- 6174 est le nombre naturel situé entre 6173 et 6175, et il est classé en mathématiques comme la constante de Kaprekar
- Sa décomposition en facteurs premiers est 2 × 3² × 7³, et c’est un nombre 7-lisse dont tous les facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à 7
- 6174 peut s’écrire 18³ + 18² + 18¹, et la somme de ses chiffres vaut également 18
- Si l’on met au carré ses facteurs premiers en comptant les répétitions puis qu’on les additionne, on obtient 169 = 13², donc à nouveau un carré parfait
- Des exemples de calcul de la constante de Kaprekar sont disponibles via une vidéo Numberphile et des exemples de code en Perl, Python et C
Définition de base de 6174
- 6174 est le nombre naturel qui vient après 6173 et avant 6175
- Son écriture en toutes lettres est « six mille cent soixante-quatorze », et sa forme ordinale est 6174th
- Sa décomposition en facteurs premiers est 2 × 3² × 7³
- Ses diviseurs sont 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174
Représentations dans différents systèmes de numération
- Binaire : 1100000011110₂
- Ternaire : 22110200₃
- Sénarie : 44330₆
- Octal : 14036₈
- Duodécimal : 36A6₁₂
- Hexadécimal : 181E₁₆
- Son écriture en chiffres grecs est ,ϚΡΟΔ´, et son écriture en chiffres romains est V MCLXXIV ou VI CLXXIV
Propriétés mathématiques
- 6174 est la constante de Kaprekar
- C’est un nombre 7-lisse, avec aucun facteur premier supérieur à 7
- On peut obtenir 6174 comme somme des trois premières puissances de 18
- 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
- 6 + 1 + 7 + 4 = 18, donc la somme de ses chiffres vaut aussi 18
- La somme des carrés de ses facteurs premiers est un carré parfait
- 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²
Ressources externes associées
- 6174 is Kaprekar's Constant : vidéo Numberphile
- Sample (Perl) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant : exemple de code Perl
- Sample (Python) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant : exemple de code Python
- Sample (C) code to walk the first 10000 numbers and their steps to Kaprekar’s Constant : exemple de code C portant sur les 10 000 premiers nombres et leur nombre d’étapes jusqu’à la constante de Kaprekar
1 commentaires
Commentaires Hacker News
Cela semble clairement lié à une astuce comptable manuelle standard utilisée pour trouver des erreurs dans les livres de comptabilité en partie double. On commence par vérifier si le montant de l’erreur est divisible par 9 ; si c’est le cas, on suppose qu’au moins deux chiffres ont été intervertis quelque part
On peut le démontrer ainsi : pour deux chiffres x et y, la valeur correcte est 10x + y, et la valeur intervertie est x + 10y. La différence est (10x - x) + (y - 10y), ce qui se réduit à 9x - 9y, puis se factorise finalement en 9(x - y)
Dans l’expression a - rev_a = b, la somme des chiffres des deux côtés se rapproche à mesure que l’on itère. Parfois elle reste à la même distance, mais elle ne s’éloigne jamais davantage. Et cette convergence ne se produit qu’en 18
Par exemple :
5200 (somme 7) - 0025 = 5175 (somme 18, écart 11)
7551 (somme 18) - 1557 = 5994 (somme 27, écart 9)
9954 (somme 27) - 4599 = 5355 (somme 18, écart 9)
5553 (somme 18) - 3555 = 1998 (somme 27, écart 9)
9981 (somme 27) - 1899 = 8082 (somme 18, écart 9)
8820 (somme 18) - 0288 = 8532 (somme 18, écart 0)
8532 (somme 18) - 2358 = 6174 (somme 18, écart 0)
7641 (somme 18) - 1467 = 6174 (somme 18, écart 0)
Cela semble être le premier indice. Le seul moment où les chiffres des deux côtés peuvent devenir égaux, c’est quand les deux valent 18 ; leurs sommes se rapprochent progressivement jusqu’à devoir finir par coïncider, et ce point doit être 18. En creusant, cela ressemble à une variante de la règle classique de la somme des chiffres modulo 9
Ensuite, une fois que la somme des chiffres des deux côtés vaut 18, cela semble forcément converger vers 6174 à partir de là
