Les fonctions sont des vecteurs.

• Les fonctions peuvent être considérées comme des vecteurs de dimension infinie, ce qui permet d’appliquer les outils de l’algèbre linéaire à divers problèmes.
• Pour comprendre ce concept, il faut des bases en algèbre linéaire, en calcul différentiel et intégral, et en équations différentielles.
• Les fonctions peuvent être représentées comme des vecteurs dans un espace vectoriel, avec des indices infiniment dénombrables ou non dénombrables.
• Les opérateurs linéaires peuvent être vus comme des matrices de dimension infinie qui transforment des fonctions.
• La dérivation est un exemple d’opérateur linéaire appliqué aux fonctions.
• La diagonalisation est une technique qui consiste à décomposer une matrice sous forme diagonale, et elle peut aussi s’appliquer aux opérateurs linéaires sur les fonctions.
• La transformée de Laplace est une méthode utilisée pour diagonaliser la dérivation dans l’espace des fonctions de R vers C.
• Un produit intérieur, comme le produit scalaire, sert à mesurer un vecteur par rapport à un autre.
• La longueur d’un vecteur est définie comme la racine carrée de son produit intérieur avec lui-même.
• Des vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit intérieur est nul.
• Un produit intérieur fonctionnel pour les fonctions réelles est introduit.
• L’opérateur de Laplace est un opérateur fondamental en mathématiques, qui peut être diagonalisé à l’aide de fonctions propres.
• Les fonctions propres du Laplacien sont des fonctions périodiques.
• L’opérateur de Laplace a des applications dans les séries de Fourier, la compression d’images et les harmoniques sphériques.
• Les harmoniques sphériques sont des fonctions propres orthonormées utilisées pour représenter des fonctions sur la sphère.
• Pour les maillages, l’opérateur de Laplace est une matrice de dimension finie utilisée pour trouver des fonctions propres sur le maillage ainsi que pour transformer et compresser des fonctions.
• Les fonctions peuvent être calculées efficacement à l’aide des techniques de l’algèbre linéaire.
• Parmi les domaines d’application mentionnés figurent le traitement du signal et de la géométrie, la compression d’images, la simulation, le transfert radiatif, le machine learning et les splines.
• L’utilisation des harmoniques sphériques et de l’opérateur de Laplace influence le lissage et l’accentuation de la géométrie en infographie.
• L’article se termine par une liste de sujets à explorer davantage dans ce domaine.

[GN⁺]

Discussion sur Hacker News

• Les fonctions peuvent être considérées comme des éléments d’un espace vectoriel abstrait.
• Ce changement conceptuel a permis aux mathématiciens d’appliquer une intuition géométrique aux problèmes liés aux fonctions.
• L’histoire de ce changement de perspective remonte à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.
• L’opérateur de Koopman fournit une approximation linéaire des systèmes non linéaires, ce qui simplifie le contrôle et l’estimation.
• La bibliothèque Funsor fournit, en programmation probabiliste, une bibliothèque de type numpy pour les fonctions.
• Les recherches de Vito Volterra à Madrid sur les équations différentielles et intégro-différentielles montrent l’analogie entre variables finies et variables infinies.
• Les concepts de l’analyse fonctionnelle sont intéressants et utiles pour les programmeurs.
• Cet article propose une autre manière de voir les fonctions comme des vecteurs, mais certains commentateurs ont un point de vue différent.
• Il existe un domaine des mathématiques qui s’intéresse à la connectivité entre les espaces d’entrée et de sortie des fonctions.
• Les fonctions sont plus générales que les vecteurs et nécessitent une structure appropriée pour les opérations vectorielles.