Terence Tao, à 8 ans (1984) [pdf]

• Article académique documentant en détail la précocité mathématique de Terence Tao, né en 1975, à partir de trois évaluations directes menées en 1983, et retraçant comment un enfant de 7 à 8 ans a acquis en autodidacte des mathématiques de niveau universitaire
• À 7 ans, il suivait des cours de mathématiques et de physique de 11e année et a obtenu 60/60 à l’ACER Operations Test, un résultat largement supérieur au score attendu de 53/60 pour un élève moyen de 12e année
• À 8 ans, il avait appris seul la définition des groupes (group) et des corps (field), les principes et règles du calcul différentiel et intégral, ainsi que l’intégration par fractions partielles, et s’est classé 19e sur environ 2 000 participants au concours national de mathématiques de 11e année d’Australie-Méridionale
• Il préférait une résolution de problèmes analytique et non visuelle et, bien qu’il ait aussi obtenu 27/30 à un test de visualisation spatiale (moyenne de 12e année : 24/30), il montrait quelques difficultés pour manipuler des images visuelles complexes
• Dans le cadre d’une éducation prudente et souple menée par ses parents, son entrée en mathématiques à la Flinders University à 9 ans, en 1985, était envisagée, avec une insistance sur l’importance d’un modèle éducatif équilibrant les besoins intellectuels, sociaux et affectifs des enfants surdoués

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Présentation et contexte

• Le 27 avril 1983, Terence Tao est présenté en une du quotidien d’Adelaide Advertiser sous le titre "TINY TERENCE, 7, IS HIGH SCHOOL WHIZ"
• Il passait 2/5 de son temps scolaire à Blackwood High School pour suivre des cours de mathématiques et de physique de 11e année, et le reste à Bellevue Heights Primary School
• À 2 ans, en regardant Sesame Street, il a appris seul à lire et à écrire ; ses enseignants estimaient que son niveau scolaire correspondait à celui d’un adolescent de 16 ans, mais sa maturité à celle d’un enfant de 7 ans
• Son professeur de mathématiques au lycée a indiqué que Terence s’adaptait très bien au cours et terminait ses exercices avec deux séances d’avance sur les autres élèves
• Ses loisirs incluaient l’informatique, les kits électroniques et la lecture de romans de SF (The Restaurant at the End of the Universe, etc.)
• Son père, le Dr Billy Tao, était pédiatre d’origine chinoise, et sa mère, Grace Tao, originaire de Hong Kong, était diplômée en physique et mathématiques ; tous deux avaient été formés à l’université de Hong Kong avant d’émigrer en Australie en 1972
• Terence a deux frères cadets, Trevor et Nigel

Première évaluation (16 juillet 1983)

• L’évaluation commence lors d’une visite à domicile, la veille de son 8e anniversaire
• À l’arrivée des évaluateurs, Terence lisait dans un coin de sa chambre un livre relié intitulé Calculus ; même pour un enfant de 7 ans, il était plutôt petit de taille
• Il obtient le score parfait de 60/60 aux 60 questions de l’ACER Operations Test
  • Selon les normes ACER, le score attendu pour un élève moyen de 12e année est de 53/60
  • Parmi les excellents élèves de primaire testés auparavant, aucun n’avait dépassé 57/60, et Terence était le plus jeune enfant à avoir passé ce test
• Quand on l’avertit avant le test que « les questions deviennent plus difficiles vers la fin », Terence répond : « Les problèmes ne s’en rendront pas compte si je ris, ils n’ont pas d’oreilles. »

