π dans d’autres univers

 (azeemba.com)
2 points par GN⁺ 2023-10-30 | 1 commentaires | Partager sur WhatsApp
  • π est le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle, mais selon la façon dont on définit la « distance », des cercles de même rayon peuvent avoir des formes différentes et la valeur de π peut elle aussi changer
  • En mathématiques, une métrique (metric) fixe les 4 conditions qu’une fonction de distance doit satisfaire, ce qui permet de traiter, moyennant quelques adaptations, la géométrie, le calcul infinitésimal et la topologie au-delà de la distance euclidienne
  • Avec la distance de Manhattan et la distance du maximum, le cercle apparaît respectivement comme un carré pivoté et comme un carré, et le calcul de la circonférence donne dans les deux cas π = 4
  • La p-norme est une famille infinie de métriques qui inclut les distances de Manhattan, euclidienne et du maximum ; la valeur π = 3,14159… de la distance euclidienne habituelle, pour p = 2, est la plus petite possible dans cette famille
  • Si l’on élargit à toutes les métriques, π se situe entre 3 et 4 ; dans une certaine métrique hexagonale, le cercle de rayon 1 a une circonférence de 6, ce qui donne π = 3

Pourquoi la valeur de π change

  • En général, π apparaît dans la relation C = 2πr entre la circonférence C d’un cercle et son rayon r
  • Mathématiquement, un cercle est l’ensemble des points situés à la même distance d’un centre
  • π dépend donc de la définition de la distance utilisée pour mesurer la circonférence et le rayon d’un cercle
  • La forme des points ayant le même « coût » n’est pas toujours un cercle euclidien
    • Les points que l’on peut atteindre en courant pendant une même durée peuvent former un cercle au sens d’une distance mesurée en temps
    • Les points que l’on peut atteindre en voiture avec la même quantité de carburant peuvent aussi être vus comme un cercle au sens d’une distance mesurée en carburant
    • Si l’on navigue un jour de vent fort, les points atteignables avec le même effort forment une ellipse décalée d’un côté selon la direction du vent

Qu’est-ce qui fait d’une fonction de distance une métrique

  • En mathématiques, une métrique définit les conditions permettant de reconnaître une fonction comme une distance
  • Une métrique doit satisfaire les règles suivantes
    • La distance d’un point à lui-même est toujours 0
    • La distance entre deux points distincts est toujours positive
    • La distance de a à b est égale à la distance de b à a
    • La distance directe de a à c n’est pas supérieure à la distance de a à c en passant par b
  • « L’effort nécessaire pour naviguer » se prête difficilement à une métrique
    • L’effort étant différent selon que l’on navigue avec le vent dans le dos ou contre le vent, la 3e condition n’est pas satisfaite
  • La distance euclidienne d = sqrt(x² + y²) est la définition traditionnelle de la distance, utilisée aussi bien dans la géométrie grecque antique que dans le calcul infinitésimal de Newton
  • Au début du XXe siècle, les mathématiciens ont compris qu’une fonction satisfaisant les exigences de base pouvait être utilisée comme fonction de distance, et que de nombreux résultats mathématiques pouvaient aussi s’y appliquer avec quelques modifications

π avec la distance de Manhattan

  • La distance de Manhattan est la distance d’une ville en grille où l’on ne peut pas se déplacer en diagonale et où l’on additionne les déplacements dans les directions x et y
  • Sa formule s’écrit d = x + y
  • Par exemple, si l’on place sur les axes x et y les erreurs de prévision d’évolution de population de deux villes, les points où l’erreur totale est de 1 000 personnes forment un « cercle »
  • Dans cette métrique, le cercle ressemble à un carré pivoté de 45 degrés
  • Si le rayon est de 1 000, la longueur de chaque côté en distance de Manhattan est de 2 000, et la circonférence des 4 côtés est de 8 000
  • Comme 8,000 = 2π(1,000), dans ce système de distance, π = 4

π avec la distance du maximum

  • La distance du maximum est une métrique qui utilise comme distance la plus grande des deux valeurs x et y
  • Sa formule s’écrit d = max(x, y)
  • Elle correspond à des situations où, lorsque plusieurs tâches sont effectuées en parallèle, la durée totale est déterminée par l’élément qui prend le plus longtemps
  • On peut prendre l’exemple d’un concours de cuisine où deux ingrédients sont préparés en parallèle et où les deux doivent être prêts entre 55 et 65 minutes
  • Dans ce système de distance, le cercle a la forme d’un carré
  • Pour un rayon de 5, la distance de chaque côté est de 10, et la circonférence des 4 côtés est de 40
  • Comme 40 = 2π(5), avec la distance du maximum aussi, π = 4

