- L’article de James Clerk Maxwell publié en 1865 traite mathématiquement des variations du champ électromagnétique et établit le lien selon lequel la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est identique à celle de la lumière
- À l’origine, la théorie n’a pas été largement comprise pendant plus de 20 ans en raison de ses 20 équations et de son langage physique complexe ; elle a ensuite été réorganisée sous la forme actuelle de 4 équations à travers les générations d’Oliver Heaviside, Hertz, Lorentz et Einstein
- Les champs électrique et magnétique peuvent être lus non comme des dispositifs mécaniques, mais comme des champs scalaires et vectoriels déployés dans l’espace et le temps ; la divergence représente les sources et les puits, et le rotationnel la rotation
- Les quatre équations expriment de manière condensée quelles divergences et circulations sont produites mutuellement par la charge, le flux magnétique, les champs variant dans le temps et le courant
- Dans le vide et en l’absence de charge, les champs électrique et magnétique satisfont une équation d’onde et s’unifient en une seule onde électromagnétique se propageant à la vitesse de la lumière
Pourquoi la théorie de Maxwell n’a pris de l’importance que plus tard
- En 1865, James Clerk Maxwell publie dans les Philosophical Transactions de la Royal Society « A dynamical theory of the electromagnetic field »
- Cet article décrit les variations du champ électromagnétique et revêt une grande importance en physique, puisque la plupart des forces que nous expérimentons au quotidien, à l’exception de la gravité, ont une origine électromagnétique
- Les équations de Maxwell prédisent l’existence des ondes électromagnétiques et relient celles-ci à la lumière visible en montrant que leur vitesse de propagation est égale à celle de la lumière
- Pourtant, le travail de Maxwell n’a pas été immédiatement accepté
- Sa forme initiale n’était pas constituée des 4 équations familières aujourd’hui, mais de 20 équations
- Pour les physiciens de l’époque, la complexité algébrique était importante, et pour les mathématiciens, le langage d’explication physique de Maxwell était difficile d’accès
- La vision du monde dominante tendait alors à considérer comme plus fondamentales des structures mécaniques de type « roues et engrenages » plutôt que les champs
- Oliver Heaviside simplifie ensuite les équations, puis les générations de Hertz, Lorentz et Einstein contribuent à faire des équations de champ et des lois mathématiques une explication fondamentale de l’univers
Intuition de base pour lire les champs
- Un champ (field) peut être vu comme une fonction qui agit dans tout l’espace et le temps
- Il est difficile de réduire complètement un champ à une matière ordinaire ou à une analogie mécanique
- Des explications comme les particules d’échange, les particules virtuelles ou la courbure de l’espace-temps peuvent elles aussi, au fond, être traitées comme des abstractions mathématiques
- L’intuition de base pour comprendre un champ est celle d’une fonction mathématique répartie dans l’espace et le temps
- Un champ scalaire prend en entrée un point de l’espace et renvoie un seul nombre
- Dans l’exemple d’une ascension en montagne où la température varie avec l’altitude,
T(x, y, z)associe une position à une valeur de température - Si l’on traite la distribution de température d’une plaque métallique en y incluant le temps sous la forme
T(x, y, t)ou, de façon plus réaliste,T(x, y, z, t), alors l’équation de la chaleur modélise l’évolution du champ de température
- Dans l’exemple d’une ascension en montagne où la température varie avec l’altitude,
- Les équations aux dérivées partielles expriment les relations entre plusieurs variables et leurs taux de variation
- Pour la température d’une plaque métallique, il faut tenir compte non seulement de la variation selon la position
dT/dx, mais aussi de la variation selon le tempsdT/dt - Chaque dérivée ne représente qu’une partie de la variation totale ; on parle donc de dérivée partielle, utilisée pour décrire l’évolution temporelle d’un champ
- Pour la température d’une plaque métallique, il faut tenir compte non seulement de la variation selon la position
- Un champ vectoriel prend en entrée un point de l’espace et renvoie un vecteur ayant une norme et une direction
- Dans un champ de vitesse de fluide, le vecteur en chaque position indique la direction et l’intensité de la vitesse d’un élément de fluide
- Le champ gravitationnel et le champ magnétique peuvent eux aussi être modélisés comme des champs vectoriels
- Dans le champ électromagnétique, aucun fluide réel ne s’écoule, mais on emploie par analogie des termes issus de l’écoulement des fluides comme flux, source ou puits
Le langage des équations : divergence et rotationnel