Autrement dit, la somme des chiffres converge d’abord toujours vers une égalité des deux côtés, et cette convergence se produit toujours quand la somme des chiffres de part et d’autre de l’expression vaut 18. Cette propriété semble démontrable par la règle classique du mod 9, mais il faudrait un peu de travail
Après cela, une deuxième propriété entre en jeu : tous les nombres à quatre chiffres pour lesquels la somme des chiffres des deux côtés de cette expression vaut 18 convergent vers 6174. C’est un ensemble de nombres beaucoup plus restreint. Puisqu’on peut examiner séparément la convergence vers 18 ci-dessus, il suffit de ne considérer que les nombres de la forme a - a_rev = b pour lesquels la somme des chiffres de a et de b vaut 18
Je n’ai absolument aucune idée de pourquoi c’est important, mais c’est la chose la plus cool que j’aie vue récemment sur HN
Je suis loin d’être un passionné de maths et je les ai évitées autant que possible à l’école, mais ce genre de chose est vraiment fascinant et étrange. Comment, et pour quelle raison, quelqu’un a-t-il découvert ça ? Les propriétés de ce nombre sont déjà assez intéressantes, mais le processus de découverte lui-même est vraiment singulier
Au bout du compte, ce processus mène à un palindrome qui reste identique quand on inverse ses chiffres. Mais certains nombres, comme 196, semblent ne jamais produire de palindrome. Personne ne sait si c’est vraiment le cas, ou si le palindrome est simplement si grand qu’aucun ordinateur ne l’a encore trouvé
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Un autre nombre intéressant à quatre chiffres lié à un mathématicien indien est 1729 : https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)
Étonnant. Y a-t-il une intuition informelle sur la raison pour laquelle il existe ne serait-ce qu’une seule constante à quatre chiffres avec cette propriété ? Intuitivement, j’aurais pensé que ce graphe aurait plusieurs cycles
Je viens de vérifier : si on applique ce processus à tous les nombres à quatre chiffres, il n’y a que 55 résultats distincts, ou 54 si l’on exclut 0000. Cela laisse moins de place à l’apparition de nombreux cycles
À vue de nez, il y a quelques motifs. Par exemple, dans une base où il existe un nombre de Kaprekar à deux chiffres, on obtient des cas où la somme des chiffres vaut base-1. Il doit y avoir une explication de théorie des nombres derrière cela
https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
Cela me rappelle un dispositif cylindrique que j’ai vu à l’Exploratorium de San Francisco il y a plus de 10 ans. Il me semble qu’il avait déjà été présenté auparavant dans les rubriques Mathematical Recreations ou Computer Recreations de Scientific American
Je crois qu’il y avait des chiffres sur un grand cylindre horizontal, et peut-être un anneau ou une sorte de curseur. En le faisant tourner, une opération mathématique s’exécutait, et comme avec ce 6174, cela semblait converger vers un seul nombre après quelques répétitions, quel que soit l’état initial
J’aimerais bien me souvenir de ce que c’était
J’ai essayé de retrouver l’article original de Kaprekar, mais sans succès. Quelqu’un a le PDF ?
Parenthèse, je me demande combien de recherches ont disparu dans l’oubli simplement parce qu’elles étaient jugées moins intéressantes que celle-ci
6174 n’est spécial que lorsqu’on compte en base 10. Ici, c’est HackerNews, donc vous utilisez tous l’hexadécimal. Malheureusement, d’après https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php, il n’existe pas de constante de Kaprekar simple en base 16
Sur 5 chiffres, c’est 98532. Amusant
74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
53955 -> 59994 -> repeat
https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php
L’article dit que cela fonctionne pour tous les nombres, avec les repdigits comme seule exception, mais est-ce que cela n’échoue pas aussi pour tous les palindromes ?