- Le calcul stochastique aborde des systèmes réels irréguliers comme le mouvement brownien en privilégiant l’intuition physique et les étapes de dérivation plutôt que le formalisme
- La loi binomiale discrète et la marche aléatoire symétrique, lorsqu’on augmente le nombre d’essais et qu’on applique un changement d’échelle, mènent via le théorème central limite à la loi normale et à des processus stochastiques continus
- Le mouvement brownien (W(t)) possède des accroissements indépendants et vérifie (W(t)\sim N(0,t)) ; ses trajectoires sont continues mais presque sûrement non dérivables en aucun point
- Le calcul d’Itô ajoute un terme du second ordre à la règle de chaîne usuelle à cause des règles (dW=\sqrt{dt}N(0,1)), ((dW)^2\approx dt)
- Les équations différentielles stochastiques modélisent à la fois la tendance et l’aléa via la drift et la diffusion, tandis que l’approche de Stratonovich conserve la règle de chaîne ordinaire grâce à une évaluation au point milieu et s’emploie en physique, en contrôle, en diffusion biologique et en simulation numérique
Les problèmes traités par le calcul stochastique
- Le calcul stochastique est un outil qui permet de traiter sous forme de modèles calculables des systèmes réels irréguliers, à partir du mouvement brownien et du calcul d’Itô
- Ses domaines d’application vont de la physique à la finance, à la biologie et jusqu’au machine learning
- Physique : Einstein s’est appuyé sur le fait que les fluctuations du mouvement brownien correspondent aux collisions moléculaires pour montrer l’existence des atomes
- Finance : les modèles de prix d’options comme l’équation de Black-Scholes reposent sur des équations différentielles stochastiques de la forme (dS=\mu Sdt+\sigma SdW)
- Biologie : les marches aléatoires modélisent la dispersion des espèces ou l’activité de décharge des neurones
- Machine learning : Song et al. (2021) modélisent l’évolution du bruit dans le temps à l’aide d’équations différentielles stochastiques fondées sur le calcul d’Itô, puis les utilisent en sens inverse pour générer de nouveaux échantillons
De la loi binomiale au processus stochastique continu
- Le triangle de Pascal compte le nombre de chemins allant à gauche ou à droite à chaque étape, et le nombre de façons d’atteindre la (k)-ième position de la (n)-ième ligne vaut (\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!})
- La probabilité d’obtenir (k) succès et (n-k) échecs lors d’essais indépendants est la suivante
[ P(k \text{ wins in } n \text{ trials})=\binom{n}{k}p^kq^{n-k} ]
- L’hypothèse d’indépendance est une condition forte ; dans la réalité, lorsqu’interviennent des facteurs psychologiques ou de momentum, comme dans les séries de victoires sportives ou les cours boursiers, le modèle peut devenir imprécis
- Les phénomènes qui évoluent en continu, comme la chute d’un corps, la diffusion d’un gaz, les variations de prix d’une action ou les collisions moléculaires dans un liquide, se prêtent mal à une description par de simples points et sommes ; ils exigent des intervalles et des intégrales
Marche aléatoire et théorème central limite
- Dans une marche aléatoire symétrique avec (p=0.5), on définit le déplacement d’un pas comme suit
[ X(t)= \begin{cases} 1 & \text{with probability } \frac{1}{2}\ -1 & \text{with probability } \frac{1}{2} \end{cases} ]
- Chaque (X(t)) a une espérance nulle et une variance égale à 1, et on suppose que les pas à des instants différents sont indépendants
- Le déplacement total s’écrit comme une somme de variables aléatoires indépendantes
[ S(n)=X(1)+X(2)+\dots+X(n)=\sum_{t=1}^{n}X(t) ]
- D’après le théorème central limite, la somme de variables aléatoires i.i.d. (X_1,\dots,X_n) tend vers une loi normale quand (n\to\infty)
[ X_1+\dots+X_n\sim N(n\mu,n\sigma^2) ]
- Dans cette marche aléatoire, on a la relation suivante
[ S(n)\sim N(0,n) ]
[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}S(n)=N(0,1) ]
- Ainsi, une « loi binomiale continue » conduit à la loi normale
Définition du mouvement brownien
- Dans les années 1820, Robert Brown a observé que le mouvement de petites particules ou de grains de pollen à la surface de l’eau était extrêmement irrégulier ; à petite échelle, les mouvements réels dus aux forces extérieures se révèlent assez sensibles pour éclipser les mouvements précédents
- Dans un modèle mathématique simplifié, on considère les événements à des instants différents comme indépendants, et, par symétrie de position, on suppose que la position moyenne de la particule au temps (t) reste proche de l’origine
- Un modèle continu de marche aléatoire doit posséder les propriétés suivantes
- Le point de départ est fixé à 0 pour des raisons de commodité mathématique
- Il n’y a pas de biais directionnel, donc le déplacement espéré à chaque étape ainsi que le déplacement total espéré sont nuls
- Les déplacements sur des intervalles de temps distincts sont indépendants