- La divergence (divergence) indique si, autour d’un point, le champ sort vers l’extérieur comme depuis une source, ou entre vers l’intérieur comme dans un puits
- Si l’on trace un petit cercle autour d’un point et que davantage de flèches en sortent, la divergence est positive
- Si davantage de flèches y entrent, la divergence est négative
- Si ni l’un ni l’autre ne domine, la divergence est nulle ou proche de zéro
- Dans le cas du champ électrique, on peut voir la charge positive comme une source et la charge négative comme un puits
- La loi de Gauss pour le champ électrique dit que la divergence du champ électrique en un point est proportionnelle à la densité de charge en ce point
- Le rotationnel (curl) indique à quel point un champ tourne autour d’un point
- Une rotation dans le sens antihoraire peut être considérée comme un rotationnel positif, et dans le sens horaire comme un rotationnel négatif
- Si l’on place un moulinet imaginaire en un point, l’intuition de la grandeur du rotationnel correspond à la vitesse à laquelle le champ le ferait tourner
- En trois dimensions, le rotationnel renvoie un vecteur indiquant la direction de rotation selon une règle spécifique de la main droite
- Les équations de Maxwell peuvent s’écrire sous forme différentielle ou intégrale
- La forme différentielle exprime le champ électromagnétique à partir de la divergence et du rotationnel en chaque point
- La forme intégrale traite le même contenu en termes de flux total et de circulation le long d’une surface fermée ou d’un chemin fermé
- L’intégration part de l’idée de découper un intervalle en rectangles de petite largeur
Δxpour calculer l’aire sous une courbe, puis d’en faire la somme- Plus
Δxse rapproche de 0, plus l’approximation de l’aire est précise - Dans la forme intégrale des équations de Maxwell, on additionne de petits éléments de surface d’une surface fermée pour calculer le flux total ou la circulation totale
- Plus
Ce que disent les quatre équations de Maxwell
- La loi de Gauss pour le champ électrique exprime, en termes de divergence et de flux, le fait que la charge crée un champ électrique
- Dans sa forme différentielle, la divergence du champ électrique est proportionnelle à la densité de charge
- Dans sa forme intégrale, le flux électrique traversant une surface fermée est égal à la charge totale contenue à l’intérieur de cette surface
- Les lignes de champ électrique sont tracées en sortant des charges positives et en entrant dans les charges négatives
- L’intensité du champ électrique décroît comme
1/r²selon la loi en carré inverse à mesure que l’on s’éloigne d’une charge ponctuelle - La permittivité du vide
ε0est la constante qui représente dans quelle mesure le vide laisse passer les lignes de champ électrique
- La loi de Gauss pour le magnétisme affirme que la divergence du champ magnétique est toujours nulle
- On l’interprète comme l’absence de monopôles magnétiques analogues à la charge électrique
- Le flux magnétique total traversant une surface fermée est toujours nul
- Les lignes de champ magnétique ne commencent ni ne finissent sur une charge comme les lignes de champ électrique ; elles forment toujours des boucles fermées revenant sur elles-mêmes
- Sur toute surface fermée — sphère, cube, tore, etc. — le flux magnétique sortant et entrant s’annule
- La loi de Faraday dit qu’un champ magnétique qui varie dans le temps induit un champ électrique circulant
- Si le flux magnétique augmente, un champ électrique circulant apparaît dans le sens qui s’oppose à cette variation
- Si le flux magnétique diminue, un champ électrique circulant se crée dans le sens opposé
- Cette opposition au changement est appelée loi de Lenz
- Contrairement à un champ électrique qui commence ou finit sur des charges, le champ électrique induit forme des lignes de champ qui se referment en boucle sur elles-mêmes
- Cette loi permet de mettre des charges en mouvement dans un circuit fermé pour produire un courant, rendant possibles les générateurs et la conversion d’énergie mécanique en énergie électrique
- La loi d’Ampère-Maxwell dit qu’un courant, ou un champ électrique variant dans le temps, induit un champ magnétique circulant
- Le terme de gauche représente le rotationnel du champ magnétique
- Le terme de droite inclut la densité de courant et le taux de variation temporelle du champ électrique
- Le courant est défini comme le débit de charge traversant une certaine section, mais il ne désigne pas seulement le déplacement d’électrons dans un fil
- La densité de courant
Jreprésente la quantité de charge traversant une section unitaire perpendiculaire à la direction du courant - Même en l’absence de courant qui s’écoule, un champ électrique variant dans le temps peut créer un champ magnétique
