Introduction animée aux séries de Fourier
(andreinc.net)- En partant de l’invariance par rotation du cercle et du cercle unité, l’article relie visuellement sinusoïdes, cosinus, nombres complexes, formule d’Euler, ondes sinusoïdales et épicycles jusqu’aux séries de Fourier
- La rotation sur le cercle unité permet d’interpréter $\sin$ comme la coordonnée y et $\cos$ comme la coordonnée x ; les deux fonctions ont une période de $2\pi$ et un déphasage de $\frac{\pi}{2}$
- Dans le plan complexe, $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ devient une rotation sur le cercle unité, et la sinusoïde complexe regroupe cosinus et sinus en un seul objet en rotation
- En additionnant plusieurs sinusoïdes, on obtient renforcement et annulation ; en combinant des fréquences impaires avec des amplitudes décroissantes, on peut approcher de plus en plus des formes discontinues comme l’onde carrée
- Les épicycles montrent chaque sinusoïde comme un cercle en rotation et une addition de vecteurs ; le rayon correspond à l’amplitude $A$, la vitesse de rotation à la pulsation $\omega$, et l’angle initial à la phase $\varphi$
Rotation à partir du cercle, de $\pi$ et des radians
- Un cercle est défini par un centre $P(a,b)$ et un rayon $r$, et s’écrit algébriquement $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- Si le centre est placé à l’origine et le rayon fixé à 1, on obtient le cercle unité, dont l’équation se simplifie en $x^2+y^2=1$
- Un point du cercle et son reflet opposé conservent leur relation sous rotation, et cette invariance par rotation sert d’intuition centrale dans les mathématiques de Fourier
- $\pi$ est le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle, avec la même valeur pour tous les cercles, $\pi \approx 3.14159...$
- circonférence : $P=2\pi r$
- aire : $A=\pi r^2$
- $\pi$ n’est pas un nombre rationnel, et c’est aussi un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients rationnels
- Le radian est l’unité standard de mesure des angles en mathématiques et en physique ; pour convertir des degrés en radians, on multiplie l’angle par $\pi$ puis on divise par 180
- Dans les mathématiques de Fourier, l’usage des radians permet de traiter les fonctions trigonométriques non comme de simples angles, mais comme des fonctions réelles, ce qui simplifie proprement le calcul différentiel des ondes et des oscillations
Interprétation de $\sin$ et $\cos$ sur le cercle unité
- On peut voir $\sin$ et $\cos$ comme des traceurs de coordonnées d’un point qui tourne sur le cercle unité
- $\theta$ est l’angle entre le rayon et l’axe x positif
- $\sin$ représente le déplacement vertical, c’est-à-dire la coordonnée y
- $\cos$ représente le déplacement horizontal, c’est-à-dire la coordonnée x
- Comme le point revient à sa position de départ, $\sin$ et $\cos$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi$
- $\cos$ a la même forme d’onde que $\sin$, mais décalée de $\frac{\pi}{2}$, soit $90^\circ$
- $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$
- techniquement, $\cos$ est en avance de $\frac{\pi}{2}$ sur $\sin$
- C’est ce déphasage qui place les deux fonctions en relation de quadrature
- En analyse de Fourier, utiliser ensemble les composantes sinus et cosinus permet de représenter n’importe quel signal périodique sans dépendre de sa position de départ, c’est-à-dire de sa phase
- Du point de vue de la parité, $\cos$ est une fonction paire et $\sin$ une fonction impaire
- $\cos(x)=\cos(-x)$
- $\sin(-x)=-\sin(x)$
Nombres complexes, $i$ et formule d’Euler
- Dans le plan complexe, tous les points du cercle unité correspondent à des nombres complexes de module 1
- Pour un angle réel $\theta$, $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ est un point du cercle unité et représente une rotation de $\theta$ depuis l’axe réel positif
- Multiplier un nombre complexe par $i$ revient à le faire tourner de $\frac{\pi}{2}$ dans le sens antihoraire, soit 90 degrés, dans le plan complexe
- le module $r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ reste inchangé
- seul l’argument augmente de $\frac{\pi}{2}$