π dans la famille des p-normes

  • La métrique de p-norme est une famille infinie de métriques définie par d = (x^p + y^p)^(1/p)
  • p peut prendre toute valeur supérieure ou égale à 1
  • La p-norme généralise les distances précédentes
    • p=1 correspond à la distance de Manhattan
    • p=2 correspond à la distance euclidienne
    • p=∞ correspond à la distance du maximum
  • La forme du « cercle » varie selon la valeur de p
  • Pour les valeurs générales de p, il est difficile de calculer la circonférence à l’œil nu ; on peut donc la calculer en faisant suivre à un ordinateur la circonférence du cercle et en lui faisant suivre la distance parcourue
  • D’après les résultats d’un article existant, les valeurs de π selon la p-norme sont les suivantes
    • p=1: π=4
    • p=1.1: π=3.757…
    • p=2: π=3.141…
    • p=2.25: π=3.155…
    • p=3: π=3.259…
    • p=11: π=3.757…
    • p=∞: π=4
  • Cet article démontre également que, sur l’ensemble des p-normes, 3,14159… est la plus petite valeur possible de π

L’intervalle de π pour toutes les métriques

  • Les p-normes sont infiniment nombreuses, mais il existe encore davantage de métriques qui ne sont pas des p-normes
  • Un article de Sahoo démontre que, pour toutes les métriques, π se situe entre 3 et 4
  • On peut vérifier des métriques donnant π = 4 avec la distance de Manhattan et la distance du maximum
  • Un exemple donnant π = 3 peut être obtenu à partir de la métrique hexagonale présentée dans une réponse StackExchange
  • La formule de cette distance est la suivante
d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |
  • Le π utilisé dans cette formule est le π habituel issu des fonctions trigonométriques euclidiennes
  • Le cercle de cette métrique devient un hexagone
  • En calculant avec la formule de distance la longueur de chaque côté de l’hexagone, chaque côté vaut 1, et la circonférence totale vaut 6
  • Pour un rayon de 1, 6 = 2π(1), donc dans cette métrique, π = 3

π-day au lieu de π-month

  • Le π-day du 14 mars est aligné sur le π habituel, 3,14…
  • Comme, dans l’ensemble des métriques, π peut se situer entre 3 et 4, on pourrait célébrer tout le mois de mars comme un π-month si l’on trouvait une métrique correspondant à chaque date

À lire aussi

1 commentaires

 
GN⁺ 2023-10-30
Avis de Hacker News

  • La formulation qui voit les mathématiques comme « un jeu consistant à partir d’hypothèses pour trouver les conclusions logiques possibles » résume vraiment bien une idée qui me trottait dans la tête depuis un moment

    • C’est aussi pour cela que Lean4 et mathlib sont intéressants
      Plus les gens ajoutent à mathlib des démonstrations formellement vérifiées, plus il devient facile de démontrer formellement d’autres théorèmes par-dessus
      En partant de zéro, même une démonstration simple demande beaucoup de réécriture et de spécification des détails, ce qui relève presque du pur labeur ; mais dans mathlib, des outils comme simp ou linarith semblent prendre en charge une bonne partie du travail répétitif et lourd
      L’effet boule de neige est vraiment fascinant, mais il est fort probable que tout ce que je comprends y soit déjà, donc j’aurais du mal à y contribuer de manière significative
    • Penser les mathématiques et la logique comme un gigantesque automate cellulaire est étonnant
      Les « axiomes » ne correspondent pas forcément à des « vérités » ; ils ressemblent plutôt à des contraintes arbitraires qui engendrent de la complexité, et parfois le système qui en résulte devient utile
    • Les mathématiques sont le jeu le plus ancien, le plus vaste et le plus complexe auquel l’humanité se soit adonnée
      Elles sont utiles, et il y a beaucoup à creuser philosophiquement au sujet de cette utilité, mais je vois cela comme une propriété distincte du jeu lui-même
      Même si c’est aussi inutile que convertir un livre de cuisine en hexadécimal pour le plaisir, que cela n’augmente pas les connaissances et que l’utilité en soit même négative, cela reste quelque chose qu’on peut faire dans ce jeu
      Tenter de démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux est un niveau bien plus difficile ; ce jeu reste possible quels que soient l’âge et le niveau, et peut se jouer dans sa tête, avec du papier et un crayon, ou avec le plus grand cluster de calcul au monde
      Techniquement, tous les autres jeux sont aussi des sous-ensembles de ce jeu, et chacun peut y jouer comme il l’entend, qu’il s’agisse de colorier de jolis dessins, de faire entrer des atomes en collision ou de compter jusqu’au plus grand nombre possible
    • Le même principe s’applique aussi à la programmation
      Plus une fonction en sait peu sur ses arguments, plus elle peut être utilisée de manière générale
    • Un bon exemple est l’effet de l’axiome du choix sur la théorie de la mesure et la théorie des probabilités
      L’axiome du choix implique l’existence d’ensembles non mesurables au sens de Lebesgue, mais on ne peut pas en donner d’exemple concret ; on peut seulement en prouver l’existence
      À l’inverse, dans une théorie alternative qui ajoute l’axiome de détermination, tous les sous-ensembles des réels deviennent mesurables
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
      https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
      https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