- Dans sa forme intégrale, la loi d’Ampère-Maxwell exprime l’intégrale curviligne le long d’un chemin magnétique fermé en fonction du courant net et du taux de variation du flux électrique à travers une surface fermée
- Un courant traversant la surface dans une direction contribue au courant net
- Si un même courant traverse la surface dans les deux sens, le courant net peut être nul
- La permittivité du vide
ε0et la perméabilité du videμ0vérifient la relationε0 μ0 = 1/c²et sont traitées, dans le système d’unités gaussiennes, comme des constantes dimensionnelles qui disparaissent
L’unification du champ électrique et du champ magnétique
- Les champs électrique et magnétique peuvent être vus non comme deux champs indépendants, mais comme un unique champ électromagnétique
- Dans une onde électromagnétique, le vecteur du champ électrique, le vecteur du champ magnétique et la direction de propagation sont alignés dans l’espace à trois dimensions
- Les vecteurs du champ électrique et du champ magnétique sont perpendiculaires l’un à l’autre
- La variation de l’un complète celle de l’autre
- Le champ magnétique peut être expliqué comme un champ électrique incluant un effet relativiste
- Dans le référentiel qui se déplace avec les électrons à côté d’un fil parcouru par un courant, les électrons sont immobiles et la force magnétique n’apparaît pas
- À cause de la contraction des longueurs en relativité restreinte, les ions en mouvement sont comprimés dans le sens du déplacement et présentent une densité de charge positive plus élevée
- Dans ce référentiel, le fil semble porter une charge positive nette, et les électrons sont attirés vers le fil par une force électrique
- Le même phénomène est donc décrit comme une force magnétique pour un observateur immobile, et comme une force électrique pour un observateur se déplaçant avec les électrons
- Dans le vide et en l’absence de charge, on peut simplifier les équations de Maxwell, et les champs électrique et magnétique satisfont une équation d’onde
- Comme
1 / μ0 ε0 = c², les ondes électromagnétiques se propagent à la vitesse de la lumière - Maxwell voyait la lumière et les phénomènes magnétiques comme des états d’une même substance, et reliait la lumière à une perturbation électromagnétique se propageant à travers un champ selon les lois de l’électromagnétisme
- Comme
- Feynman considérait qu’en réunissant dans un même tableau les équations de Maxwell, la conservation de la charge, la loi de force de Lorentz, les lois du mouvement et la loi de gravitation de Newton, on pouvait résumer les lois fondamentales de la physique classique connues jusqu’en 1905
1 commentaires
Commentaires sur Hacker News
J’aurais vraiment aimé avoir ce genre de ressource à l’époque où j’étudiais pour mon diplôme de physique. Les schémas sont magnifiques et vont droit aux concepts clés du calcul vectoriel nécessaires à l’électromagnétisme
Je me souviens avoir péniblement lu Jackson[1] comme un rite de passage, mais il n’y a aucune raison que la génération suivante souffre de la même manière. Le Web semble justement exister pour ce genre de chose
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...
Si cela vous a été utile, j’aimerais vous demander de le partager et de vous abonner. J’essaie aussi de guider de façon intuitive sur des sujets complexes comme l’équation de Schrödinger, les trous noirs et la mécanique quantique, et j’aimerais finir par écrire un livre qui explique les maths et la physique de façon bien plus claire et intuitive. Les maths ne devraient pas être difficiles à comprendre. À la base, c’est très simple, même si je reconnais qu’il est vraiment difficile de les présenter de manière claire et intuitive. Une grande partie du contenu a été influencée par Grant Sanderson (3Blue1Brown), et la plupart des schémas ont été réalisés avec Vexlio : https://vexlio.com/
Jackson est un manuel d’électromagnétisme de niveau master/doctorat, donc il est écrit pour être mathématiquement difficile. Au moment de lire ce livre, on est censé avoir déjà 3 ou 4 ans de bases en électromagnétisme et de fondements conceptuels, et l’objectif est aussi de résoudre les équations dans des situations difficiles pour des étudiants de premier cycle. Je me demande ce qui a été étudié en licence
C’est pour cela qu’on dit parfois que, sur un sujet donné, le meilleur livre est « le deuxième qu’on lit ». À la deuxième lecture, tout paraît bien plus intuitif
L’examen final de ce cours avait la consigne la plus courte que j’aie jamais vue : « Dérivez les équations de Maxwell ». Le livre de Kraus m’avait satisfait
L’un des meilleurs moments de mon parcours a été de passer par l’électromagnétisme pour atteindre la beauté des équations de Maxwell
Plus tard, j’ai aussi découvert qu’on pouvait encore mieux faire ressortir cette beauté en les compressant davantage via la géométrie différentielle
http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_t...
