π dans d’autres univers

• Un article qui examine l’idée de la façon dont la valeur de π (Pi) peut changer selon la définition de la distance
• π, le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, s’exprime généralement par C=2πr, où C est la circonférence, r le rayon, et π vaut environ 3,14159
• Le texte explore l’idée que π peut prendre des valeurs différentes selon la manière dont on définit le cercle et la distance
• Le concept de cercle, défini comme l’ensemble des points situés à la même distance du centre, peut s’appliquer à diverses situations, comme courir ou conduire à partir d’un point central
• La notion de distance peut être étendue à d’autres fonctions de « coût », comme l’effort nécessaire pour naviguer contre le vent, mais toutes les fonctions de coût ne définissent pas une distance valable
• Introduction du concept de « métrique » en mathématiques. Une métrique est une fonction pouvant servir de fonction de distance si elle respecte certaines règles
• Parmi les exemples de métriques figurent la distance de Manhattan (d=x+y), utilisée lorsqu’on conduit dans une grille urbaine, et la distance maximale (d=max(x,y)), utile lorsque seul compte le temps de la tâche la plus longue
• Dans un univers où la distance est mesurée avec la distance de Manhattan ou la distance maximale, la valeur de π est 4
• Le texte présente aussi la notion de métrique de p-norme. Il s’agit d’une famille infinie de métriques définies par d=(xp+yp)1/p, où p peut être n’importe quel nombre supérieur ou égal à 1
• On peut calculer la valeur de π pour différentes p-normes, et la plus petite valeur possible est notre π habituel (environ 3,14159)
• L’article conclut que, pour toutes les métriques, π se situe entre 3 et 4, et que la métrique donnant π=3 correspond à une équation complexe qui, une fois dessinée, forme un hexagone
• Il propose de célébrer tout le mois de mars comme le mois de π, en utilisant chaque jour une métrique différente

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Avis Hacker News

• Discussion autour du concept de π dans un autre univers, avec l’idée que la valeur de π pourrait varier selon la géométrie de l’univers
• Les mathématiques sont considérées comme un jeu logique, où l’on déduit des conclusions à partir d’hypothèses. Plus une conclusion nécessite peu d’hypothèses, plus elle est généralement applicable
• Définitions de plusieurs constantes analogues à π qui ne coïncident pas lorsque p != 2. Si l’on définit π comme l’aire du cercle unité, on obtient un autre ensemble de valeurs
• Même si un autre univers possède géométriquement un π différent, il aurait tout de même une constante importante ayant la même valeur que notre π
• π apparaît en analyse et en statistique indépendamment de la géométrie. Les extraterrestres d’un autre univers connaîtraient cette valeur, mais pourraient avoir une constante différente pour les cercles
• Introduction du concept de métrique pour expliquer qu’il pourrait exister une constante du cercle différente dans un autre univers. Toutefois, une métrique arbitraire ne possède pas nécessairement une mise à l’échelle linéaire ni une invariance par transformation
• Article salué pour sa qualité d’information et son accessibilité, avec des visualisations interactives
• Remarque sur l’alignement des « cercles » dans des métriques alternatives, avec la question de savoir si la constante π pourrait toujours prendre une autre valeur lorsque l’orientation du système de coordonnées change