a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) : preuve visuelle

 (futilitycloset.com)
1 points par GN⁺ 2024-12-16 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • Une courte note de mathématiques qui illustre graphiquement la formule de la différence de deux carrés a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • L’idée centrale est l’identité de factorisation qui transforme la différence de deux carrés en produit de la somme et de la différence
  • Le schéma montre la correspondance entre l’aire de a^2 – b^2 et celle de (a + b)(a – b)
  • Comme le dit Sophie Germain, cela souligne que l’algèbre et la géométrie peuvent exprimer la même relation de deux manières différentes
  • Ce n’est pas seulement une formule à mémoriser sous forme d’équation : le réarrangement des aires permet de vérifier intuitivement l’identité

Voir la différence de deux carrés sous forme de schéma

  • Le visuel présente une preuve visuelle de a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • L’objet de la preuve est l’identité qui exprime la différence de deux carrés comme le produit de la somme et de la différence de deux termes

Le lien entre algèbre et géométrie

  • Sophie Germain a déclaré : « On a dit que l’algèbre n’était que de la géométrie écrite, et que la géométrie n’était que de l’algèbre figurée »
  • Cette citation est ajoutée pour montrer que formules et schémas peuvent représenter la même relation de différentes façons

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1 commentaires

 
GN⁺ 2024-12-16
Commentaires sur Hacker News

  • Si vous aimez ce genre de choses, il existe un livre qui rassemble uniquement des preuves visuelles : https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr..., et Wikipedia a aussi un article sur le sujet : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
    Il y a quelques années, avec mon directeur de thèse et un collègue, nous en avons redessiné plusieurs en LaTeX https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor... ; nous comptions les imprimer en posters pour un événement du Pi Day, mais la pandémie a empêché sa tenue

    • Ce travail est vraiment excellent. Ça vaudrait peut-être le coup d’ajouter les sources ou crédits dans le PDF
      Même si les gens téléchargent le fichier puis oublient d’où il vient, ce serait bien qu’ils puissent attribuer le mérite au bon endroit

  • Cette vidéo sur les raisons de se méfier des preuves visuelles m’est revenue en tête : https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
    Elle contient aussi une “preuve” que π vaut exactement 4. Ici aussi, comme quelqu’un le souligne plus bas, il y a une hypothèse non justifiée, et on suppose au minimum que b < a

    • En 3e, mon prof de géométrie insistait fortement sur le fait qu’il ne fallait jamais supposer des longueurs ou des angles qui ne sont pas explicitement indiqués sur la figure
      En particulier, il disait qu’il ne fallait pas supposer qu’un dessin est à l’échelle ; même si un quadrilatère ressemble à un carré, il fallait le traiter comme un quadrilatère inconnu à moins qu’il soit écrit que c’en est un, ou qu’on ait assez d’informations pour le déduire. Il disait qu’en contrôle, si on ne respectait pas ça, il enlèverait “davantage de points que le barème de la question”, et il l’a réellement fait en donnant une figure qui ressemblait à un cerf-volant, tout en imposant des conditions sur les angles qui n’étaient possibles que pour un parallélogramme et pas pour un cerf-volant, afin de pénaliser davantage les élèves qui s’étaient trompés
    • Le problème de cette preuve, c’est simplement qu’elle suppose que la valeur à la limite est la même que la valeur à l’infini
      Si on pose pi(n) comme une fonction définie sur N ∪ {inf}, donnant la valeur de “pi” à l’étape n du procédé, et que pi(inf) est par définition la valeur sur le vrai cercle, alors on a simplement une fonction pour laquelle lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf). Pour tout n fini, la valeur est 4 ; à l’infini, elle vaut 3.1415...
      On peut reformuler sans utiliser “l’infini”, mais c’est la façon la plus claire d’y penser. Ce n’est pas très différent de la fonction delta de Kronecker delta(t), qui vaut 1 en t=0 et 0 ailleurs. On a lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t)
    • On peut supposer sans perte de généralité que b < a
    • Oui, mais cela dépend du fait d’itérer à l’infini l’ajustement du périmètre. Ici, le simple réarrangement de quelques cases n’implique rien d’infini
    • Ça reste vrai si les rectangles d’aire négative ne vous dérangent pas

  • Voici une preuve visuelle du théorème de Pythagore : https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
    Le théorème de Pythagore ne m’est pas immédiatement intuitif, donc celui-ci me paraît bien plus “utile”. La preuve du billet original semble assez redondante, puisqu’elle découle directement de a(b+c)=ab+ac. Construire une intuition de la distributivité est très important dans l’enseignement des maths, mais j’ai l’impression qu’on développe mieux l’intuition de sa validité sans s’appuyer sur la géométrie

