Des mathématiciens adolescents découvrent tous les nœuds dans une fractale stupéfiante
(quantamagazine.org)- Alors qu’il était doctorant à l’Université de Toronto, Malors Espinosa cherchait un problème de recherche que des lycéens pourraient tenter de démontrer, et s’est demandé si tous les nœuds pouvaient tenir dans une éponge de Menger
- L’éponge de Menger est une fractale obtenue en évidant de façon répétée un cube ; en 1926, Karl Menger a démontré que cette structure était une courbe universelle capable de contenir toutes les courbes
- Joshua Broden, Noah Nazareth et Niko Voth ont discrétisé les nœuds au moyen d’une arc presentation, puis ont mis au point une méthode utilisant les coordonnées de l’ensemble de Cantor pour éviter les trous de l’éponge
- Après plusieurs mois de réunions hebdomadaires sur Zoom, les trois élèves ont démontré que tous les nœuds pouvaient tenir dans l’éponge de Menger, et leur article a été publié sur arXiv
- Pour la version tétraédrique, ils ont montré qu’on pouvait y placer le trefoil knot et une famille plus large de pretzel knots, mais la question de l’extension à tous les nœuds reste ouverte
Un théorème nœuds-fractale né d’un problème de recherche pour lycéens
- À l’automne 2021, Malors Espinosa cherchait un problème de mathématiques qui soit à la fois démontrable par des lycéens eux-mêmes et doté d’un intérêt pour la recherche
- Il enseignait les idées de base de la recherche mathématique et la rédaction de preuves dans un atelier d’été destiné à des lycéens de la région, et certains élèves étaient prêts à travailler sur des problèmes sans corrigé
- Après avoir retrouvé la Menger sponge dans un manuel de théorie du chaos, cela a conduit à une question combinant cette fractale et la théorie des nœuds
L’éponge de Menger et la courbe universelle
- La Menger sponge se construit en divisant un cube comme un Rubik’s Cube, puis en retirant le petit cube central et les petits cubes centraux des six faces, avant de répéter indéfiniment le même processus sur les 20 cubes restants
- À mesure que les itérations avancent, le nombre de trous augmente de façon exponentielle ; après une infinité d’itérations, le volume tend vers 0 et la surface devient infinie
- En définissant cette éponge en 1926, Karl Menger a démontré que n’importe quelle courbe pouvait être déformée pour se loger quelque part sur l’éponge sans auto-intersection
- Des lignes simples et des cercles
- Des structures ressemblant à des arbres ou à des flocons de neige
- Des courbes semblables à de la poussière fractale
- En raison de cette propriété, Menger a appelé l’éponge une universal curve
Tous les nœuds homéomorphes à un cercle peuvent-ils aussi y tenir ?
- La question de Malors partait du fait que le théorème de Menger ne distingue pas les courbes homéomorphes (homeomorphic)
- Un nœud mathématique est une boucle fermée formée en reliant les deux extrémités d’une corde torsadée et nouée ; pour une fourmi qui marcherait dessus, il se comporte comme un cercle qui ramène au point de départ
- En ce sens, tous les nœuds sont homéomorphes à un cercle, mais la démonstration de Menger garantit seulement qu’un cercle peut tenir dans l’éponge
- L’objectif était de montrer que l’on pouvait trouver tous les nœuds dans l’éponge de Menger, tout en conservant leurs boucles et leurs enchevêtrements
Discrétiser les nœuds avec une arc presentation
- Les trois élèves, Joshua Broden, Noah Nazareth et Niko Voth, ont abordé le problème en représentant les nœuds sur une grille plane au moyen d’une arc presentation
- Une arc presentation transforme l’information sur les brins du nœud qui passent devant ou derrière les autres en un arrangement de points sur une grille, avec exactement deux points dans chaque ligne et chaque colonne
- On relie les points par des segments horizontaux et verticaux ; lorsque deux segments se croisent, le segment vertical est dessiné comme passant devant le segment horizontal
- Tout nœud peut être représenté sous cette forme quadrillée, ce qui facilite l’étude de ses propriétés importantes
Éviter les trous de l’éponge avec les coordonnées de l’ensemble de Cantor
- Les élèves ont utilisé l’idée de placer les segments horizontaux de l’arc presentation sur une face de l’éponge de Menger, et les segments verticaux sur la face opposée
- La partie la plus difficile consistait à relier les deux faces à travers l’intérieur de l’éponge à chaque coin de l’arc presentation, sans que le chemin ne tombe dans un trou
- Pour cela, ils ont exploité l’ensemble de Cantor, une fractale unidimensionnelle
- On divise un segment en trois parties et on retire le tiers du milieu
- On répète indéfiniment la même opération sur les deux segments restants
- Il reste finalement un ensemble de points dispersés
- Si l’on considère que l’éponge de Menger et l’ensemble de Cantor ont subi le même nombre d’étapes de retrait, alors les points d’une face de l’éponge dont les deux coordonnées appartiennent à l’ensemble de Cantor ne doivent pas correspondre à des trous
- En raison de la structure itérative de l’éponge, il ne doit pas non plus y avoir de trou juste derrière ces points ; le nœud peut donc la traverser sans quitter la matière de l’éponge
Une preuve que tous les nœuds tiennent dans l’éponge de Menger
- La tâche restante consistait à montrer que l’on pouvait comprimer ou étirer une arc presentation arbitraire d’un nœud de sorte que tous ses coins correspondent à des coordonnées de l’ensemble de Cantor