- En multipliant plusieurs fois le même nombre complexe par $i$, on parcourt successivement les quadrants et, après quatre multiplications, on revient à la position initiale
- La constante naturelle $e \approx 2.71828$ est irrationnelle et transcendante, et peut être définie par des séries et des limites
- $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
- $e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$
- $e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}$
- La fonction exponentielle naturelle est une fonction propre de la dérivation : sa dérivée redonne la même fonction multipliée par une constante
- $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$
- Pour $f(x)=e^{ix}$, chaque dérivation multiplie par $i$, et après quatre dérivées on retrouve la fonction d’origine
- $\frac{d}{dx}f(x)=ie^{ix}$
- $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=-e^{ix}$
- $\frac{d^3}{dx^3}f(x)=-ie^{ix}$
- $\frac{d^4}{dx^4}f(x)=e^{ix}$
- Ce motif correspond à la rotation obtenue en multipliant répétitivement un nombre complexe par $i$, ce qui conduit à l’intuition que $e^{ix}$ trace un cercle dans le plan complexe
- La formule d’Euler est $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, et en posant $x=\pi$ on obtient $e^{i\pi}+1=0$
- Grâce à la formule d’Euler, on peut écrire sinus et cosinus sous forme exponentielle
- $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
- $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
- Le même paramètre $x$, $t$ ou $\theta$ peut, selon le contexte, représenter un angle ou le temps ; la forme mathématique reste identique
Ondes sinusoïdales et sinusoïdes complexes
- Une onde sinusoïdale est une oscillation régulière et répétitive, qui s’écrit comme fonction du temps $t$ sous la forme $y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi)=A\sin(\omega t+\varphi)$
- Chaque terme détermine la forme et le mouvement de l’onde
- $A$ est l’amplitude, c’est-à-dire l’écart maximal par rapport à la valeur centrale 0
- $f$ est la fréquence ordinaire, le nombre d’oscillations complètes par seconde, mesuré en Hz
- $\omega=2\pi f$ est la pulsation, mesurée en radians par seconde plutôt qu’en cycles par seconde
- $\varphi$ est le décalage de phase, ou déplacement de phase, qui translate la sinusoïde horizontalement
- $\sin$ et $\cos$ sont des cas particuliers d’ondes sinusoïdales, et l’onde cosinus équivaut à une onde sinus décalée vers la gauche de $\frac{\pi}{2}$ radian
- En ajustant $A$, $\omega$ et $\varphi$, on peut représenter des vibrations très diverses, du son d’une basse électrique au courant alternatif domestique
- Si l’on remplace dans la formule d’Euler l’angle statique $\theta$ par une quantité dépendant du temps, $\omega t+\varphi$, on obtient une sinusoïde complexe
- $s(t)=Ae^{i(\omega t+\varphi)}$
- $s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+iA\sin(\omega t+\varphi)$
- La sinusoïde complexe regroupe deux ondes en un seul objet mathématique
- sa partie réelle se comporte comme une onde cosinus
- sa partie imaginaire se comporte comme une onde sinus
- les deux composantes dépendent du même angle de rotation $\theta=\omega t+\varphi$ et restent donc synchronisées
- Projeter une sinusoïde complexe sur le plan Y-Z produit une onde sinus, tandis qu’une projection sur le plan X-Z produit une onde cosinus
- Les ombres d’un unique objet en rotation sur des plans orthogonaux donnent ainsi les sinusoïdes réelles familières
Somme de sinusoïdes et interférences
- En additionnant plusieurs sinusoïdes, les valeurs de la fonction s’additionnent en chaque point, et selon l’alignement des crêtes et des creux elles se renforcent ou s’annulent
- Lorsque les crêtes et les creux de deux sinusoïdes coïncident en opposition, leur somme peut se rapprocher de 0
- Ce phénomène peut se comprendre comme une interférence d’ondes
- Par exemple, si l’on additionne deux sinusoïdes $y_1(x)=\frac{9}{10}\sin(7x+\frac{\pi}{2})$ et $y_2(x)=\frac{12}{10}\sin(3x-2)$, on obtient $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$, qui forme un motif complexe
