pensée technique

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Méthode de mesure non officielle avec du papier A4

• Explication d’une manière d’utiliser une feuille A4 comme outil de mesure provisoire lorsqu’on n’a pas de règle sous la main
  • Ce n’est ni rapide ni très précis, mais c’est simple et difficile à rater
  • Inadapté aux travaux de précision comme l’installation de placards de cuisine
• L’auteur ne transporte pas de règle, mais utilise une feuille A4 lorsqu’il doit mesurer une longueur en urgence
  • Le papier A4 se trouve facilement presque partout et s’avère utile dans les situations où une certaine marge d’erreur est acceptable

La structure mathématique du papier A4

• Le papier A4 repose sur une conception géométrique qui conserve le même rapport (√2) même lorsqu’on le coupe en deux
  • Si l’on note x le petit côté et y le grand côté, alors y/x = √2
  • Après découpe en deux, la nouvelle feuille conserve le même rapport
• Le format A0 a une surface de 1 m² et constitue la référence initiale satisfaisant ce rapport
  • Le calcul donne pour l’A0 les dimensions 0,841 m × 1,189 m
  • En le divisant ensuite par moitié, on obtient A1 (59,4 × 84,1 cm), A2 (42,0 × 59,4 cm), A3 (29,7 × 42,0 cm), puis A4 (21,0 × 29,7 cm)
• De façon générale, la taille d’une feuille Aₙ s’exprime comme 2^(-(2n+1)/4)m × 2^(-(2n−1)/4)m
  • En remplaçant n=4, on obtient les dimensions réelles du A4 : 0,210 m × 0,297 m

Mesurer un moniteur avec du papier A4

• Dans une situation où il faut estimer la taille d’un moniteur éteint, l’auteur utilise du papier A4
  • En largeur : deux feuilles A4 à l’horizontale (29,7 cm × 2) avec environ 1 cm de marge → environ 60 cm
  • En hauteur : une feuille A4 (21 cm) et une moitié de A5 (14,8 cm), avec un dépassement d’environ 2 cm → environ 34 cm
• Le calcul donne un rapport largeur/hauteur de 60/34 ≈ 1,76, proche du format 16:9
  • En appliquant le théorème de Pythagore, la diagonale vaut √(60²+34²) ≈ 68,9 cm
  • Converti avec 1 pouce = 2,54 cm, cela donne environ 27,2 pouces → ce qui correspond bien à un moniteur de 27 pouces
• Les personnes autour de lui sont restées silencieuses, mais l’auteur se dit satisfait de sa capacité à mesurer avec du A4

Le sens de cette mesure non officielle

• Même sans instrument de précision, il est possible de faire une estimation raisonnable avec un peu de culture mathématique et la mémoire des unités de référence
• Plus que la précision absolue, l’essentiel est une fiabilité suffisante pour prendre une décision
• Cela montre qu’une simple feuille de papier est le résultat de proportions exactes et d’une conception systématique
• Bien sûr, « maintenant, on peut aussi mesurer des longueurs avec une application smartphone »

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Avis Hacker News

• L’auteur présentait une astuce pratique fondée sur la relation entre surface et masse
  Une feuille A0 fait exactement 1㎡, donc le GSM (grammes par mètre carré) correspond directement au poids d’une feuille
  Par exemple, à 80gsm, une feuille A0 pèse 80g, et une A4, qui représente 1/16, pèse donc 5g
  Ainsi, si l’on met trois feuilles A4 (15g) dans une enveloppe (environ 5g), on peut calculer un total de 20g
  Cela évite même d’avoir à peser le courrier, et c’est le genre de situation où l’on voit l’élégance du système métrique

  • Le fait qu’une feuille de papier d’imprimante standard pèse 5g s’est déjà révélé assez utile dans des situations de transaction non officielle
  • Grâce à la répartition uniforme de la masse du papier, on peut aussi s’en servir pour calibrer une microbalance
    La vidéo d’Applied Science "Measure the mass of an eyelash with a DIY microbalance" montre également qu’1mm² de papier à 80gsm pèse environ 80 microgrammes
  • J’ai appris seulement aujourd’hui que GSM voulait simplement dire g/㎡. C’est tellement simple que c’en est drôle
  • Les longueurs des côtés de la série ISO A sont arrondies au millimètre, donc la surface réelle d’une feuille A0 est de 0.999949㎡. Un détail mineur, mais intéressant
  • Une blague m’est venue : comment la poste fait-elle du profit ? Le poids maximal d’une lettre est de 20g, mais la moyenne réelle est de 6g, et la différence fait le bénéfice

