- Les données de 350 757 lancers de pièce soutiennent le modèle physique DHM selon lequel, même si une pièce lancée par un humain semble parfaitement 50:50, elle a une probabilité légèrement plus élevée de retomber sur la face initialement orientée vers le haut
- Le modèle de 2007 de Diaconis, Holmes et Montgomery estime qu’en raison d’une légère précession et oscillation produites par un lancer humain, la pièce garde plus longtemps en l’air sa face initiale orientée vers le haut
- Dans l’expérience, la probabilité d’atterrir sur la même face était de 0.508, et l’intervalle de confiance à 95 % [0.506, 0.509] ainsi qu’un facteur de Bayes de 2359 appuient fortement ce biais vers la même face
- Lorsque la face initiale est choisie aléatoirement, la probabilité d’obtenir pile est de Pr(heads)=0.500, ce qui montre qu’il faut distinguer le biais pile-face du biais vers la même face
- L’ampleur du biais variait selon les personnes et tendait à diminuer chez celles qui lançaient plus souvent, ce qui suggère que la manière de lancer et l’entraînement peuvent avoir un léger effet physique sur le résultat
Vérification du modèle DHM sur 350 757 lancers
- Le lancer de pièce est souvent utilisé en probabilités et en statistiques comme exemple classique d’événement aléatoire, mais physiquement il s’agit d’un processus déterministe régi par la mécanique newtonienne
- Le modèle standard du lancer de pièce considère que le caractère aléatoire du résultat provient de petites variations des conditions initiales telles que la position de départ, la composition de la pièce, la force exercée vers le haut ou le moment angulaire
- Dans ce modèle standard, une pièce équilibrée a 50 % de chances de retomber sur pile, ce qui signifie l’absence de biais pile-face
- Le modèle DHM y ajoute une légère précession ou oscillation produite par un lancer humain
- Si la direction de l’axe de rotation change pendant la trajectoire, la pièce garde plus longtemps en l’air la face qui était initialement orientée vers le haut
- En conséquence, la probabilité qu’elle retombe sur la même face devient légèrement supérieure à 50 %
- Sur la base d’observations de lancers humains ordinaires, Diaconis et al. prédisaient une probabilité d’environ 51 % de retomber sur la même face
Biais vers la même face et biais pile-face
- Ces données regroupent au total 350 757 lancers de pièce, soit une échelle bien supérieure aux grands relevés antérieurs
- Les résultats de retombée sur la même face soutiennent fortement la prédiction précise du modèle DHM
-
Pr(same side)=0.508
- L’intervalle de confiance à 95 % est [0.506, 0.509]
- Le facteur de Bayes pour le biais vers la même face est de 2359
- La tendance de la pièce à retomber sur la face initialement orientée vers le haut est faible mais systématiquement supérieure à 50 %
-
Pr(heads)=0.500
- L’intervalle de confiance à 95 % est [0.498, 0.502]
- Le facteur de Bayes pour le biais pile-face est de 0.182
- L’absence de biais pile-face ne variait pas selon le type de pièce
- Le biais vers la même face n’était pas identique chez tous les participants, avec de fortes différences individuelles
- Chez une même personne, plus le nombre de lancers augmentait, plus le biais vers la même face diminuait
- Cela concorde avec l’hypothèse selon laquelle l’entraînement est associé à des lancers moins oscillants
-
La mesure absente des expériences précédentes
- Il y a déjà eu par le passé des expériences de lancer de pièce à grande échelle, mais la plupart ne notaient pas si la pièce retombait sur la même face que celle du départ, ce qui les rendait peu adaptées à la vérification du modèle DHM
- Parmi les cas historiques, le comte de Buffon a effectué 2 048 lancers, Karl Pearson 24 000 et John Kerrich 10 000
- L’expérience de 40 000 lancers de Janet Larwood et Priscilla Ku faisait figure d’exception, car elle permettait de comparer la face initiale et le résultat
- Larwood commençait toujours sur pile, et sur 20 000 lancers, 10 231 se sont terminés de pile à pile
- Ku commençait toujours sur face, et sur 20 000 lancers, 10 014 se sont terminés de face à face
- En combinant les deux résultats, la preuve d’un biais dynamique était interprétée comme ambiguë
Conséquences pour la prise de décision
- Lorsqu’une pièce équilibrée est lancée par un humain, la probabilité d’obtenir pile ou face reste globalement de 50:50, mais la probabilité qu’elle finisse sur la face initialement orientée vers le haut est légèrement plus élevée
- Si l’on utilise un lancer de pièce pour des décisions à fort enjeu, il faut choisir aléatoirement la face initiale afin d’éviter tout biais pile-face