- Des ondes de fréquences différentes et de déphasages différents passent sans cesse par des phases de synchronisation et de désynchronisation, et plus on ajoute de sinusoïdes, plus le motif devient complexe
Construire une onde carrée avec des sinusoïdes
- En choisissant soigneusement certaines sinusoïdes, on peut produire des motifs géométriques prévisibles
- Une onde carrée se construit comme la somme infinie suivante
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sin(\omega x)+\frac{4}{3\pi}\sin(3\omega x)+...+\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin((2k-1)\omega x)+...$
- Cette expression n’additionne que des fréquences impaires, avec des amplitudes qui diminuent progressivement
- En additionnant des courbes continues et lisses, l’interférence des crêtes et des creux fait émerger une onde carrée à sommet plat
- Plus le nombre de sinusoïdes incluses dans la somme augmente, plus l’approximation devient nette
- Comme une sinusoïde individuelle correspond à un point tournant autour d’un cercle, le processus d’addition de sinusoïdes peut se voir comme une chaîne d’épicycles, c’est-à-dire de cercles en rotation
- Dans un système d’épicycles, le centre du deuxième cercle est placé sur le bord du premier, puis le centre du troisième sur le bord du deuxième, et ainsi de suite
- Chaque épicycle correspond à une sinusoïde donnée, et leur combinaison s’interprète comme une addition vectorielle séquentielle
- Trois sinusoïdes d’exemple se combinent ainsi
- $y_1(x)=1.4\sin(x+1)$
- $y_2(x)=0.8\sin(2x)$
- $y_3(x)=0.5\sin(3x)$
- $y(x)=1.4\sin(x+1)+0.8\sin(2x)+0.5\sin(3x)$
- À un instant donné, le vecteur position total s’écrit $\vec{u}=\vec{u_1}+\vec{u_2}+\vec{u_3}$
- En choisissant les bonnes sinusoïdes, ces cercles mobiles peuvent approcher des formes désirées, comme des fleurs, mais pour retrouver les sinusoïdes individuelles il faut recourir à l’analyse de Fourier
Forme de base des séries de Fourier
- Une série de Fourier est un procédé mathématique qui développe une fonction périodique de période $P$ en une somme infinie de fonctions trigonométriques oscillantes
- Dans la métaphore de la pochette de Dark Side of The Moon de Pink Floyd, la fonction périodique $f(x)$ est la lumière, les mathématiques de Fourier sont le prisme, et les couleurs séparées correspondent aux composantes sinusoïdales élémentaires
- La formule de base est la suivante
- $f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin(\frac{2\pi nx}{P})]$
- $A_0$, $A_n$ et $B_n$ sont les coefficients de Fourier, qui indiquent dans quelle mesure chaque fréquence est nécessaire pour reconstruire la forme d’onde d’origine
- Les coefficients se calculent par intégration
- $A_0=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)dx$
- $A_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- $B_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- Les formes sinus et cosinus sont visuellement intuitives, mais elles peuvent devenir lourdes dans les manipulations algébriques ; on peut donc les réécrire en forme exponentielle grâce à la formule d’Euler
- La série de Fourier sous forme exponentielle s’écrit
- $f(x)=\sum_{n=-N}^{N}C_ne^{i2\pi\frac{n}{P}x}$
- Dans cette forme exponentielle, l’indice $n$ s’étend aussi aux valeurs négatives, ce qui introduit la notion de fréquence négative pour représenter le sens de rotation des vecteurs complexes
- La formule unifiée des coefficients devient
- $C_n=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}e^{-i2\pi\frac{n}{P}x}f(x)dx$
Fonction boîte et calcul des coefficients de l’onde carrée
- L’approximation de l’onde carrée utilisée plus haut est la suivante
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi(2k-1)fx)}{2k-1}$
- en posant $\omega=2\pi f$, on obtient $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- La fonction onde carrée peut s’écrire sur l’intervalle $[0,2L]$ à l’aide de la Heaviside Step Function : $f(x)=2[H(\frac{x}{L})-H(\frac{x}{L}-1)]-1$
- $A_0$ est la moyenne de la fonction sur l’intervalle $[0,2L]$, et les aires positive et négative s’annulent, ce qui donne 0
