Pourquoi l’énergie cinétique augmente-t-elle avec le carré de la vitesse plutôt que linéairement ? (2011)
(physics.stackexchange.com)- Pour un objet non rotatif, l’énergie cinétique $\frac{1}{2}mv^2$ n’est pas une simple formule à mémoriser : c’est une question d’intuition, à savoir pourquoi il faut plus d’énergie pour accélérer de $1\to2\ \mathrm{m/s}$ que de $0\to1\ \mathrm{m/s}$
- L’explication centrale repose sur l’invariance galiléenne et la conservation de l’énergie : en observant la même collision depuis un autre référentiel, on obtient $E(2v)=4E(v)$, ce qui fait apparaître la dépendance au carré de la vitesse
- La quantité de mouvement $p=mv$ augmente linéairement avec la vitesse, mais si on arrête l’objet avec la même force, un objet allant deux fois plus vite met deux fois plus de temps à s’arrêter et a aussi une vitesse moyenne deux fois plus grande, donc la distance de freinage et le travail sont multipliés par 4
- Les exemples de chute et de lancer montrent la relation entre hauteur, énergie potentielle et vitesse : une balle lâchée de 2 m n’atteint pas une vitesse double de celle lâchée de 1 m
- $\frac{1}{2}mv^2$ est une approximation newtonienne valable à basse vitesse ; en relativité restreinte, on a $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$, qui ne donne presque la même valeur qu’aux faibles vitesses
Le cœur de la question
- En mécanique classique, l’énergie cinétique d’un objet non rotatif est donnée par $\frac{1}{2}mv^2$
- L’enjeu de la question n’est pas tant la formule elle-même que le fait qu’il soit contre-intuitif qu’elle augmente non pas linéairement, mais avec le carré de la vitesse
- L’exemple typique est : pourquoi faut-il plus d’énergie pour passer de $1\ \mathrm{m/s}$ à $2\ \mathrm{m/s}$ que de $0\ \mathrm{m/s}$ à $1\ \mathrm{m/s}$ ?
La relation quadratique vue par l’invariance galiléenne
- Une explication consiste à définir l’énergie cinétique comme la chaleur produite lorsqu’une boule d’argile ponctuelle de masse $m$ percute un mur à la vitesse $v$
- Si deux boules d’argile de même masse heurtent le mur côte à côte, la chaleur produite double ; l’énergie est donc proportionnelle à la masse
- $E(m,v)=mE(v)$
- Si deux boules d’argile de même masse $m$ se percutent frontalement chacune à la vitesse $v$, la symétrie implique qu’elles s’arrêtent toutes deux et que la chaleur totale vaut $2mE(v)$
- Dans le référentiel d’un train se déplaçant avec l’une des boules, le même événement apparaît différemment
- la première boule est initialement au repos
- la seconde arrive à la vitesse $2v$
- après le choc, le système formé par les deux boules collées se déplace à la vitesse $v$
- Dans ce référentiel, l’énergie cinétique initiale est $mE(2v)$ et, après la collision, il reste la chaleur $2mE(v)$ et l’énergie cinétique du bloc de masse double, soit $2mE(v)$
- En appliquant la conservation de l’énergie, on obtient
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- Si doubler la vitesse quadruple l’énergie, alors l’énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse
Différence entre quantité de mouvement et énergie
- Cette question est particulièrement importante pour distinguer quantité de mouvement et énergie
- La grandeur cinématique proportionnelle linéairement à la vitesse est la quantité de mouvement
- $p=mv$
- La variation de quantité de mouvement est proportionnelle à l’impulsion
- $F\Delta t=\Delta p$
- ce qui se relie à la deuxième loi de Newton $F=ma$
- Si l’on arrête deux objets A et B avec la même force $F$ :
- A a une vitesse $v$
- B a une vitesse $2v$
- la quantité de mouvement de B est le double de celle de A
- Avec la même force de décélération, B met deux fois plus de temps que A à s’arrêter
- Comme B a aussi une vitesse initiale et une vitesse moyenne deux fois plus grandes, sa distance de freinage est multipliée par $2 \times 2=4$
- Le travail est le produit de la force par la distance, $W=Fs$ ; à force égale, si la distance de freinage est 4 fois plus grande, le travail nécessaire est lui aussi 4 fois plus grand
- L’énergie cinétique est justement la grandeur qui représente ce travail ; elle est donc 4 fois plus grande quand la vitesse est doublée
L’intuition via la chute et la gravité
- On peut reformuler la question non pas en « pourquoi l’énergie cinétique n’est-elle pas linéaire en vitesse ? », mais en « pourquoi la vitesse augmente-t-elle comme la racine carrée de l’énergie cinétique ? »
- Si une balle lâchée d’une hauteur de 1 m touche le sol avec la vitesse $v$, une balle lâchée de 2 m n’arrive pas avec la vitesse $2v$
