Introduction animée aux séries de Fourier

Du cercle aux épicycles (1re partie) - Introduction animée aux séries de Fourier

Table des matières

• Cercle
• Le nombre π
• Radians
• Sinus et cosinus
• Le cosinus mène le sinus
• Symétrie du cosinus et du sinus
• Nombres complexes et cercle unité
• Multiplier par i correspond à une rotation de π/2
• Identité d’Euler
• La formule d’Euler, le lien entre e, π et i
• Forme exponentielle du sinus et du cosinus
• Onde sinusoïdale
• La flexibilité des ondes sinusoïdales
• Onde sinusoïdale complexe
• Annulation des ondes sinusoïdales
• La somme des ondes sinusoïdales crée de la complexité
• Additionner des ondes sinusoïdales pour le plaisir
• Tetris d’ondes sinusoïdales
• Ondes sinusoïdales et onde carrée
• Épicycles - première rencontre
• Épicycles - compréhension intuitive
• Épicycles - fleur
• Série de Fourier
• Forme exponentielle de la série de Fourier
• Exemple : série de Fourier d’une fonction porte
• Exemple : série de Fourier d’une onde triangulaire
• Exemple : série de Fourier d’une onde en dent de scie
• Machine à séries de Fourier

Cercle

• Un cercle est une figure géométrique définie par un centre P(a, b) et un rayon r.
• Le cercle unité est un cercle de centre (0, 0) et de rayon 1.
• Le cercle est l’expression ultime de la symétrie.

Le nombre π

• π est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.
• π vaut environ 3,14 et sert à calculer la circonférence et l’aire.
• π est un nombre irrationnel et transcendant.

Radians

• Le radian est une unité concrète de mesure des angles.
• Pour convertir un angle en radians, on le multiplie par π puis on le divise par 180.

Sinus et cosinus

• Le sinus et le cosinus sont définis sur le cercle unité.
• Le sinus représente la coordonnée y, le cosinus la coordonnée x.
• Ce sont deux fonctions périodiques de période 2π.

Le cosinus mène le sinus

• Le cosinus est en avance de π/2 sur le sinus.
• sin(x + π/2) = cos(x)

Symétrie du cosinus et du sinus

• Le cosinus est une fonction paire, donc cos(x) = cos(-x).
• Le sinus est une fonction impaire, donc sin(-x) = -sin(x).

Nombres complexes et cercle unité

• Dans le plan complexe, les points du cercle sont définis par z = cos(θ) + i*sin(θ).

Multiplier par i correspond à une rotation de π/2

• Multiplier un nombre complexe par i le fait tourner de π/2 dans le sens antihoraire.

Identité d’Euler

• La fonction exponentielle naturelle s’écrit e^x, avec e ≈ 2,71828.
• Il existe un lien fort entre e et le cercle.
• e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

La formule d’Euler, le lien entre e, π et i

• Formule d’Euler : e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
• Lorsque x = π, e^(iπ) + 1 = 0

Forme exponentielle du sinus et du cosinus

• cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
• sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)

Onde sinusoïdale

• Une onde sinusoïdale est définie par A*sin(2πft + φ).
• A est l’amplitude, f la fréquence, ω la pulsation et φ le décalage de phase.

La flexibilité des ondes sinusoïdales

• Une onde sinusoïdale peut être ajustée avec différentes amplitudes, fréquences et phases.

Onde sinusoïdale complexe

• Une onde sinusoïdale complexe capture le comportement de deux ondes sinusoïdales (cosinus et sinus).
• La partie réelle se comporte comme un cosinus, la partie imaginaire comme un sinus.

Annulation des ondes sinusoïdales

• Deux ondes sinusoïdales de même amplitude mais de fréquences opposées s’annulent mutuellement.

La somme des ondes sinusoïdales crée de la complexité

• L’addition de deux ondes sinusoïdales génère des motifs complexes.

Additionner des ondes sinusoïdales pour le plaisir

• Additionner plusieurs ondes sinusoïdales produit des motifs encore plus complexes.

Tetris d’ondes sinusoïdales

• Il est possible de créer un jeu de Tetris à l’aide d’ondes sinusoïdales.

Ondes sinusoïdales et onde carrée

• En choisissant les bonnes ondes sinusoïdales, on peut générer des motifs prévisibles.
• En combinant plusieurs ondes sinusoïdales, on peut créer une onde carrée.

Épicycles - première rencontre

• Une onde sinusoïdale correspond à un cercle en rotation.
• En combinant plusieurs ondes sinusoïdales, on peut tracer des formes complexes.

Épicycles - compréhension intuitive

• Chaque épicycle correspond à une onde sinusoïdale particulière.
• La somme des ondes sinusoïdales se ramène à une addition de vecteurs.

Épicycles - fleur

• En choisissant les bonnes ondes sinusoïdales, on peut dessiner la forme souhaitée.

Série de Fourier

• Une série de Fourier est un procédé mathématique qui développe une fonction périodique en somme de fonctions trigonométriques.
• Elle exprime une fonction f(x) comme une somme de fonctions trigonométriques.

Forme exponentielle de la série de Fourier

• En utilisant la formule d’Euler, on peut exprimer une série de Fourier comme une somme d’ondes sinusoïdales complexes.

Exemple : série de Fourier d’une fonction porte

• Une onde carrée peut être approximée par une somme d’ondes sinusoïdales.
• y(x) = (4/π) * Σ (sin((2k-1)ωx) / (2k-1))

L’avis de GN⁺

• Les séries de Fourier sont très utiles pour analyser et synthétiser des signaux périodiques.
• Comprendre les concepts de base du sinus et du cosinus aide beaucoup pour le traitement de signaux complexes.
• Les nombres complexes et la formule d’Euler jouent un rôle important dans l’analyse des signaux.
• Les séries de Fourier sont utilisées dans de nombreux domaines d’application, comme le traitement audio ou la compression d’images.
• Cet article explique simplement les concepts de base des séries de Fourier, ce qui le rend utile pour les ingénieurs débutants.

[GN⁺]

Avis sur Hacker News

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• On peut aussi trouver une explication de la transformée de Fourier dans les cours de Feynman. Lien

• Pour comprendre la FFT, il a suivi le cours Introduction to Graduate Algorithms de Georgia Tech et tout implémenté en Python. C’était vraiment un excellent cours. Lien

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