- Le biais vers la même face est plus marqué chez certaines personnes, ce qui suggère que la manière même de lancer par un humain peut avoir un léger effet physique sur le résultat
1 commentaires
Commentaires de Hacker News
Von Neumann a décrit une méthode élégante pour obtenir un résultat équitable à partir d’une pièce biaisée
On lance la pièce deux fois, et si les deux résultats sont identiques, on recommence
Si les deux résultats diffèrent, il suffit d’utiliser le premier résultat de la paire comme résultat final
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
La pièce était biaisée pour donner 20 % de pile et 80 % de face, mais avec la méthode de Von Neumann on obtient 50,035 % de pile et 49,965 % de face
D’après l’étude, on peut choisir le biais selon la face placée vers le haut au départ
Par exemple, si l’on veut obtenir face, on commencerait le premier lancer avec face vers le haut ; si le premier résultat est face, on commencerait le second avec pile vers le haut ; et si le premier résultat est pile, on commencerait avec pile vers le haut pour essayer d’obtenir de nouveau pile et invalider le résultat
En supposant que l’on puisse contrôler le biais à 75 % contre 25 %, la probabilité que le premier résultat soit face est de 75 %, puis la probabilité d’obtenir pile ensuite est aussi de 75 %, ce qui donne 56,25 % de chances d’obtenir le résultat voulu en deux lancers
Le pire cas est que le premier résultat soit pile, puis qu’on n’arrive pas à obtenir pile de nouveau, soit 25 % × 25 % = 6,25 % de chances de perdre au premier tour
Au final, on a 56,25 % de chances de gagner sur les deux premiers lancers, 6,25 % de perdre, 37,5 % de réessayer, et globalement cela devrait converger vers quelque chose comme 90 % contre 10 %
« La raison pour laquelle ce procédé produit un résultat équitable est que, si la pièce ne change pas de biais d’un lancer à l’autre et que les deux lancers sont indépendants, la probabilité d’obtenir pile puis face est égale à celle d’obtenir face puis pile »
Il faut donc toujours commencer avec la même face vers le haut
Cette méthode suppose que la personne qui lance ne peut pas introduire de biais
ET Jaynes a aussi écrit dans Probability Theory qu’il est facile d’apprendre à lancer une pièce équitable de manière à déterminer le résultat à l’avance, mais malgré quelques recherches je n’ai pas trouvé précisément à quoi il faisait référence
Il y a environ un an, nous avons commencé à chercher quelle était la probabilité qu’une pièce équilibrée, lancée puis rattrapée à la main, retombe sur la même face que celle qui était initialement au-dessus.
Grâce à des amis, des collaborateurs et des inconnus sur Internet, nous avons réuni au total 350 757 lancers de pièce, et organisé plusieurs « Coin Tossing Marathon » : https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
Au final, nous avons trouvé des preuves solides du biais « même face » prédit par Diaconis, Holmes et Montgomery en 2007.
Si l’on commence avec pile vers le haut, on a davantage de chances de finir sur pile, et il en va de même pour face.
Dans l’échantillon, l’estimation moyenne était de 50,8 %, avec un intervalle de confiance de [50,6 %, 50,9 %].
Il y avait aussi des différences assez marquées dans le biais « même face » entre les 48 lanceurs, avec un écart-type de 1,6 % et un intervalle de confiance de [1,2 %, 2,0 %].
Cette différence peut s’expliquer par le degré de wobble propre à chaque lanceur.
Si vous pariez 1 dollar sur le résultat de 1 000 lancers de pièce et que vous connaissez la position de départ, vous pouvez gagner en moyenne 19 dollars.
C’est plus que l’avantage de 5 dollars du casino au blackjack à 6 jeux contre un joueur optimal, et moins que les 27 dollars de la roulette à simple zéro.
Le manuscrit est sur arXiv : https://arxiv.org/abs/2310.04153
Les données publiques, le code et les enregistrements vidéo sont sur OSF : https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
En faisant le calcul, si l’on reste discret, à environ 20 lancers par jour, il faudrait 10 semaines hors week-ends pour gagner 19 dollars, et à ce moment-là les gens auraient certainement compris le truc.
Pour gagner de l’argent rapidement, il faudrait diffuser la stratégie auprès de plusieurs personnes, mais le secret serait alors éventé.
Même si vos complices sont parfaitement honnêtes, si beaucoup de gens utilisent ouvertement la même stratégie, il y a de fortes chances qu’elle soit repérée avant de rapporter un vrai bénéfice.
Cela reste une idée amusante à imaginer, et le résultat de l’article comme l’effort consacré à sa mise en œuvre sont impressionnants.