Résolution orale des questions de Krutetskii

• Huit questions tirées de Krutetskii (1976) lui sont présentées par écrit, avec consigne de les résoudre de tête et d’expliquer oralement son raisonnement
• Question 1 (intersection de deux cercles) : il répond correctement en expliquant avec les mains que « s’ils ne se coupent pas, la distance entre les centres doit être au moins de 5 »
• Question 2 (angle parcouru par l’aiguille des heures en 20 minutes) : « 1/3 × 1/12 = 1/36, et 1/36 de 360° fait 10° »
• Question 3 (poids d’un bidon de kérosène) : il pose une équation algébrique et trouve un poids de kérosène de 7 kg et un bidon vide de 1 kg
• Question 4 (problème d’heure) : « 1 unité + 3 unités = 12 heures, donc 1 unité = 3 heures, donc 15 h »
• Question 5 (problème de dépassement) : il répond d’abord 35 minutes, puis se corrige lui-même et donne 15 minutes
• Question 6 (longueurs dans un triangle rectangle) : il remarque que « le troisième côté serait de 1 cm… mais selon le théorème de Pythagore, il devrait valoir √8, donc c’est impossible »
• Question 7 (nombre de triangles) : bonne réponse, 8
• Question 8 (répartition de cahiers) : il juge qu’« on ne peut pas résoudre » faute d’informations suffisantes et propose plusieurs combinaisons possibles
• Il termine oralement les 8 questions en 9 minutes au total, devenant le premier élève de primaire à toutes les résoudre correctement

Définitions algébriques et compréhension conceptuelle

• En examinant ses réponses à l’ACER Operations Test, on constate qu’il a l’habitude de noter les lois pertinentes, comme l’associativité, à chaque étape algébrique
• Il explique correctement les lois d’associativité et de commutativité pour l’addition des réels
• Il énonce correctement la définition d’un groupe (group) comme « un ensemble envoyé sur lui-même par une opération binaire, vérifiant l’associativité, possédant un élément neutre e et où chaque élément admet un inverse »
• Il répond immédiatement qu’un groupe abélien (Abelian group) satisfait la commutativité
• À la question de la définition d’un corps (field), il répond qu’il « ne sait pas » (avant de combler cette lacune seul avant la deuxième évaluation)
• Il explique correctement la distributivité, donne des exemples de la multiplication distributive sur l’addition, et répond que l’addition distributive sur la multiplication n’existe « que dans l’algèbre de Boole »
• Il est frappant de voir un enfant de 7 ans manier librement un langage et une notation mathématiques aussi élaborés

Résolution écrite de problèmes

• Il esquisse immédiatement le graphe de y = x² + x et calcule par dérivation le sommet (-1/2, -1/4) en une vingtaine de secondes
• Il termine l’esquisse du graphe de y = x³ − 2x² + x en environ une minute, alors qu’il n’avait pas encore appris le calcul différentiel et intégral à l’école
• Des questions supplémentaires confirment qu’il comprend les mathématiques scolaires traditionnelles jusqu’au niveau de 11e année, ainsi que les principes et règles de base de la dérivation
• Globalement, il manifeste une nette préférence pour une méthode analytique et non visuelle

Environnement familial et manière d’apprendre

• Sa mère, Grace Tao, a enseigné les sciences, la physique, la chimie et les mathématiques à Hong Kong et en Australie
• Elle joue un rôle de guide et de stimulation dans l’apprentissage mathématique de Terence sans lui enseigner directement, parce que Terence « n’aime pas qu’on lui dise quoi faire en mathématiques »
• Un soir de 1983, alors que Terence réfléchissait à un problème de fractions continues, Grace lui donne l’indice « essaie une équation quadratique » ; il reformule aussitôt en x² − x − 2 = 0 et en déduit x = 2 (sous la condition de positivité)
• Chaque jour après l’école, il passe 3 à 4 heures à lire seul des manuels de mathématiques
• Il apprend aussi seul le langage BASIC sur un ordinateur Commodore, à partir de livres, et écrit lui-même des programmes mathématiques comme Euclid's algorithm, Fibonacci ou Prime Numbers
• Son programme Fibonacci comprend un jeu pour deviner l’année de naissance de Fibonacci et une fonction d’affichage de la suite de Fibonacci, révélant une personnalité pleine d’humour et de créativité
• Ces programmes ont été écrits au début de 1982, alors qu’il avait 6 ans

Deuxième évaluation (20 août 1983)

• Cinq semaines plus tard, nouvelle visite ; Terence a désormais 8 ans
• Il s’est classé 19e sur environ 2 000 participants au concours national de mathématiques de 11e année d’Australie-Méridionale (qu’il avait passé à 7 ans)
  • Ce résultat est d’autant plus remarquable que la plupart des écoles n’y envoient que leurs meilleurs élèves en mathématiques

