Des adolescents mathématiciens nouent des nœuds à travers un fractal stupéfiant

Introduction

• À l’automne 2021, Malors Espinosa a voulu créer un problème de mathématiques que des lycéens pourraient démontrer.
• Ils ont prouvé qu’il est possible de trouver tous les nœuds à travers un fractal appelé l’éponge de Menger.

Éponge de Menger

• L’éponge de Menger est obtenue en retirant des cubes de plus en plus petits d’un cube.
• Par répétition infinie, ce fractal voit son volume tendre vers 0 tandis que sa surface devient infinie.

Nœuds et fractales

• Menger avait prouvé que toutes les courbes peuvent être contenues dans l’éponge, mais il n’avait pas été démontré que tous les nœuds pouvaient eux aussi y être inclus.
• Malors et trois lycéens ont démontré que tous les nœuds peuvent être contenus dans l’éponge de Menger.

Une nouvelle manière de voir les nœuds

• Les nœuds sont représentés à l’aide d’un diagramme spécial appelé présentation en arcs.
• Ils ont trouvé une manière de placer les lignes horizontales et verticales de cette présentation en arcs sur les faces de l’éponge de Menger afin d’étendre le nœud en trois dimensions.

Mesurer avec des nœuds

• Les élèves ont démontré que tous les nœuds « pretzel », y compris le trefoil knot, peuvent être contenus dans une version tétraédrique de l’éponge de Menger.
• Cette recherche pourrait proposer une nouvelle manière de mesurer la complexité des fractales.

Conclusion

• Cette recherche offre de nouveaux éclairages sur les fractales et la théorie des nœuds, et constitue un travail porteur de sens qui contribue à la vérité mathématique.