« La théorie de Maxwell ne devient simple et élégante que lorsqu’on considère le champ (field), c’est-à-dire une fonction mathématique, comme fondamental, et les contraintes électromagnétiques ainsi que les forces mécaniques comme des conséquences de ce champ. Pas l’inverse. »
Il existe de nombreuses discussions intéressantes sur la question de savoir si le champ existe réellement, et ce débat remonte à plusieurs siècles : https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl
Quand il parle des champs, il bifurque souvent vers ses travaux « pseudo- » scientifiques sur la télépathie, mais ma conférence préférée de lui est plutôt celle-ci : https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q
L’explication est vraiment excellente. Tout est simple, mais riche en détails, au point qu’il faut tout de même des efforts et de la concentration pour mémoriser et comprendre
Comme c’est expliqué de manière à faire sens, l’ensemble devient fascinant. J’ai lutté avec ce contenu en deuxième année d’école d’ingénieurs, mais à l’époque je n’en comprenais même pas correctement la moitié. Avec une explication comme celle-ci, j’aurais probablement étudié avec bien plus de plaisir. J’avais l’impression de ne pas être assez intelligent pour comprendre les résultats des manuels et des formules, et j’ai sans doute manqué l’occasion d’être fasciné par le sujet lui-même
J’aime ce genre d’article, mais tout le monde commet la même erreur en partant de l’algèbre vectorielle plutôt que de l’algèbre géométrique
En espace à 3 dimensions, l’algèbre vectorielle fonctionne bien, mais dans les situations à 2 et 4 dimensions, elle s’effondre complètement. C’est intuitif jusqu’à un certain point, puis tout se brise d’un coup. J’aimerais voir des articles de ce style qui utilisent, aux bons endroits, des objets comme les bivecteurs, afin que l’ensemble se généralise proprement non seulement à l’espace 3D, mais aussi à l’espace-temps 4D
Le calcul vectoriel est assez intuitif, facile à apprendre, et complètement ancré dans les mondes de l’ingénierie et de la physique. Après plus de 100 ans, ceux qui l’utilisent réellement au quotidien ne vont pas changer de notation simplement pour transformer les 4 équations de Maxwell en 1 seule équation d’algèbre géométrique. Le calcul vectoriel de Gibbs est aussi utilisé en mécanique des fluides et dans d’autres domaines de l’ingénierie, et je n’ai presque jamais vu de mouvement cherchant à vanter les avantages de l’algèbre géométrique aux chercheurs en mécanique des fluides. Quelqu’un pourra toujours citer un chercheur isolé ayant exprimé les équations de Navier-Stokes avec le produit géométrique, mais je ne vois pas ce que cela change au final. Le calcul vectoriel traditionnel est une langue que tout le monde parle, et l’algèbre géométrique n’est qu’une autre manière de dire la même chose, donc je ne vois pas pourquoi on changerait
Si quelqu’un a des idées sur la manière de présenter cela au grand public, je serais ravi de les entendre et prêt à adapter mon approche
En résumé, le produit géométrique de l’algèbre géométrique correspond à des formes différentielles de degré mixte, ce qui est assez étrange. Pourquoi ne pas simplement raisonner en termes de formes différentielles ? Les équations de Maxwell se résument très élégamment à dF=0, d*F = J
Tout enseignant de calcul vectoriel devrait apprendre aux étudiants le sens intuitif, c’est-à-dire visuel et physique, du gradient, de la divergence et du rotationnel
Il en va de même pour l’intuition derrière des résultats comme le théorème de Stokes et le théorème de Gauss. Même un étudiant ingénieur qui ne s’intéresse pas aux démonstrations devrait pouvoir comprendre cette intuition
Les équations originales de Maxwell reliaient la lumière et l’électricité. À l’origine, il y avait 20 équations pour 20 inconnues, et elles utilisaient une notation fondée sur les quaternions que personne ne comprenait vraiment.