Preuve concernant les corps (field)

• Lorsqu’on lui demande si S = {a + b√2 : a, b ∈ R} forme un groupe pour l’addition, il le prouve immédiatement
• Puis, à la question de savoir si (S, +, ×) est un corps (field), après avoir dit cinq semaines plus tôt qu’il ne savait pas ce qu’était un corps, il montre qu’il a comblé seul cette lacune et énonce que :
  • (S, +) est un groupe abélien
  • l’associativité et la commutativité de la multiplication découlent des propriétés des réels
  • l’élément neutre pour la multiplication est 1 + 0√2
  • l’inverse multiplicatif s’obtient par rationalisation (hors 0)
  • la distributivité est vérifiée
• L’élégance et la concision de cette démonstration sont du niveau d’un étudiant en licence de mathématiques

Connaissances en intégration

• Il donne correctement les primitives de x², √x, sin x, sec²x, 1/(1+x²) et 1/√(1−x²)
• Pour la primitive de 1/x, il répond : « je n’en suis pas encore arrivé là dans ma lecture »
• Pour l’intégrale de 1/(1−x²), il utilise la substitution x = cos θ pour obtenir une forme en -cosec θ, mais ne connaît pas encore la décomposition en fractions partielles ; il dit qu’il l’apprendra seul dans les semaines suivantes
• Il résout immédiatement et correctement un problème d’aire sous la courbe du graphe de sin x, obtenant 2
• Il calcule correctement l’intégrale impropre correspondant à l’aire entre y = 1/x² et l’axe des x pour x ≥ 1, obtenant 1

Test de visualisation spatiale

• Au Monash Space Visualization Test, il obtient 27/30 (moyenne de 12e année : 24/30)
• Parmi ses trois erreurs, certaines semblent dues à des difficultés à manipuler des images visuelles complexes
• Lorsqu’on lui demande ensuite d’expliquer oralement sa méthode, il apparaît clairement qu’il préfère une approche analytique et non visuelle à une méthode par imagerie mentale
  • Exemple : au lieu d’imaginer le pliage d’une figure, il vérifie les formes via des lois de réflexion
• Selon Burden and Coulson (1981), les personnes préférant une méthode analytique ont tendance à obtenir de meilleurs résultats aux tests spatiaux
• Krutetskii (1976) soutient que la capacité de conception spatiale ou de visualisation des relations mathématiques abstraites n’est pas une composante indispensable du talent mathématique

Lectures et tâche ouverte

• Les évaluateurs vérifient une liste de 22 livres de mathématiques lus au cours des deux dernières années, parmi lesquels Flatland, International Mathematical Olympiads 1959-1977 et Calculus: Pure and Applied
• Il a tendance à lire les livres en entier plutôt que par extraits, et son père dit qu’il possède une mémoire remarquable de ce qu’il lit
• Il travaille ensuite pendant environ 20 minutes sur une tâche ouverte relative à une suite définie par la somme des carrés des chiffres
  • Il constate rapidement que 4, 5, 6, 8 et 9 engendrent des suites du même type que 2 et 3
  • Il conjecture qu’il n’existe sans doute pas d’autres types de suites, sans fournir de preuve
  • Il pose la question intéressante de savoir si des schémas similaires existent dans d’autres bases que la base 10
  • Il ne considère pas les entiers naturels à deux chiffres ou plus ; on pouvait espérer une analyse plus approfondie, mais le résultat reste limité

Problème de combinaisons de pièces

• Le Dr Max Stephens lui demande combien de sommes différentes on peut former avec les six pièces de monnaie australiennes
• Il répond d’abord 720, puis ajoute que « tout donnera la même valeur »
• Une fois la question reformulée, il répond immédiatement qu’avec 6 pièces il y a 2⁶ − 1 = 63 possibilités
• À la remarque selon laquelle certaines combinaisons pourraient donner le même total, il rétorque aussitôt que c’est impossible parce que « chaque pièce vaut plus que la somme de toutes les pièces plus petites qu’elle »