- Sur le second segment de 1 m, la balle est déjà en mouvement ; elle parcourt donc ce segment en moins de temps et dispose de moins de temps supplémentaire pour gagner de la vitesse
- Près de la surface terrestre, l’énergie potentielle gravitationnelle est proportionnelle à la hauteur, et la hauteur de chute est proportionnelle au carré de la vitesse
- Pour que l’énergie soit conservée, l’énergie cinétique doit donc elle aussi être proportionnelle à $v^2$
- Le cas d’un lancer vers le haut mène à la même conclusion
- avec la même décélération gravitationnelle, si la vitesse initiale est doublée, le temps jusqu’à l’arrêt double aussi
- la vitesse moyenne double également
- la hauteur atteinte est multipliée par 4
- En reliant cela à l’énergie potentielle $mgh$, l’énergie cinétique initiale est égale à l’énergie potentielle au moment où l’objet s’arrête, d’où la forme $\frac{1}{2}mv^2$
Théorème travail-énergie et grandeurs conservées
- Mathématiquement, la forme de l’énergie cinétique découle de la deuxième loi de Newton et de la définition du travail
- Deuxième loi de Newton :
- $\sum \vec F=m\vec a$
- Définition du travail :
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- En intégrant le long de la trajectoire, on obtient
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- La définition du travail est donc directement liée à cette dépendance quadratique vis-à-vis de la vitesse
- Pour une force conservative, $\int d\vec s\cdot\vec F$ dépend seulement des points de départ et d’arrivée, et non du chemin, et peut s’exprimer par une fonction de potentiel
- En l’absence de forces non conservatives comme le frottement, la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle reste une grandeur conservée
Pourquoi la seule “définition” ne suffit pas
- En mécanique classique, l’énergie cinétique est définie comme $\frac{1}{2}mv^2$, et cette grandeur est utile parce que, lorsque les lois physiques sont invariantes dans le temps, sa somme avec un terme dépendant de la position se conserve
- Si, comme pour la gravitation, la loi de Coulomb ou la loi de Hooke, l’accélération est une fonction de la position et ne dépend pas explicitement du temps, alors connaître la vitesse à une position suffit pour déterminer la vitesse à une autre position via la conservation de l’énergie
- Dire simplement « c’est ainsi que cela a été défini » ne répond pas vraiment à la question de savoir pourquoi cette définition est utile
- Plusieurs explications relient cette utilité à des grandeurs conservées, à la symétrie et à l’invariance galiléenne
Point de vue lagrangien et symétries
- Si l’on utilise l’homogénéité de l’espace, l’homogénéité du temps et l’isotropie de l’espace, alors le lagrangien d’une particule libre ne doit dépendre explicitement ni de la position ni du temps
- Si l’espace est isotrope, le lagrangien doit dépendre non de la direction du vecteur vitesse mais de la norme de la vitesse ou de ses puissances
- En posant le lagrangien de la particule libre sous la forme $\mathcal{L}=\alpha v^n$ et en calculant la quantité de mouvement par $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$, on obtient $p=\alpha nv^{n-1}$
- En imposant que, dans la limite non relativiste, la quantité de mouvement soit linéaire en vitesse, on obtient $n=2$, d’où une énergie cinétique proportionnelle à $v^2$
- L’affirmation selon laquelle la quantité de mouvement est linéaire en vitesse n’est vraie que dans la limite non relativiste
Limite relativiste et condition scalaire
- L’énergie cinétique n’est pas exactement toujours proportionnelle à $v^2$ ; en relativité restreinte, on utilise la formule suivante
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- À faible vitesse, cette expression est pratiquement égale à $\frac{1}{2}mv^2$
- Le fait que l’énergie cinétique soit un scalaire alors que la vitesse est un vecteur exclut aussi une dépendance linéaire
- Si l’énergie cinétique était linéaire en vitesse, changer $\mathbf{v}$ en $-\mathbf{v}$ modifierait sa valeur, ce qui la rendrait dépendante de la direction
- Le terme newtonien en $v^2$ et les termes correctifs relativistes en $v^4$, $v^6$, etc. satisfont la condition selon laquelle l’énergie cinétique est un scalaire invariant sous $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$
Expériences de pensée et exemples du quotidien
- Une expérience de pensée avec un ressort et deux boîtes considère un cas où l’énergie potentielle d’un ressort comprimé se transforme en énergie cinétique des deux objets