Heaviside a réécrit les 20 équations de Maxwell en 4 équations à l’aide du calcul vectoriel, et même si cela a aidé à simplifier les choses, j’ai l’impression que ce n’était pas sans contrepartie. Il reste encore beaucoup de choses inexpliquées dans le monde moderne, surtout en ce qui concerne l’expérience humaine individuelle. En travaillant comme chauffeur de taxi, j’ai eu l’occasion d’entrevoir ce genre de choses et de rencontrer des personnes qui m’ont aidé à éclaircir ce qui m’intriguait. Il doit exister un lien entre l’électromagnétisme et la gravité, mais nous ne l’avons pas encore découvert. Bing CoPilot a cité cet article de Wikipédia en réponse à ma question, mais cela dépasse mon niveau, donc j’aimerais que quelqu’un me l’explique clairement : https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism
Pour ajouter une anecdote sur Heaviside que personne n’a demandée, c’est aussi lui qui a inventé la méthode du « masquage » pour faire rapidement une décomposition en fractions partielles[2]
[1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
[2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
Il a certes éliminé les quaternions, mais Maxwell lui-même ne les utilisait pas tant que ça, puisqu’il séparait toujours la partie scalaire et la partie vectorielle, donc la différence paraît faible. La différence la plus importante est plutôt que Maxwell formulait les choses avec un potentiel scalaire et un potentiel vectoriel, ce qui est justement la manière indispensable de procéder en QED. Heaviside, lui, les a supprimés pour ne garder que le champ électrique et le champ magnétique. J’ai vérifié qu’il faut 7 équations de Maxwell pour dériver les 4 équations de Heaviside. Si l’on prend les quaternions au sérieux, on peut écrire les 4 équations célèbres en seulement 2, en utilisant des unités naturelles :
∇E + dB/dt = -ρ
∇B - dE/dt = J
Cela signifie seulement que certaines caractéristiques formelles de la relativité générale correspondent grossièrement aux structures mathématiques dont on parle en électromagnétisme, avec la réserve que les symétries sous-jacentes des deux théories sont différentes
Quand on a demandé à Terence Tao pourquoi personne n’avait encore réussi à démontrer l’hypothèse de Riemann, il a répondu qu’à l’heure actuelle, nous n’avions tout simplement pas les bons outils pour la démontrer. Je ne suis pas mathématicien, mais j’ai la forte impression que les quaternions pourraient faire partie des outils puissants permettant de démontrer l’hypothèse de Riemann. Contrairement à d’autres ondes comme les ondes sonores, les ondes électromagnétiques ont des propriétés de polarisation uniques. Pour modéliser de manière complète et correcte les phénomènes fondés sur l’électromagnétisme, il faut une formulation et une représentation basées sur les quaternions. L’une des raisons pour lesquelles la plupart des modulations radio existantes n’utilisent pas la polarisation est que la plupart des ingénieurs micro-ondes et radio ne sont pas familiers avec les quaternions. Ironiquement, ce biais ressemble à l’attitude des premiers mathématiciens et scientifiques, qui s’opposaient fortement aux nombres complexes ; aujourd’hui pourtant, la plupart des modulations radio modernes comme l’OFDM utilisent les nombres complexes. On trouve ici des textes qui dérivent les équations de Maxwell à l’aide de l’algèbre géométrique et des quaternions, et qui les résument en une seule équation élégante[1][2]
[1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
[2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
Si cela ne te dérange pas, j’aimerais bien en entendre davantage. Même si c’est un peu mystique, on peut faire comme si personne ne lisait
À propos de l’équivalence relativiste entre le champ électrique et le champ magnétique, cela peut aussi valoir le détour :
https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...
Sussman et Wisdom ont écrit un livre intitulé Structure and Interpretation of Classical Mechanics, dans la lignée du classique SICP en Scheme, et je me demande si quelqu’un a tenté une approche similaire pour l’électromagnétisme
Elles font donc partie du grand ensemble qu’est la mécanique classique. Si on le souhaite, on peut écrire une densité lagrangienne ou un Hamiltonien pour diverses configurations expérimentales, par exemple pour une particule chargée dans un champ, puis en déduire les équations de Maxwell. Il existe aussi quelques articles sur le sujet. Il n’y a aucune raison de ne pas utiliser le formalisme de SICM. Je ne sais pas si ce serait un exercice utile
Cela semble être le chapitre 6
Je jette de l’argent sur l’écran, mais il ne se passe rien
J’aimerais vraiment qu’un livre soit publié sur ce sujet et les thèmes associés. L’écriture est vraiment excellente.