Ici, les lancers de pièce sont assez doux, et la pièce ne monte même pas à un pied dans les airs.
Quand on pense à un lancer de pièce ordinaire, on imagine plutôt quelque chose comme avant un match sportif : la pièce monte haut en tournant vite, tombe au sol, roule un peu, puis on regarde la face sur laquelle elle s’arrête.
Si l’expérience avait été menée ainsi, j’ai l’impression que le biais de 50,8 % en faveur de la même face aurait été bien plus proche de 50 %.
Quand on misait sur noir/rouge et que le 0 sortait, toutes les mises étaient simplement reportées au tour suivant.
Ma stratégie gagnante consistait à toujours miser sur la couleur opposée à celle de mon ami.
À la place, si l’on faisait tomber la pièce sur une surface dure pour qu’elle rebondisse, j’imagine que le biais disparaîtrait.
On peut considérer que cette expérience ne représente pas un lancer de pièce « ordinaire ».
En moyenne, chaque participant a lancé la pièce plus de 7 000 fois ; avec un tel volume, beaucoup ont probablement appris à lancer la pièce d’une manière plus confortable et plus régulière.
Si les variations du geste physique et de la force diminuent, la pièce peut avoir davantage de chances de retomber dans la même orientation.
Je ne pense pas que ce résultat se reproduirait tel quel chez des personnes qui lancent sans entraînement.
En revanche, je me suis clairement amélioré pour lancer la pièce et la rattraper à la main sans la faire tomber, ce qui demande déjà de l’entraînement en soi.
Je sais qu’il existe une technique pour ajouter du wobble au lancer, mais je ne l’ai pas apprise et je ne sais pas comment faire.
On peut raisonnablement dire que ce n’est pas une technique que l’on découvre intuitivement par hasard.
Si l’objectif est de voir s’il existe un biais sous-jacent, une personne qui lance 7 000 fois et 7 000 personnes qui lancent une fois, ce n’est pas du tout la même chose.
Je cherche encore une manière d’expliquer intuitivement le mécanisme qui crée ce biais, ou de façon compréhensible même pour un élève de primaire.
L’article original explique que, lorsqu’une personne lance normalement une pièce, elle lui imprime une petite quantité de précession (precession) ou d’oscillation, ce qui fait que l’orientation de l’axe de rotation de la pièce change pendant le vol.
Selon le modèle de Diaconis, à cause de la précession, la pièce reste plus longtemps en l’air avec sa face initiale orientée vers le haut, et elle a donc plus de chances d’atterrir sur la même face qu’au départ.
Un autre site d’expériences de pile ou face explique qu’une pièce lancée normalement ne tourne pas autour d’un axe horizontal comme on l’imagine, mais autour d’un axe incliné qui précesse dans l’espace en trois dimensions, ce qui laisse une certaine « mémoire » des conditions initiales.
L’article de Diaconis contient l’explication décisive, mais elle n’est pas intuitive.
La meilleure explication que je puisse donner est que, lorsqu’une personne lance la pièce, elle crée une certaine précession, et qu’en présence de précession, le vecteur de moment cinétique reste plus longtemps orienté du côté face lorsqu’on a commencé côté face, ce qui crée le biais.
Pour une explication destinée à des élèves de primaire, il serait sans doute utile de montrer, avec une animation de lancer de pièce, quelle région le vecteur de moment cinétique balaie pendant le vol, et le fait qu’il passe un peu plus de temps orienté vers face.
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
Les gens peuvent réellement s’entraîner à faire cela, et pour la personne qui se fait avoir, il est très difficile de voir que la pièce ne se retourne pas en l’air et ne fait qu’osciller.
Dans ce cas, il est évident que la face qui était initialement tournée vers le haut le sera encore quand on rattrape la pièce.
L’étape suivante — le fait que même quelqu’un qui essaie de lancer équitablement crée une certaine précession, et que celle-ci n’est pas séparée de la rotation — ne m’est pas du tout intuitive non plus.
J’ai toujours dit que le résultat d’un lancer de pièce dépend fortement de l’état initial.
Si l’on considère une suite comme face, pile, face, pile, alors si l’on commence par face, le nombre de piles ne peut pas dépasser le nombre de faces, tandis qu’il peut y avoir une face de plus.
Je ne l’ai pas testé moi-même, mais je suppose que moins il y a de rotations — autrement dit, plus la séquence face-pile est courte — plus la probabilité sera biaisée.
Ici, la séquence ne désigne pas le résultat du lancer, mais l’ordre des faces orientées vers le haut pendant la rotation.