- Ces compressions et étirements ne modifient pas la structure globale de l’arc presentation ; le nœud qu’elle représente ne change donc pas
- Broden, Nazareth et Voth ont démontré que toute arc presentation pouvait être déformée de manière à ce que les points d’intersection des segments verticaux et horizontaux se trouvent dans l’ensemble de Cantor
- Ce résultat garantit que même un plus grand nombre de coins peut être aligné avec l’ensemble de Cantor, ce qui permet finalement de placer un nœud donné à une certaine étape d’itération de l’éponge de Menger
- Les trois élèves ont montré que tous les nœuds peuvent tenir dans l’éponge de Menger
Extension au problème de l’éponge tétraédrique
- Après avoir résolu la question initiale, les élèves ont commencé à étudier si tous les nœuds pouvaient aussi tenir dans une version tétraédrique de l’éponge de Menger
- Dans ce cas, la méthode existante, qui utilisait deux faces exactement opposées, ne fonctionne plus, ce qui rend le problème plus délicat
- Malors a un temps pensé qu’un trefoil knot ne pouvait pas tenir dans un tétraèdre, mais les trois élèves n’étaient pas d’accord et ont trouvé une nouvelle manière de le placer
- Ils ont ensuite démontré que la même chose était possible pour toute la famille plus générale de nœuds à laquelle appartient le trefoil, les pretzel knots
- La question de savoir si d’autres types de nœuds peuvent tenir dans une éponge tétraédrique reste ouverte
Vers une mesure de la complexité fractale par les nœuds
- Malors estime que la méthode des élèves pourrait devenir une manière plus générale de mesurer la complexité des fractales
- Toutes les fractales ne peuvent pas contenir tous les types de nœuds ; déterminer quels nœuds elles peuvent ou ne peuvent pas contenir pourrait donc servir de critère pour comprendre leur structure
- En 2014, des amateurs de mathématiques ont construit, dans le cadre d’un projet mondial appelé MegaMenger, une éponge de Menger finie d’environ 200 livres à partir de cartes de visite
- Allison Moore pense que ce résultat pourrait déboucher sur de nouvelles œuvres d’art mathématique réalisées avec des matériaux physiques
- Les trois élèves ont tous terminé le lycée ; seul Broden continue à travailler sur le problème du tétraèdre en parallèle de ses cours à l’université, et tous trois envisagent une carrière en mathématiques
1 commentaires
Avis sur Hacker News
Un puzzle dans le navigateur basé sur la théorie des nœuds ; je ne sais pas trop ce que j’ai appris en y jouant, mais c’était amusant.
https://brainteaser.top/knot/index.html
Quanta a vraiment l’air d’être un excellent magazine. Je viens de le découvrir.
Il y a une explication de « tous les nœuds sont homéomorphes (homeomorphic) à un cercle » ici :
https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...
Ce que pointe l’article d’origine, c’est que si l’on se restreint à l’image, on obtient un homéomorphisme du cercle vers cette image. C’est parce qu’il s’agit d’un plongement du cercle.
Si on le voit comme une application entre espaces topologiques — et comme on choisit généralement la catégorie lisse ou linéaire par morceaux, ce qui ajoute des contraintes — l’interprétation qui se rapproche le plus naturellement d’un « isomorphisme » est une paire d’homéomorphismes f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 satisfaisant Kf=gK. Autrement dit, cela correspond à une transformation naturelle ou à un carré commutatif.
On obtient alors presque ce que l’on veut, mais un homéomorphisme peut inverser l’orientation de l’espace ou celle du nœud, ce qui ne correspond pas aux phénomènes de nœuds physiques. Il faut donc orienter l’espace, et pour cela on passe à la catégorie linéaire par morceaux/lisse, ou bien on utilise l’homotopie/l’isotopie.
En réalité, un nœud est une application continue bijective du cercle vers l’image de cette application, c’est-à-dire le nœud. La réponse liée le dit aussi ainsi.
Modification : en relisant l’article, j’ai vu que cette explication intuitive y figurait déjà avec l’analogie de la fourmi.
J’aime vraiment Quanta. J’aimerais qu’il existe une édition imprimée.
Cela dit, comme les ados ne vont peut-être plus tellement à la bibliothèque aujourd’hui, il faudrait peut-être distribuer le magazine dans les toilettes, les couloirs et les cafés.
La « version tétraédrique de l’éponge de Menger » est généralement mieux connue sous le nom de tétraèdre de Sierpiński, et c’est la version 3D du triangle de Sierpiński.
Je ne comprends pas pourquoi utiliser spécifiquement une fractale. Pourquoi ne pas simplement utiliser une grille en 3D ? Une grille d’une résolution appropriée ne jouerait-elle pas exactement le même rôle ?
Ou bien s’agit-il de montrer qu’on peut tout faire même dans un sous-ensemble aussi contraint d’une grille 3D ?
Comme vous le dites, l’éponge de Menger est un sous-ensemble d’une grille 3D, donc les élèves devaient trouver une construction qui évite les trous. Personnellement, le résultat ne me surprend pas, mais il est joli.
Cela dit, la partie vraiment intéressante de l’article, à mon avis, est le problème ouvert à la fin : peut-on plonger tous les nœuds dans le tétraèdre de Sierpiński ?
J’aime le fait que la preuve soit élémentaire et facile à comprendre. Elle fait presque penser aux preuves du théorème de Pythagore, tout en semblant pouvoir être assez significative.
Très chouette. J’aurais aimé qu’ils montrent, avec une visualisation similaire, comment ils ont résolu le cas du tapis de Sierpiński.