  • Même si, dans la géométrie d’un autre univers, π était différent, il existerait sans doute encore une constante importante ayant la même valeur que notre π
    Par exemple, les zéros de la fonction définie par la série x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... sont nπ pour les entiers n, où π est notre π
    Notre π apparaît aussi dans la fonction exponentielle, dont la période est 2πi

    • Oui. Pour donner des exemples plus précis, les valeurs suivantes restent liées à notre π, indépendamment de la géométrie
      La somme de la série 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) vaut π : https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
      La somme de la série (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) vaut π²/6 : https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
      Par conséquent, la probabilité que deux nombres choisis uniformément dans [1…N] soient premiers entre eux tend vers 6/π² quand N devient grand
      Le produit 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… vaut aussi π : https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
      Quand n grandit, (n!/(√n (n/e)^n))²/2 converge très lentement vers π : https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation exemple : https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
      Il existe aussi beaucoup d’autres résultats non géométriques : https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
    • J’aurais plutôt tendance à penser l’inverse
      Si je comprends bien, historiquement, les humains de la civilisation européenne ont défini la fonction exponentielle complexe de façon à ce qu’elle ait une période 2πi, afin de la faire coïncider avec les périodes des fonctions sin et cos déjà définies
      On aurait pu la définir avec une autre période. Par exemple, si l’on avait posé que « 360 degrés » valait 1 au lieu de 2π, avec sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0, alors on aurait aussi défini la période de e^ix comme valant 1
      C’est un peu pareil pour le système décimal. On l’a utilisé historiquement parce qu’on a dix doigts, mais il n’y a aucune raison que des extraterrestres aient eux aussi dix doigts
    • Il vaut mieux dire que π est partout le même nombre, 3.14...
      Simplement, dans un autre univers, il se peut qu’on n’utilise pas π dans la formule de la circonférence d’un cercle
      Avec la distance de Manhattan (L_1), C = 8 R ; avec la distance euclidienne (L_2), C = 2π R ; avec la distance du maximum (L_infinity), C = 8 R
    • Je me demande si, en définissant une distance unitaire — par exemple la distance entre 2 et 3, ou entre 5 et 6 — avec leur fonction de distance, leur π réapparaîtrait
      Ça ressemble à un changement de base dans un système de numération

  • Il existe plusieurs façons de définir une constante analogue à π pour la boule unité d’une norme p, et pour p != 2 elles ne coïncident pas nécessairement
    Si l’on définit π comme l’aire de la boule unité, on obtient des valeurs complètement différentes ; cette définition vérifie de jolies propriétés, par exemple elle devient la constante de période d’un ensemble naturel de fonctions trigonométriques pour les p-cercles
    En allant plus loin, pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...
    En revanche, la définition de π fondée sur le périmètre / la longueur d’arc a la propriété intéressante que pi(p) = pi(q) pour des exposants conjugués p, q
    « Squigonometry: The Study of Imperfect Circles » est une référence intéressante qui traite de ce sujet

    • Je me demande si le fait que ce ne soit pas un espace de Hilbert a des effets étranges sur la géométrie
      Il faudrait sans doute abandonner l’identité de polarisation, ce qui aurait probablement aussi un impact sur les parallélogrammes, mais je ne sais pas exactement lequel