[face, pile] correspond à un tour complet en commençant par face, et [pile, face, pile, face] à deux tours complets en commençant par pile et en finissant par face.
Le résultat du lancer est le dernier élément de cette séquence.
Si l’on lance une pièce qui commence sur face et qu’on la rattrape immédiatement en l’air, le résultat est évidemment face.
Mais si le temps auquel on arrête la pièce est un T relativement long, la probabilité peut être vue comme une sorte de somme.
Par exemple, si l’on discrétise le temps avec \Delta T = 10ms, les sommes des intervalles face et pile diffèrent, et quand T tend vers l’infini, P(H) et P(T) deviennent plus similaires.
En pratique, on n’attend pas un temps uniformément distribué, mais plutôt un temps proche d’une distribution gaussienne, si bien que chaque terme de la somme reçoit un poids différent.
La variance et le décalage de cette distribution peuvent déplacer la probabilité vers face ou vers pile, et cela dépend beaucoup des paramètres précis.
Par exemple, si l’on rattrape toujours la pièce après 35 ms, on peut toujours obtenir pile.
L’état de la pièce posée sur la main en attendant d’être lancée se trouve déjà au milieu de l’intervalle correspondant à la face actuellement orientée vers le haut.
En effet, la transition de face vers pile se produit lorsque la pièce est verticale.
Si ce n’est pas clair, imaginez qu’on saisisse une pièce sous différents angles et qu’on la « mette à plat ».
50 % des angles correspondent à l’une des faces, mais au moment où la pièce est lancée, elle a déjà parcouru la moitié de la plage d’angles représentant la face actuelle.
La bonne séquence n’est donc pas THTHTH, mais plutôt THHTTHHTTHH.
À intervalles égaux, les deux faces apparaissent le même nombre de fois, et à intervalles impairs, dans la moitié des cas il y a plus de piles, et dans l’autre moitié plus de faces.
Cela semble assez difficile à produire, donc si l’état initial est face, la séquence devrait plutôt être pile-face-pile-face.
La prochaine fois que quelque chose devra être décidé à pile ou face, je vais exiger un match au meilleur des 350 757 manches.
J’ai toujours rattrapé la pièce puis l’ai retournée sur le dos de ma main pour montrer le résultat.
Il y aurait donc probablement un biais vers la face opposée.
Comment faire pour introduire un biais dans un lancer de pièce ?
D’après l’article, il semble possible de faire monter jusqu’à 55 % la probabilité que la pièce atterrisse sur la même face que celle du départ, et le participant le plus extrême était à peu près à ce niveau.
Le biais venant de la précession, il faudrait sans doute faire en sorte de créer autant de précession que possible au moment du lancer.
Il peut être préférable de placer le doigt aussi loin que possible du centre de la pièce et d’appliquer autant de force que possible.
Enfin, au moment de révéler le résultat, il faut rattraper la pièce de façon que la face supérieure reste orientée vers le haut.
Imaginez une pièce tenue entre l’index et le pouce, face vers le haut, avec le majeur en dessous pour la soutenir : ce n’est pas très différent de la position de départ classique pour lancer une pièce.
Avec l’index, faites-la tourner dans son propre plan, de sorte que face reste orientée vers le haut tandis que seul le dessin de la tête tourne.
Ensuite, simultanément, lancez-la en donnant un coup de pouce près du bord inférieur de la pièce, ce qui permet de lui donner du spin.
Avec une quantité de spin adéquate, la pièce ne se retourne pas vraiment et ne fait qu’osciller ; elle atterrit donc sur face.
À grande vitesse, un observateur aura du mal à distinguer à l’œil nu un retournement d’une oscillation, et il y a de fortes chances qu’il ne comprenne pas ce que vous avez fait.
Dans ce cas, cette petite faute d’orthographe rend le sens de la phrase assez confus.
C’est intéressant, mais mon intuition allait à l’encontre du résultat.
Je pensais que, pour atterrir sur la face opposée, la pièce devait se retourner un nombre impair de fois, et que, pour retomber sur la même face, elle devait se retourner un nombre pair de fois.
Pour chaque nombre de retournements, il peut y avoir autant de nombres impairs que pairs, ou un nombre impair de plus ; je pensais donc que la probabilité d’un nombre impair de retournements était plus élevée.
Ici, davantage de facteurs entrent en jeu, et au final seule l’expérience permet de valider le modèle.
J’aimerais voir comment TianqiP lance la pièce.
Cet utilisateur a une proportion de face 0,601 [0,582, 0,619], ce qui est assez élevé.
Utilisée stratégiquement, c’est une compétence qui pourrait rapporter quelques dollars.