- Dans un référentiel, le ressort arrête une boîte et propulse l’autre à $2v$, alors que dans un autre référentiel les deux boîtes se déplacent chacune à $v$ en sens opposés
- Si l’énergie potentielle est invariante par transformation galiléenne et que l’énergie cinétique s’additionne avec la masse, on obtient $KE(m,2v)=4KE(m,v)$
- L’exemple du choc automobile explique que, pendant la première moitié du temps de décélération, on parcourt les 3/4 de la distance totale d’arrêt, ce qui montre que les dégâts sont plus liés à la distance parcourue qu’au temps
- Une expérience de pensée où l’on utilise à répétition un ressort pour faire passer la vitesse d’une balle de $0,1,2,3,4$ montre que l’énergie cinétique croît comme $0,1,4,9,16$
1 commentaires
Avis de Hacker News
C’est le plus facile à comprendre en termes de conversion de l’énergie potentielle
Une balle posée en haut d’une échelle de 20 pieds a deux fois plus d’énergie potentielle qu’une balle en haut d’une échelle de 10 pieds, et en touchant le sol, cette énergie est convertie en énergie cinétique
Mais la vitesse d’impact d’une balle lâchée de deux fois plus haut est loin d’être deux fois plus élevée. La gravité est une force qui, en chute libre, fournit une accélération constante indépendamment de la vitesse, et l’augmentation de vitesse se fait « par unité de temps », pas « par unité de distance »
Supposons qu’après 1 seconde de chute depuis 10 pieds, l’énergie cinétique soit de 10 et la vitesse de 100. La balle lâchée de 20 pieds a, elle aussi, exactement une énergie cinétique de 10 et une vitesse de 100 au moment où elle a parcouru les 10 premiers pieds
Le point clé, ce sont les 10 pieds restants. Comme elle y entre déjà à la vitesse 100, elle les parcourt en moins de temps que les 10 premiers pieds, et la gravité ajoute donc moins de vitesse. On voit ainsi que la relation n’est pas linéaire
Si l’on fait le calcul ou l’expérience, pour qu’une balle touche le sol à une vitesse deux fois plus élevée qu’une autre, elle doit être lâchée de quatre fois plus haut, et son énergie cinétique est elle aussi quatre fois plus grande
La question elle-même part aussi de l’intuition que l’énergie cinétique devrait croître linéairement avec la vitesse, mais en réalité cette intuition est fausse
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
Mais au bout du compte, c’est aussi une question des unités et des grandeurs que l’on décide de mesurer. Par exemple, si l’on mesure la « Squenergy » en Sqoules et que l’on définit 1Sq² = 1J, alors la squenergy augmente soudain linéairement avec la vitesse
Bien sûr, dans ce cas l’énergie potentielle en Squenergy devient sqrt(MgH), n’est plus additive, et d’autres aspects se compliquent
La lâcher 10 fois depuis 1 pied ne produit pas autant d’énergie, ni autant de dégâts, qu’une seule chute depuis 10 pieds
Pour moi, l’explication la plus intuitive est celle-ci : force = variation de quantité de mouvement dans le temps, énergie = force × distance
Si l’on regarde quelle quantité d’énergie peut être dissipée, à une vitesse v, par une petite variation de quantité de mouvement sur une petite distance dx, on obtient dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv
Pour appliquer une force sur une certaine distance, il faut modifier la vitesse de l’objet de dv, mais la distance parcourue pendant ce temps dépend aussi de la vitesse actuelle v. C’est pourquoi l’énergie totale n’est pas simplement proportionnelle à la vitesse
Si l’on additionne toutes les petites valeurs de dE pour la variation de vitesse depuis la vitesse initiale jusqu’à 0, on obtient la formule de l’énergie cinétique
Cela dit, cette intuition part finalement de « force = variation de quantité de mouvement dans le temps ». Les définitions de « force », « quantité de mouvement » et « énergie » sont mathématiquement précises, et même si elles correspondent à une réalité partagée, elles peuvent donner l’impression, de façon agaçante, d’être circulaires
Dire « deux fois plus vite » se comprend bien comme « deux fois plus de quantité de mouvement », alors que l’énergie cinétique est plus abstraite, car c’est quantité de mouvement × vitesse
Il y a une petite anecdote
Une voiture bleue roule à 70, et une voiture rouge du même modèle la rattrape à 100. Quand elles arrivent côte à côte, un obstacle bloquant les deux voies apparaît au-delà d’un virage, et les deux voitures freinent avec la même intensité et la même décélération
La voiture bleue s’arrête juste devant l’obstacle. La voiture rouge roulait plus vite, donc même en freinant au même rythme, elle ne peut pas s’arrêter. À quelle vitesse percute-t-elle l’obstacle ?