    • J’ai longtemps été vraiment convaincu que si on trisectionnait un segment, on pouvait en traçant une ligne depuis un point trisecter aussi un angle de 60 degrés en trois angles de 20 degrés, mais en réalité ce n’est pas le cas
    • Cette preuve visuelle ne semble pas complète. Il faut aussi démontrer que le quadrilatère de droite est un carré
    • Je ne trouve pas ça plus redondant que le théorème de Pythagore. On pourrait aussi dire que le théorème de Pythagore découle directement de la définition du produit scalaire

  • Il faut faire attention. À force de croire aux “preuves” visuelles, on pourrait aussi croire à des choses comme ceci : https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

    • Celui-là semble conçu pour tromper
      Si quelqu’un dessinait la figure tout en réfléchissant au problème, il aurait soit intentionnellement fait en sorte que les deux angles soient égaux, soit rendu évident qu’un triangle a une pente de 8/3 et l’autre de 5/2, donc que leurs pentes diffèrent clairement
      Une bonne preuve visuelle ne fait que dire une véritable algèbre avec des lignes et des formes au lieu de symboles, et le résultat doit, dans un certain sens, rester algébrique. C’est aussi le cas de l’exemple lié comme de la célèbre preuve de Pythagore. Si vous commencez à sortir une règle pour mesurer, c’est que vous êtes déjà parti dans la mauvaise direction. Tous les résultats doivent être algébriques plutôt que visuels, mais exprimer cette algèbre avec des dessins au lieu de lettres est tout à fait acceptable
    • Je ne vois pas bien ce que signifie “on pourrait y croire”. Vous suggérez que l’exemple présenté n’est pas vrai ? Il est tout à fait vrai
      Au premier regard, c’est trompeur pour l’observateur, parce qu’il est difficile de distinguer 3/8 de 2/5, et qu’on suppose donc que les deux triangles ont la même pente. Mais cette preuve visuelle montre en réalité honnêtement qu’ils ne sont pas égaux

  • Une méthode similaire est aussi utile pour le calcul mental des carrés. Par exemple, 1005² se calcule comme 1000² plus deux blocs de 5×1000, puis un petit bloc de 5², ce qui donne 1,010,025
    À l’inverse, 995² se calcule comme 1000² moins ces deux mêmes blocs de 5×1000, puis plus 5², ce qui donne 990,025

  • Comme quelqu’un de faible en géométrie mais à l’aise en algèbre, je trouve ça vraiment étonnant. Je n’arrive même pas à commencer à comprendre comment ce dessin montre que la formule est vraie, y compris pour ces cases précises.
    En revanche, le lien avec la multiplication qui fait fonctionner l’algèbre me paraît très clair. Je ne veux pas dire que l’exemple est mauvais ou bon, juste que c’est fascinant de voir à quel point les gens pensent différemment

    • Dans la première figure à gauche, on voit que la grande surface carrée a pour largeur et hauteur a, donc son aire est a×a, c’est-à-dire a².
      Le petit carré à l’intérieur a pour largeur et hauteur b, donc son aire est b². En substance, on enlève le petit carré du grand carré, donc on obtient a² - b². Dans la dernière figure à droite, un côté mesure (a-b) et le côté du haut mesure (a+b), donc l’aire est (a-b)(a+b). Ainsi, a² - b² = (a + b)(a - b), et les étapes intermédiaires montrent visuellement le déplacement des aires
    • Je me demande à quel moment, parmi les cinq figures, la compréhension se rompt
    • Quelle partie est difficile à comprendre ?

  • On dirait que cela montre seulement qu’il existe certaines valeurs de a et b pour lesquelles l’égalité est vraie. Cela ne montre pas qu’elle est vraie pour toutes les valeurs de a et b

    • À part la condition qu’ils soient positifs, cette preuve impose-t-elle d’autres contraintes à a et b ?
    • Vraiment ? C’est aussi vrai si a=0 ou b=0

  • Futility Closet avait un podcast charmant et intéressant. Il me manque. Heureusement, ils tiennent encore le blog, ce qui fait plaisir

    • J’aimais vraiment beaucoup ce podcast. Je n’ai toujours pas trouvé de remplaçant convenable

  • J’aime bien regarder quelques vidéos YouTube de Mathologer, et il y a souvent d’excellentes preuves visuelles
    https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (somme de deux carrés de Fermat)
    https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (théorème de Ptolémée)
    https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (nombres irrationnels)

  • https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html vaut aussi le détour
    Il y a beaucoup de superbes visualisations, dont ma preuve du théorème de Pythagore préférée
    https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...