• Recommandation de la vidéo Metric Paper de CGP Grey
  Elle va plus loin sur le papier métrique, et si vous ne l’avez jamais vue, elle vaut vraiment le détour

  • Moi aussi, c’était ma préférée. On dirait un voyage visuel qui s’étend de la longueur de Planck jusqu’à l’échelle de l’univers
    Avant l’IA générative, je pensais que c’était « l’expérience la plus hallucinante possible sans substance »

• En tant qu’Européen vivant en Amérique du Nord, je me retrouve dans une sorte de confusion cognitive entre l’A4 et l’US Letter
  En Amérique du Nord, le Letter paraît trop trapu, et en Europe, l’A4 paraît trop élancé
  Il me faudrait maintenant un format quelque part entre les deux

  • Le B5 correspond à peu près à cette taille intermédiaire
  • À noter, √2 n’est pas le nombre d’or. C’est proche, mais différent

• En regardant ce matin un ajustement de chaussures de ski, j’ai découvert la webapp de Fischer Sports
  Elle mesure le pied avec l’appareil photo du smartphone, en utilisant une feuille A4 comme référence
  L’app se trouve dans la section « find your size » de cette page et repose sur la technologie de Volumental

• J’ai trouvé intéressant que le format A0 soit défini de façon unique à partir de contraintes abstraites
  En revanche, la partie « Measuring Stuff » semble revenir simplement à mémoriser les dimensions exactes de l’A4
  On n’a pas vraiment l’impression que l’idée de conservation des proportions y soit appliquée
  Il y a une faute de frappe dans les dimensions de l’A3

  • En réalité, on pourrait faire l’expérience de mesure avec n’importe quel rectangle standard
    Cela dit, c’est toujours un plaisir d’avoir une occasion de parler de papier métrique

• Le 25 octobre 1786, Lichtenberg a proposé à son ami Beckmann un format de papier au ratio 1:√2
  Il écrivait que « le petit côté doit être au grand côté comme le côté d’un carré est à sa diagonale », en ajoutant que cette forme était esthétique et pratique

• Il existe une meilleure astuce pour mesurer des objets sans règle
  On peut mémoriser la distance entre le petit doigt et le pouce quand on écarte la main, puis l’utiliser comme unité de longueur
  En déplaçant la main plusieurs fois, on peut mesurer avec une précision d’environ ±1 pouce

  • C’est pratique de retenir quelques longueurs de référence du corps : doigts, articulations, coude, épaule, etc.
    Par exemple, une phalange fait environ 1 pouce, et la largeur d’un ongle environ 1cm

• Moi, je mesure avec mes doigts
  En écartant légèrement l’index et le majeur, j’obtiens 10cm, et en écartant le pouce et le petit doigt, 22cm
  Avec ces deux repères, je peux mesurer la plupart des choses avec une précision suffisante

  • Mon partenaire (architecte) utilise comme repère la distance entre le bout des doigts et l’omoplate opposée quand le bras est tendu droit, car cela fait presque exactement 1m

• J’ai compris la beauté du système métrique en apprenant l’usinage des métaux
  Lorsqu’il fallait chercher les dimensions de forets pour taraudage, il existait une multitude de standards, mais un simple ISO Coarse suffisait
  Le système métrique est vraiment structuré et intuitif

  • Cela dit, l’écart entre les petites vis (M1 à M5) est assez grand, d’où l’existence de tailles intermédiaires comme M1.4, M1.6, M1.8, M2.5 et M3.5
    On pourrait souhaiter que les tailles de vis et de forets soient définies selon des rapports, comme les valeurs de résistance, mais cela aurait été peu pratique en usinage manuel

• Le ratio √2 semblerait aussi idéal pour le format d’écran des téléphones pliables
  Aujourd’hui, les téléphones une fois dépliés sont presque carrés, sans qu’on sache vraiment à quels usages cela convient

  • Exemple : Huawei Pura x