En prenant ½mv², la voiture bleue perd environ 70² = 4900 unités d’énergie. La voiture rouge avait au départ 100² = 10000 unités d’énergie cinétique ; si elle perd la même quantité, 4900, il lui en reste 5100. Sa vitesse d’impact est donc √5100 ≈ 71
Numberphile : https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
C’est pour cette raison qu’une F1 atteint 4G au freinage. Le monstrueux dernier véhicule custom de Ken Block, ou des voitures comme la Valkyrie, exploitent encore davantage le freinage aérodynamique actif
Pour ce genre d’expérience automobile virtuelle de base, BeamNG.drive est un assez bon simulateur physique. On peut ouvrir les outils intégrés et lancer soi-même un test de freinage
Les deux voitures peuvent freiner avec la même décélération, c’est-à-dire selon l’accélération, ou avec la même intensité, c’est-à-dire selon le rythme auquel l’énergie cinétique est convertie en chaleur, mais comme leurs vitesses sont différentes, ces deux valeurs ne peuvent pas être identiques en même temps
Le calcul ci-dessus est fait sur la base de l’intensité, pas de la force ni de l’accélération. À cause du carré dans la formule de l’énergie cinétique, la différence est exagérée. Si l’on calcule en fonction de la force, on obtient un écart linéaire plus modéré
L’expression « freiner au même rythme » est elle aussi subtilement piégeuse. En général, « rythme » renvoie à la force ou à l’accélération, mais ici le calcul se fait selon le rythme de conversion de l’énergie cinétique en chaleur
Dire que le rythme de conversion d’énergie est le même signifie qu’en pratique la voiture la plus rapide subit une force de freinage bien plus faible. C’est la même logique mathématique que lorsqu’on descend une pente à basse vitesse : la même force peut suffire, mais à haute vitesse, appliquer la même force finit par cuire les freins
En substance, on a reformulé en problème d’arrêt automobile un calcul de camion en descente — où la limite n’est pas la friction mais la capacité des freins à évacuer la chaleur — pour en faire une question piège
Ron Maimon avance un argument qui repose uniquement sur la symétrie. Il contourne beaucoup des explications standard de ce fil, et d’après ce que j’en comprends, cela ressemble à une version simplifiée du théorème de Noether
Au passage, si je me souviens bien, le compte de Ron Maimon a été suspendu après qu’il a mis en cause la personnalité de quelqu’un qui sollicitait des votes pour une élection de modérateur. Sa position était que, lorsqu’une personne se présente à une fonction élective, il est légitime de discuter de son caractère
Les sites de la famille Stack Overflow avaient une politique stricte consistant à critiquer les questions, mais pas les personnes, et les modérateurs s’en sont servis pour le bannir définitivement
Je me souviens avoir lu à l’époque des textes de Ron disant que les sites SO étaient corrompus par leurs politiques et qu’ils cesseraient bientôt d’apporter de la valeur. C’était vers la fin des années 2000 ou le début des années 2010 ; avec le recul, cela paraît assez clairvoyant
Aujourd’hui s’y ajoutent des décisions de gestion de plus en plus étranges visant à en extraire un maximum d’argent avant que l’IA ne rende SE complètement inutile, mais l’agressivité et l’hostilité étaient déjà difficiles à supporter dès le départ
Il m’est arrivé des dizaines de fois d’aller sur StackOverflow pour regarder quelque chose dix secondes, puis de rester plusieurs minutes à fixer les commentaires, sidéré par la façon dont les gens se traitaient entre eux
Même après avoir lu plusieurs réponses, je n’ai pas encore vu de réponse vraiment intuitive. Pourquoi faut-il beaucoup plus d’énergie pour passer de 1 à 2 que pour passer de 0 à 1 ?