- $A_n$ est le coefficient qui gouverne les termes en $\cos$ ; comme $f(x)$ est impaire et $\cos$ est paire, leur produit est une fonction impaire
- l’intégrale sur une période complète s’annule
- tous les coefficients $A_n$ valent donc 0
- $B_n$ est le coefficient qui gouverne les termes en $\sin$
- pour les $n$ pairs, les aires rouge et verte se compensent et l’intégrale vaut 0
- pour les termes impairs, les aires s’additionnent
- Le calcul donne $B_n=\frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)$
- Comme il ne reste que les termes impairs de $B_n$, l’onde carrée prend la forme suivante
- $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5...}^{+\infty}(\frac{1}{n}\sin(\frac{\pi nx}{L}))$
- en remplaçant $n\rightarrow2k-1$, on obtient $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(\frac{\pi(2k-1)x}{L})}{2k-1}$
- en substituant $L\rightarrow\frac{1}{2f}$ et $2\pi f\rightarrow\omega$, on obtient $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- En pratique, on ne peut pas sommer à l’infini, on utilise donc une somme partielle arrêtée à un entier fini $n$
- $s(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}\approx f(x)$
- Quand $n$ augmente, la précision de l’approximation s’améliore et l’écart résiduel diminue progressivement
- Les cinq premiers termes sont des sinusoïdes simples dont l’amplitude décroît rapidement tandis que la fréquence augmente
Exemples d’onde triangulaire et d’onde en dent de scie
- L’approximation en série de Fourier d’une onde triangulaire est la suivante
- $s(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}\sin((2k-1)x)$
- L’onde triangulaire est lisse et converge rapidement, et lorsque $n$ approche 6, sa forme triangulaire devient nettement visible
- Dans ce développement, les termes pairs comme $s_2(x)$, $s_4(x)$ et $s_6(x)$ sont négatifs
- Une amplitude négative n’est pas très intuitive physiquement, mais on peut la réécrire de deux façons
- en utilisant $\sin(-x)=-\sin(x)$ pour rendre la fréquence négative
- en gardant une amplitude positive et en ajoutant une phase de $\pi$
- En pratique, la seconde méthode est plus utile et offre un meilleur contrôle géométrique
- $-\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x)$ peut s’écrire $\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x+\pi)$
- Une onde en dent de scie inversée prend la forme suivante
- $s(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}$
Un dispositif qui représente les séries de Fourier comme des épicycles
- Au lieu d’une équation statique, si on les interprète comme un mouvement physique, les termes de Fourier se comportent comme plusieurs cercles en rotation reliés bout à bout le long d’une tige
- Dans le dispositif visuel, on peut choisir la forme du signal voulu : sawtooth wave, triangle wave ou square wave
- Chaque élément visuel correspond directement à une variable de la formule de Fourier
- le rayon de chaque cercle correspond à l’amplitude $A$
- la vitesse de rotation de chaque cercle correspond à la pulsation $\omega$
- l’angle initial de la tige dans le cercle à $t=0$ correspond au décalage de phase $\varphi$
- Même des formes d’onde complexes, pointues et abruptes peuvent être décomposées en combinaisons de cercles lisses en rotation
- L’animation montre progressivement les liens entre cercle, sinusoïdes, nombres complexes, épicycles et séries de Fourier
1 commentaires
Avis de Hacker News
La transformée de Fourier discrète n’est qu’une matrice orthogonale qui multiplie un vecteur, et l’inverse de la FFT, le théorème de Plancherel et le théorème de Parseval découlent tous naturellement du fait que cette matrice est orthonormée
C’est peut-être une approche qui ne fonctionne que si l’on comprend déjà l’algèbre linéaire, mais une fois le point de vue discret acquis, il a aussi été facile de passer à la transformée de Fourier continue
Personnellement, il m’a été bien plus facile de regarder directement les formules que de regarder des cercles et des animations
[1] https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY
[2] https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to...