Problème d’addition cryptarithmique

• Il résout rapidement et correctement le problème A + MERRY + XMAS = TURKEY (K=3), en expliquant oralement son raisonnement
• Cela confirme une nouvelle fois sa stratégie analytique et logique fondée sur la mise en équations

Emploi du temps scolaire (3e trimestre 1983)

• Il partage son temps entre Bellevue Heights Primary School (5e année) et Blackwood High School
  • Lycée : culture générale de 8e année, physique de 11e année, mathématiques de 12e année
  • Primaire : orthographe, lecture, activité physique, sciences sociales, EPS, théâtre, arts plastiques, musique, poésie
• Comme il avait déjà appris tout le programme de mathématiques de 11e année, il est passé aux cours de mathématiques de 12e année à partir du 3e trimestre
• Sa mère Grace assurait elle-même les trajets entre les deux établissements

Rapports de psychologues

• À 4 ans et 7 mois (février 1980) : fonctionnement intellectuel au niveau de 8 à 10 ans, avec besoin d’une prise en charge soigneuse à l’école pour répondre à ses besoins intellectuels, sociaux et affectifs
• À 5 ans et 9 mois (mai 1981) : au test Raven's Controlled Projection Matrices, résultats dans le 95e percentile d’enfants de 11 ans
• À 6 ans et 4 mois (novembre 1981) : au test d’intelligence de Wechsler pour enfants, score maximal ou quasi maximal, sans écart entre intelligence verbale et performance (non verbale), âge mental global de 14 ans (niveau le plus élevé pour un enfant de 6 ans)

Troisième évaluation (17 septembre 1983)

• Visite avec le Dr Tom van Dulken, senior tutor à la faculté de mathématiques et sciences de la Flinders University, afin de discuter d’une possible entrée anticipée à l’université
• Il trouve correctement les primitives de x sin x et eˣ cos x
• Il résout l’intégrale de sin x/(sin x + cos x) par une méthode originale : décomposition en ½ − (cos x − sin x)/2(sin x + cos x), d’où ½x − ½ln|sin x + cos x| + C
• On constate qu’il sait désormais que ln|x| est une primitive de 1/x, point qu’il ignorait lors de l’évaluation précédente
• À la question de trouver le terme constant de (2x − 4/x)¹⁰, n’ayant pas encore suffisamment étudié le binôme, il tente de résoudre le problème en construisant lui-même le triangle de Pascal ; puis, quelques semaines plus tard, après apprentissage autonome, il calcule rapidement le terme constant de (2x − 5/x)¹⁰ avec la formule du binôme : 252 × (−10)⁵ = −25 200 000

Analyse de ses cahiers d’exercices à la maison

• L’examen de ses cahiers prêtés montre qu’il résout seul 3 à 5 pages d’exercices de mathématiques par jour
• Exemples de problèmes inclus :
  • Problème à conditions initiales pour l’équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre d²y/dx² − 6dy/dx + 5y = 0, résolu par équation caractéristique avec y = 4eˣ − e⁵ˣ
  • Intégration par substitution de Weierstrass (t = tan ½x)
  • Intégration par décomposition en fractions partielles : 3(x+1)/x²(x²+3), ce qui contraste avec son incapacité, lors de la deuxième évaluation, à traiter en fractions partielles 1/(1−x²) et prouve une vitesse d’apprentissage exceptionnelle

Projet de scolarité future

• En 1984, il ne suivra pas de cours de mathématiques à l’école et étudiera seul à la maison les structures algébriques, les probabilités et statistiques, l’informatique et l’analyse
• En 1984, tout son temps scolaire se déroulera à Blackwood High School : humanités de 8e année, géographie de 10e et 11e année, chimie de 11e année, physique de 12e année
• Si son intérêt pour les mathématiques se maintient et s’il est prêt sur les plans social et affectif, son entrée en mathématiques à la Flinders University en 1985 est prévue
• Le Dr van Dulken estime que, même en commençant l’université à 9 ans, il serait mathématiquement très en avance sur la plupart, voire tous, les étudiants de première année de sa cohorte