Quand on est immobile, on peut utiliser l’environnement autour de soi, par exemple en poussant contre un mur, pour gagner de la vitesse
Quand on a déjà une vitesse, l’environnement se déplace en quelque sorte dans la direction opposée par rapport à nous ; gagner une unité de vitesse supplémentaire demande donc davantage d’effort à chaque fois
Changer de prémisse aide à comprendre
La distance parcourue par un objet soumis à une force constante augmente quadratiquement avec le temps
L’énergie, c’est la force × la distance. C’est la même intuition que le fait que l’énergie nécessaire pour soulever un objet est proportionnelle à la hauteur à laquelle on le soulève
Donc appliquer une force constante produit une accélération constante, et la distance augmente alors quadratiquement
Si l’on accepte que l’énergie vaut force × distance, alors, dans cette situation, l’énergie nécessaire pour déplacer l’objet augmente elle aussi quadratiquement
Autrement dit, la quantité d’énergie transmise par une force F appliquée pendant 1 seconde dépend de la vitesse à laquelle l’objet se déplace déjà. Appliquer une force à un objet déjà rapide demande beaucoup plus d’énergie. L’intuition est qu’il faut d’abord dépenser l’énergie nécessaire pour atteindre la vitesse de l’objet en mouvement, et seulement ensuite commencer à appliquer la force
On peut le comprendre par une hypothèse contrefactuelle
Supposons que l’énergie cinétique dépende linéairement de la vitesse |v|, avec E = m|v|. À quoi ressemblerait alors l’univers ?
Le lagrangien traditionnel est L = 1/2 mv^2 - V(x). Avec cette énergie cinétique, on obtient une autre formule : L = m|v|ln|v|-V(x)
En dérivant les équations du mouvement correspondantes, on obtient p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F
Ces formules montrent plusieurs choses. Premièrement, la relativité galiléenne est brisée : il n’y a plus d’invariance par boost. Il doit nécessairement exister un référentiel privilégié où l’univers est au repos, autrement dit un éther, et toute la dynamique doit être comprise par rapport à ce référentiel
Deuxièmement, la première loi de Newton prend une interprétation pathologique par rapport à ce référentiel. Puisque ma = |v|F et que |v| = 0, appliquer n’importe quelle force F donne a = 0. Un objet au repos par rapport à l’éther ne peut être mis en mouvement par aucune force
Un objet en mouvement par rapport à l’éther continue de se déplacer en l’absence de force extérieure, et la troisième loi de Newton reste vraie, mais un tel univers n’a pratiquement aucun sens
Du point de vue du principe anthropique, on pourrait dire qu’un tel univers a une dynamique trop pathologique pour permettre la vie, et que nous ne pourrions donc pas l’observer
Si l’argument de StackExchange est « étant donnée la relativité galiléenne, on obtient une loi d’échelle quadratique », cet argument-ci en est la contraposée : « sans loi d’échelle quadratique, il n’y a pas non plus de relativité »
L’idée du contrefactuel ressemble à l’argument du « pourquoi » de Richard Feynman https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
Il n’y a pas de raison fondamentale pour laquelle ce genre de dynamique ne pourrait pas exister. Nous pouvons seulement ramener l’explication vers des intuitions plus fondamentales propres à l’univers où nous vivons, par exemple de la loi d’échelle de l’énergie cinétique vers la relativité galiléenne. Sans preuve mathématique montrant qu’une alternative serait contradictoire même en principe, il est tout à fait légitime d’imaginer des univers alternatifs avec une autre dynamique. Ce n’est simplement pas le nôtre
Réponse un peu rusée : la vitesse est un vecteur, donc elle peut être négative, tandis que l’énergie cinétique est un scalaire et doit être positive. Il faut donc mettre v au carré pour faire disparaître le signe moins
Pourquoi ne pas utiliser la valeur absolue ? Parce que la nature n’aime pas ce genre de chose. Sans doute parce qu’elle n’est pas dérivable en 0. C’est donc le carré qui s’impose
C’est la différence entre un bol parabolique lisse et la pointe artificiellement anguleuse d’un cône. On le voit aussi avec des notions comme l’écart-type
À part ça, je me demande si, dans les réseaux de neurones à valeurs complexes, il ne serait pas le plus universel de définir la fonction d’activation comme sum(inputs)*conj(sum(inputs)) et de normaliser le seuil par sqrt(num_inputs). Des entrées incohérentes donnent une moyenne en valeur absolue de sqrt(N), tandis que des entrées cohérentes donnent N, comme un laser. L’amplitude au carré donne N contre N^2 entre un groupe non corrigé et un groupe corrélé
Et la manière de traiter la singularité en 0 est très importante pour la structure de ces interactions
Si l’on double la vitesse, on parcourt deux fois plus de distance pendant le même temps. Ce n’est pas seulement deux fois plus rapide : ces deux aspects influent tous deux sur le travail
Physics for Mathematicians de Michael Spivak contient beaucoup d’arguments expliquant pourquoi les mathématiques de la mécanique classique ont cette forme, comme dans la meilleure réponse ici