  • pi = 3.14159… apparaît aussi en analyse et dans son prolongement, les statistiques ; il est donc indépendant de la géométrie.
    Les extraterrestres d’un autre univers connaîtraient eux aussi cette valeur ; ils auraient simplement une autre constante pour les cercles.
    De toute façon, ils n’utiliseraient pas l’alphabet grec, donc il faudrait une traduction, et il est moins étrange de considérer 3.14159… comme π que de faire correspondre leur 3.757… à « π ».
    Bien sûr, la question de savoir laquelle de 3.14…(π), 6.28…(2π) ou 0.785…(π/4) devrait être prise comme constante fondamentale reste discutée, et des extraterrestres pourraient penser autrement.
    L’article introduit la notion de fonction de distance pour expliquer la constante du cercle dans un autre univers, mais une fonction de distance arbitraire ne garantit ni changement d’échelle linéaire ni invariance par translation.
    Pour définir de manière pertinente une constante du cercle, il faut des hypothèses plus fortes qu’une fonction de distance, par exemple un espace vectoriel normé, et les exemples donnés semblent en réalité être des espaces vectoriels normés plutôt que de simples espaces métriques.

    • Le premier point n’a rien de surprenant.
      Notre π est lié à l’unique fonction de distance dont le cercle unité est entièrement continu et différentiable.
      La norme 2 est très particulière pour de nombreuses raisons, et il paraît naturel que la constante reliant la distance en un point au résultat de l’intégration d’une constante le long du chemin formé par ces points apparaisse plus souvent que d’autres constantes.
      Si le cercle unité de cette fonction de distance n’est pas continu et différentiable partout, beaucoup d’autres choses peuvent s’effondrer par effet domino.
      Il y a quelque chose d’uniquement central dans la relation concise entre points, distances et chemins.
    • Le premier point m’intrigue.
      Comme expliqué dans un autre commentaire, la valeur 3.14159 de π peut être déduite de la théorie des nombres pure, mais elle joue, comme par magie, un rôle majeur dans la formation du monde physique que nous connaissons.
      Pourrait-il exister une autre théorie des nombres dans un autre univers, ou bien la théorie des nombres est-elle vraie indépendamment de l’univers ? Je me demande à quoi pourrait bien ressembler une théorie des nombres alternative.
    • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
      Je ne veux pas sonner comme Buzzfeed, mais le tableau 3 est assez convaincant.
    • Exact. Même dans les exemples, ils utilisent en fait 2pi en permanence.

  • Cette personne ne semble pas connaître la voile.
    Le vent de travers, où l’on navigue à angle droit par rapport au vent, fait partie des allures les plus rapides grâce à la portance de la voile.

    • Je savais que quelqu’un ferait cette remarque.
      C’est pour ce genre de pinaillage à la fois très précis et exact, mais à propos d’une analogie inexacte, sans pour autant dismiss tout l’article, que j’aime HN.
    • Je ne connaissais absolument rien à la voile, mais grâce à ce commentaire j’ai cherché les allures, et j’ai enfin compris un mystère qui me suivait depuis toujours : « comment un voilier peut-il progresser effectivement contre le vent ? »
      C’est vraiment fascinant, et la voile est une science remarquable.
    • Il est aussi intéressant de noter qu’en dépassant ainsi la vitesse de coque, le bateau se met à surfer sur sa propre vague d’étrave.
    • Le vent de travers n’est pas forcément l’allure la plus rapide.
      Cela dépend du bateau, de l’efficacité des voiles, de celle de la dérive ou de la quille, c’est-à-dire du rapport portance/traînée ; en général, une forme de reaching a de fortes chances d’être la plus rapide, mais elle peut ne pas être exactement perpendiculaire à la direction du vent réel.
      Cela dépend aussi de la vitesse du vent, de la hauteur des vagues, de la répartition du poids, etc.
    • Je me demande quelle forme aurait ce « cercle » si l’on introduisait les bonnes hypothèses.

  • Tous ces exemples supposent que la fonction de distance de fond est euclidienne.
    Si la fonction de distance bidimensionnelle de fond est la projection d’un espace tridimensionnel courbe, on peut tirer le centre du cercle et rendre π aussi grand que l’on veut.

