Une coïncidence mystérieuse
- La question de savoir pourquoi π² est presque égal à g
- π est un nombre sans dimension, alors que g est une grandeur physique
- Les deux valeurs ne sont pas exactement égales
Un problème qui n’est pas si simple
- La valeur de g s’exprime en m/s²
- Dans d’autres unités, cette coïncidence disparaît
- Il faut comprendre la définition du mètre et de la seconde
Définition du mètre
- Le mètre est la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant 1/299,792,458 de seconde
- Cette définition n’inclut pas π
Histoire des standards
- Autrefois, on mesurait les longueurs à partir de parties du corps humain
- Avec la nécessité de standardiser, des définitions fondées sur des constantes naturelles ont été proposées
Le rêve de la standardisation et la gravité
- Au XVIIe siècle, Christiaan Huygens a proposé de définir le mètre à partir de la longueur d’un pendule
- Un problème est apparu : la longueur du pendule varie selon l’endroit où l’on se trouve sur Terre
Une équation surprenante
- π apparaît dans la formule permettant de calculer la période d’un pendule
- En remplaçant par les paramètres du pendule de Huygens, on obtient π² = g
La Révolution française et l’évolution du mètre
- En 1791, l’Académie des sciences française a changé la définition du mètre
- Il a été défini comme un quarante-millionième du méridien de Paris
Le vrai mètre
- Le mètre a été défini en mesurant réellement le méridien de Paris
- Comme l’aplatissement de la Terre n’a pas été pris en compte, une légère erreur s’est produite
Conclusion
- L’écart entre π² et g est d’environ 0,06
- Si la définition du mètre n’avait pas été modifiée, l’élégante équation π² = g aurait été vérifiée
# Résumé de GN⁺
- Cet article explore la relation entre π² et g, en expliquant le contexte historique et les principes scientifiques
- Il traite des erreurs apparues au fil des changements successifs de la définition du mètre
- Il aide à comprendre un lien fascinant entre les mathématiques et la physique
- Sur un thème proche, il recommande « Histoire des constantes naturelles et des unités »
1 commentaires
Avis sur Hacker News
C’est intéressant, mais j’ai envie de contester ce passage : « Si on l’exprime dans d’autres unités, la magie disparaît aussitôt. Donc ce n’est pas une coïncidence »
En général, c’est plutôt un signal fort de coïncidence. Si l’on cherche une heuristique pour savoir si quelque chose n’est pas une coïncidence, « est-ce que cela reste vrai quand on change d’unités ? » est le bon critère
Cela dit, ce cas-ci semble être un exemple particulier où cette heuristique échoue
Si π² était exactement égal à g, et que la « magie » disparaissait dans d’autres unités, on pourrait alors dire « donc ce n’est pas une coïncidence » et conclure que c’est lié aux unités elles-mêmes
Mais π² n’est qu’approximativement égal à g, et la magie disparaît dans d’autres unités ; donc, avant de lire l’article, j’aurais plutôt pensé à une coïncidence
En tant que physicien, ça se tient. π = 3, π² = 10, et c’est g
Je ne vois pas pourquoi tout le monde est surpris
Ah, et il me semble qu’une année fait π*10e9 secondes
Une autre « belle coïncidence » est que la conversion des miles en kilomètres utilise la constante 1.609344 : kilometers = miles * 1.609344. Appelons cette constante 1.609344 « km »
Il se trouve que km est très proche du nombre d’or (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... La différence n’est que d’environ 0,5 % (100 * (gr/km - 1) = 0,54 %) ! Pour reprendre les mots de l’auteur : « Si on l’exprime dans d’autres unités, la magie disparaît aussitôt. Donc ce n’est pas une coïncidence... » euh... une seconde ?
Il y en a une autre. π (3.141592654...) est presque égal à 4 / sqrt(gr) (3.144605511...), appelons ce dernier « ap » pour « almost pi ». Cela relie π au nombre d’or, avec seulement 0,096 % d’écart (100 * (pi/ap - 1)). Il y a forcément quelque chose de significatif, non ?
Et enfin, ma préférée : 111111111^2 = 12345678987654321. C’est... euh... attendez...