Programme sur les nombres parfaits — première publication

• Programme de recherche de nombres parfaits écrit en BASIC à partir d’un algorithme conçu par Terence lui-même
• Il exploite le résultat démontré dans les Éléments d’Euclide selon lequel 2^(p-1)(2^p − 1) est un nombre parfait lorsque 2^p − 1 est premier
• Le programme se compose de deux parties : un test de primalité et un calculateur de nombres parfaits
• Il calcule jusqu’à 10¹³ et affiche 6, 28, 496, 8128, 33 550 336, etc. ; pour les grands nombres, il ne fournit que des approximations à cause des limites de l’ordinateur
• Le programme a été accepté pour publication dans le journal de mathématiques pour élèves d’Australie-Méridionale Trigon 21(3), numéro de novembre 1983 ; il s’agit de la première publication académique de Terence
• Rédigé le 26 août 1983

Réflexions sur l’éducation, les ambitions et les caractéristiques d’apprentissage de Terence

• Son apprentissage des mathématiques n’a pas été systématiquement planifié à l’avance ; il passait d’un sujet à l’autre selon ses intérêts propres et les orientations extérieures
• Le guide constant le plus important était sa mère Grace, diplômée en mathématiques, qui observait l’ordre dans lequel se succédaient ses sujets d’étude
• Son père Billy Tao, malgré son activité prenante de pédiatre, consacrait beaucoup de temps à chercher les meilleurs conseils pour l’éducation de Terence
• Il n’existe pas de méthode unique optimale pour éduquer un enfant aux capacités aussi exceptionnelles ; l’approche de la famille Tao — chercher les meilleurs conseils, mais laisser finalement Terence poursuivre lui-même les sujets qui l’intéressaient et le stimulaient — s’est révélée efficace
• L’idée selon laquelle Terence devrait passer tout son temps scolaire uniquement avec des enfants de son âge est irréaliste
• En novembre 1983, il passe officieusement l’examen d’entrée universitaire de Mathématiques I du South Australian Public Examinations Board (épreuve de 12e année, 3 heures), qu’il termine en moins de 2 heures, avec un score officieux de 93 %, correspondant au meilleur niveau

Dix caractéristiques d’apprentissage révélées par les évaluations

1. Mémoire à long terme remarquable des définitions, démonstrations et idées mathématiques
2. Bonnes capacités spatiales, mais préférence nette pour une pensée verbo-logique plutôt que visuelle dans la résolution de problèmes
3. Capacité à comprendre des textes mathématiques utilisant une terminologie et une notation sophistiquées
4. Goût particulier pour l’analyse (calcul différentiel et intégral), les structures algébriques, la théorie des nombres et l’informatique
5. Compréhension rapide des concepts abstraits, avec capacité d’apprentissage sans support concret
6. Aptitude à élaborer des stratégies adaptées face à des problèmes nouveaux et difficiles, même s’il semble pour l’instant surtout apprécier son immersion dans le monde des mathématiques
7. Vitesse d’apprentissage étonnante : en 1983, il assimile l’essentiel des mathématiques de 11e et 12e année ainsi qu’une part importante du programme universitaire de première année
8. Lorsqu’il ne connaît pas un domaine qui l’intéresse, il cherche des livres et apprend seul, efficacement, sans enseignant
9. Une fois un problème résolu, il n’aime pas vraiment vérifier son résultat et tend à passer au problème suivant
10. Il se soucie assez peu de présenter ses solutions pour autrui, se contentant d’écrire juste assez pour montrer qu’il sait résoudre le problème

Perspectives d’avenir

• On espère qu’au cours des dix années suivantes, Terence s’intégrera pleinement à sa famille, à sa communauté locale et à la vie australienne
• Parallèlement, afin de développer au maximum son talent rare, il est envisagé qu’il puisse obtenir un doctorat à la Flinders University vers l’âge de 17 ans
• Le campus de la Flinders University est très proche du domicile familial, ce qui permettrait les trajets sans perturber fortement la vie de famille
• Après le doctorat, un postdoctorat pourrait être effectué dans des universités de tout premier plan aux États-Unis, en Europe ou en Australie
• Ce projet reste provisoire, et l’on reconnaît que Terence aura à l’avenir de plus en plus son mot à dire sur sa propre trajectoire
• Lors d’un test officieux SAT-M, il a obtenu 720 points à 8 ans et 6 mois