    • Il n’y a pas ici de notion de « fonction de distance de fond ».
      Le rayon et la circonférence sont tous deux mesurés avec la fonction de distance elle-même.
      Si c’est une fonction de distance qui tire l’origine par rapport à la distance euclidienne, l’application doit être continue, et au final le rayon et la circonférence augmentent ensemble dans cette fonction de distance.
      En fait, l’article lié démontrait que, pour toute fonction de distance, la valeur de π est toujours comprise entre 3 et 4, bornes incluses, mais il semble ne pas avoir supporté le trafic ; voici donc un lien de remplacement : https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
    • Ce n’est pas une fonction de distance de fond qui est supposée, mais le fait que la géométrie de l’espace soit euclidienne.
      En géométrie non euclidienne, le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle n’est pas constant : il varie avec le diamètre, si bien que dans ce cas on ne peut pas définir « π » pour commencer.
    • C’est un peu hors sujet, mais presque tout ce que j’ai compris de π vient de modèles GIF 3D que je n’avais jamais vus à l’école.
      Ce genre de ressources devrait entrer au cœur de la courbe d’apprentissage bien plus tôt que 3B1B.

  • Enfant, j’aimais imaginer ce genre de relations.
    J’imaginais qu’il existait un dieu ayant créé l’univers, et que ce dieu pouvait être un enfant qui s’ennuyait, comme moi, en train de créer un univers pour un devoir scolaire.
    S’il avait tourné les boutons de π ou de e vers des valeurs rationnelles — en supposant bien sûr que, dans son univers divin, il pouvait aussi régler les boutons sur des valeurs irrationnelles exactes — notre vie aurait-elle été plus simple ou plus compliquée ? Peut-être plus simple.
    Qu’en serait-il de la taille apparente de la Terre, de la Lune et du Soleil vus depuis la Terre ? C’est un excellent indice, mais sans cette coïncidence nous en aurions peut-être appris davantage en astronomie.
    Les bizarreries quantiques de l’univers, ou les déséquilibres qui nécessitent littéralement de la matière noire, pourraient en réalité être des bugs dans le devoir bâclé d’un enfant, et n’avoir jamais eu de sens dès le départ.
    Mais ce qui m’a le plus longtemps occupé l’esprit, ce sont les nombres irrationnels.

  • Si j’ai bien suivi le fil HN, l’introduction à la théorie de la mesure de Terence Tao est incontournable.
    https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
    Mais sérieusement, qui va lire ou parcourir un livre gratuit de 260 pages sur la théorie de la mesure ?
    https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

    • Les notes de cours de Tao ne sont pas le genre de choses qu’on lit ou qu’on parcourt simplement.
      Je m’en suis servi pour apprendre la théorie de la mesure en autodidacte afin de sauter des prérequis à l’université, et c’était vraiment difficile.
      Il y a des exercices à peu près toutes les deux pages, et si l’on ne prend pas le temps de les résoudre, on ne doit pas en retirer grand-chose.
      En plus, ces exercices sont difficiles.
    • Je ne vois pas pourquoi il serait si difficile à croire que quelqu’un lise un livre de 260 pages.
      Les gens lisent tout le temps des livres de 260 pages.
      Ce n’est pas mon domaine d’intérêt, donc je ne lirai pas celui-ci, mais je suis occupé à lire des livres de plus de 100 pages sur d’autres sujets.

  • Il existe des espaces amusants construits avec des nombres p-adiques, et si l’on y définit une distance simple, les cercles présentent des propriétés étranges
    Par exemple, le diamètre, c’est-à-dire la distance entre les points du bord les plus éloignés, devient égal au rayon, c’est-à-dire la distance entre le bord et le centre
    Des choses curieuses se produisent aussi avec l’aire et la circonférence d’un disque, et un disque ouvert peut être en même temps fermé
    Ce qui y correspond à π est complètement bizarre
    Malheureusement, je ne me souviens pas des détails. C’était un exercice de cours de maths vers 2000
    https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

  • L’analogie avec le bateau me semble particulièrement mauvaise
    Elle compare implicitement un voilier par temps venteux à un voilier par temps sans vent, mais sans vent il n’y aurait même pas de cercle au départ
    Je ne suis pas spécialiste des bateaux, mais si le vent souffle à X nœuds, le bateau peut aller jusqu’à X nœuds dans le sens du vent, et contrairement à ce qu’affirme l’article, il peut aussi aller plusieurs fois plus vite que X par vent de travers
    On obtiendrait alors bien une ellipse semblable à celle du schéma, mais dans la direction opposée
    De plus, un bateau peut aussi progresser « contre » le vent grâce au virement de bord et à l’empannage