Si la longueur du mètre avait été définie comme celle du pendule battant la seconde, g aurait valu exactement π². Dans l’équation du pendule :
T = 2π√(L/g)En posant T = 2 s, L = 1 m :
2 s = 2π√(1 m / g)En résolvant pour g :
g = π² m/s²Cela serait vrai quelle que soit l’intensité de la gravité, mais la longueur du mètre aurait varié en conséquence
[1]. En fait, Talleyrand l’a proposé en 1790. Imaginez un monde où cela serait devenu réalité
Il y a quelque chose de lié que j’aime bien. Pourquoi le nombre d’Avogadro et la constante de Boltzmann semblent-ils être inverses l’un de l’autre, N ~ 1/k ? À cause des unités, la phrase n’a pas vraiment de sens, mais dans le système MKS, c’est vrai
Parce qu’en les multipliant, on obtient la constante des gaz, qui vaut environ 1. Ce sont tous deux des nombres qui font passer d’unités microscopiques à des unités à échelle humaine, et ils s’annulent dans la constante des gaz, qui décrit les gaz tels qu’on les expérimente à l’échelle humaine
La plage de températures est relativement étroite (100~1000), et si l’on avait défini différemment le mètre, la seconde et le kilogramme, il n’y aurait aucune raison que la plage de P*V ne s’éloigne pas de cette plage, par exemple vers 0,01~0,1
Difficile de faire plus mal pour expliquer ça
À quel public cet article s’adresse-t-il ? Pour quelqu’un qui ne connaît pas la physique, c’est une explication beaucoup trop longue et confuse. Expliquer qu’une unité dépend d’une autre, et pourquoi la capacité à reproduire soi-même le système métrique est importante, serait bien plus essentiel qu’une longue transcription de l’histoire de l’étalon de longueur.
Beaucoup de questions restent aussi sans réponse. Comment la seconde était-elle définie ? Le temps ne se mesure-t-il pas avec un pendule ? Pourquoi une définition astronomique était-elle plus fiable ?
Pour quelqu’un qui connaît la physique, on pourrait écrire ça de façon bien plus courte et claire. Par exemple : « Une définition universelle du mètre a besoin d’une constante présente dans la nature, comme la gravité. On pourrait mesurer la distance parcourue par un objet en chute pendant un temps donné, mais il est plus facile d’utiliser un pendule. Un pendule oscille régulièrement avec une période d’environ 2πsqrt(longueur du fil/gravité). Si l’on fixe la gravité à π², le π s’annule après la racine carrée et l’on obtient T = 2*sqrt(Length). Un pendule d’un mètre met 2 secondes pour un aller-retour, et 1 seconde pour une oscillation simple, ce qui est pratique. À l’époque, les horloges étaient assez précises, et la seconde pouvait être reproduite par des observations astronomiques. On pouvait donc prendre un pendule, ajuster sa longueur pour qu’il oscille exactement une fois par seconde, puis utiliser ce fil ou cette tige pour mesurer n’importe quoi. Comme cela semblait bien, on a modifié la constante de gravité pour qu’elle vaille π² (9,87 m/s²). Si l’on raccourcit le mètre, tout devient plus long. Plus tard, on s’est rendu compte que la gravité variait à la surface de la Terre et qu’il était difficile de reproduire un pendule mathématique parfait ; on est donc passé à une définition astronomique fondée sur la taille de la Terre. Elle aussi posait problème, alors on a conservé à Paris une barre physique d’un mètre. Depuis quelques années, les physiciens ont commencé à utiliser la constante de Planck, la plus petite distance mesurable. »
Désormais, la vitesse de la lumière n’est plus une valeur mesurée, mais une valeur définie. C’est assez profond, car notre système d’unités repose désormais sur la validité de la relativité restreinte.
1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre
C’était un joli retournement issu de l’histoire de la définition du mètre, et un excellent article
En lisant, j’ai pensé à des mathématiciens comme Ramanujan, qui passaient pas mal de temps à jouer avec des nombres au hasard pour y trouver des liens. Cela dit, dans ce cas précis, l’auteur connaissait probablement l’histoire dès le départ.
Quoi qu’il en soit, j’ai l’impression qu’un diplôme de mathématiques tue en partie le plaisir d’explorer les relations entre nombres. Enfant, j’aimais créer et trouver des liens comme dans d’étranges gribouillis ; à la fin de mon cursus, j’avais plutôt envie de réfléchir aux liens entre les éléments de base plus abstraits que j’avais appris.
Malgré tout, il semble encore y avoir beaucoup de mathématiciens accomplis qui travaillent de cette manière : remarquer un lien étrange, puis élaborer la théorie expliquant pourquoi il existe, ce qui mène parfois à des résultats vraiment intéressants.
À ce sujet, je recommande The Measure of All Things de Ken Alder, sur les origines du système métrique et la première conférence scientifique. C’est étonnamment très captivant à lire.
https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...
Cela n’a absolument rien à voir avec le contenu, mais concerne le site lui-même.
Quand j’accède au site, il est complètement cassé. Après enquête, si Stylus (l’extension d’injection de CSS) est activé avec n’importe quelle règle, même seulement des règles globales, le site devient inutilisable. Comme il est construit avec un framework React, il ne s’affiche pas simplement bizarrement : il casse carrément.
J’ai ouvert un ticket et reçu rapidement une réponse du développeur de Stylus : ce site web, ainsi que tous les sites créés avec caseme.io, semblent lancer une erreur et casser lorsqu’ils détectent un nœud injecté dans ``.
[1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803
Je doute fortement que la stratégie consistant à dire « si vous devez acheter davantage de tissu, vous auriez fait venir la personne la plus grande du village pour mesurer le tissu avec sa coudée » ait réellement fonctionné auprès des vendeurs de tissu.
Ils n’avaient peut-être pas de poids et mesures officiels, mais ils n’étaient pas idiots.