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
Presque tout découle de là. Dans une notation, la transformée de Fourier consiste à multiplier f(x) par e^{-ikx} puis à intégrer ; l’intégrale est un gigantesque produit scalaire, et e^{-ikx} est comme la « transposée » du vecteur de base e^{ikx}, donc au fond on exprime f_i dans cette composante de base
La plupart des gens qui comprennent l’algèbre linéaire ont probablement appris les mathématiques avancées de la manière habituelle, c’est-à-dire via un manuel ou un cours universitaire, et dans ce contexte une explication comme « une matrice orthogonale qui multiplie un vecteur » est le point de départ de base, même si cela peut sembler manquer d’intuition ; les vidéos YouTube essaient plutôt de combler ce manque
Par exemple, la vidéo de 3b1b reprend même lentement pourquoi les nombres complexes sont utiles, ce qui montre bien que le public visé n’est pas le même
C’est pourquoi, pour les sujets mathématiques, je continue à refaire moi-même les démonstrations pour vérifier si je peux les retrouver seul
Ce serait bien si de belles visualisations faisaient entrer les concepts dans la tête comme par magie, mais pour moi cela ressemble plutôt à une sorte de dopamine intellectuelle
C’est le même genre que de parler de « monoïde dans la catégorie des endofoncteurs » en théorie des signaux et des systèmes
/dans le href, et le vrai lien est le suivanthttps://www.andreinc.net/2024/04/24/assets/js/2024-04-24-fro...
On dirait que l’animation utilise Processing
https://github.com/nomemory/andreinc-site/tree/main/assets/j...
J’étais en train d’apprendre p5.js en écrivant l’article, donc j’ai commencé d’une manière assez inefficace, et je n’en suis pas particulièrement fier
Quand j’aurai le temps, je corrigerai l’article pour y mettre le bon lien
J’avais aussi le projet de visualiser toute l’algèbre linéaire de base avec Processing pour m’aider à sortir d’une dépression atypique, mais pendant un moment je n’ai plus pu programmer sur ordinateur
D’autres explications essaient parfois de faire entrer les nombres complexes de force seulement à la fin
Si ce sujet vous intéresse, mes visualisations de la transformée de Fourier fractionnaire [1] et du plan complexe [2] valent peut-être aussi le détour
[1]: https://static.laszlokorte.de/frft-cube/
[2]: https://static.laszlokorte.de/complex-plane/
Si quelqu’un aime produire ce genre de supports explicatifs, j’aimerais bien qu’il traite aussi de la transformée de Laplace [1]
Autrefois je savais comment l’utiliser pour analyser des circuits électroniques, mais maintenant j’ai presque tout oublié, donc c’est un peu une demande de paresseux
1: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
Mais cet article va bien au-delà de cette page. Il sera très pratique à partager à l’avenir
Introduction to Graduate Algorithmsde Georgia Tech et réimplémenté tout le contenu du cours en PythonC’est vraiment un très bon cours :
https://edstem.org/us/courses/47529/lessons/80063/slides/440...
Je n’avais jamais entendu parler d’Ed ; ça m’intéresse, mais même la section « see how it works » n’explique pas vraiment comment cela fonctionne. C’est dommage, on dirait la tendance actuelle où il faut d’abord s’inscrire
Il existe aussi un site utile qui rassemble des vidéos et des livres sur les séries de Fourier et la transformée de Fourier :
https://howthefouriertransformworks.com/