- Les trajectoires sont continues, sans saut ni lacune
- La loi de la position à un instant donné doit être une loi normale
- Le mouvement brownien est souvent noté (B_t) et le processus de Wiener (W_t) ; ici on utilise (W(t)) pour souligner la dépendance au temps
- Les propriétés principales sont les suivantes
[ W(0)=0 \quad \text{almost surely} ]
[ W(t)\sim N(0,t) ]
[ \Delta W(s,t)\sim N(0,t-s) ]
- Les accroissements (\Delta W(t_1,t_2)) et (\Delta W(t_2,t_3)) sur deux intervalles distincts sont indépendants lorsque (t_1<t_2\le t_3)
- Il s’ensuit que (E[W(t)]=0), (Var(W(t))=t)
- La trajectoire échantillon (t\mapsto W(t)) est presque sûrement uniformément höldérienne pour tout exposant (\gamma<\frac12), mais n’est höldérienne en aucun point pour (\gamma\ge\frac12), et en particulier non dérivable en aucun point
Les règles fondamentales du calcul d’Itô
- Le mouvement brownien est continu, mais si irrégulier qu’il n’admet pas de dérivée au sens usuel
- Sur un petit intervalle (dt), on a
[ \Delta W(t,t+dt)\sim N(0,dt)=\sqrt{dt}N(0,1) ]
[ \frac{\Delta W(t,t+dt)}{dt}=\frac{1}{\sqrt{dt}}N(0,1) ]
- Quand (dt\to0), (\frac{1}{\sqrt{dt}}) diverge, donc il n’y a pas convergence vers une dérivée finie
- Dans les années 1940, Kiyosi Itô a construit un calcul d’Itô adapté au caractère aléatoire du mouvement brownien, qui constitue la base du calcul stochastique
-
(dW) et ((dW)^2)
- On définit la petite variation du mouvement brownien comme suit
- [
- dW:=W(t+dt)-W(t)
- ]
- [
- dW=\sqrt{dt}N(0,1)
- ]
- Contrairement au (dx) déterministe du calcul ordinaire, (dW) est aléatoire ; son amplitude est proportionnelle à (\sqrt{dt}) et son signe dépend d’une loi normale centrée réduite
- Son espérance et sa variance sont données par
- [
- E[dW]=0
- ]
- [
- Var(dW)=E[(dW)^2]=dt
- ]
- L’espérance de ((dW)^2) vaut (dt), sa variance vaut (2dt^2), et lorsque (dt\to0), sa variabilité devient négligeable, si bien qu’en calcul d’Itô on traite ((dW)^2\approx dt)
- Dans le calcul usuel, ((dx)^2) est trop petit et disparaît, mais en calcul stochastique ((dW)^2) est du même ordre que (dt), ce qui change les règles de calcul
-
Intégrale d’Itô
- De même que l’intégrale ordinaire (\int_a^b f(x)dx) se définit comme limite de sommes de Riemann, on considère pour le mouvement brownien (\int_0^t f(s)dW(s))
- Pour une subdivision (s_0,\dots,s_n), on l’approche par la somme suivante
- [
- \int_0^t f(s)dW(s)\approx \sum_{i=0}^{n-1}f(s_i)\Delta W(s_i,s_{i+1})
- ]
- Le résultat de cette intégrale est une variable aléatoire qui reflète l’aléa de (W(t))
- Si l’on évalue (f(s_i)) à l’extrémité gauche, on n’utilise que l’information disponible jusqu’au temps (s_i), ce qui donne la propriété non anticipative, sans recours à l’avenir
-
Lemme d’Itô
- La règle de chaîne du calcul ordinaire pour (f(t,W(t))) s’écrit
- [
- df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW
- ]
- À cause du caractère rugueux du mouvement brownien, le terme du second ordre dans le développement de Taylor ne disparaît pas
- [
- df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W^2}(dW)^2+\text{smaller terms}
- ]
- Les termes (dt^2) et (dt,dW) disparaissent, mais ((dW)^2\approx dt) subsiste
- Le lemme d’Itô prend donc la forme suivante
- [
- df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W^2}dt
- ]
- Le terme supplémentaire (\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial W^2}dt) apparaît en raison de l’effet du second ordre du mouvement brownien
- Pour (f(W)=W^2), on obtient
- [
- d(W^2)=2W,dW+dt
- ]
- [
- W(t)^2=\int_0^t2W(s)dW(s)+t
- ]
- Le terme (t) est cohérent avec (E[W(t)^2]=t), tandis que le terme intégral est une composante aléatoire d’espérance nulle
Modéliser avec des équations différentielles stochastiques
- Le calcul d’Itô fournit une intégration et une règle de chaîne pour le mouvement brownien, ce qui permet de modéliser comme équations différentielles stochastiques (EDS) les systèmes où coexistent tendance et aléa
- Une EDS générale s’écrit
[ dX(t)=a(t,X(t))dt+b(t,X(t))dW(t) ]
- Chaque terme signifie
- (X(t)) : la grandeur qui évolue au cours du temps
- (a(t,X(t))dt) : la drift, la partie systématique
- (b(t,X(t))dW(t)) : la diffusion, la perturbation aléatoire issue du mouvement brownien
- La solution d’une EDS n’est pas une courbe fixe mais une trajectoire aléatoire différente à chaque exécution, dont on peut analyser les motifs statistiques
-
Forme générale du lemme d’Itô
- Pour (dX=b(t,X(t))dt+\sigma(t,X(t))dW), le lemme d’Itô appliqué à (f(t,X(t))) s’écrit
- [
- df=(f_t+bf_X+\frac{1}{2}\sigma^2f_{XX})dt+\sigma f_XdW
- ]
- Il se déduit en tenant compte du fait que (dX=O(dW)) et même (dX^2=O(dW^2))
-
drift et diffusion
- La drift (a(t,X)) fixe la direction moyenne, et la diffusion (b(t,X)) fixe l’intensité des fluctuations aléatoires
- Si (b=0), on retrouve une équation différentielle ordinaire ; si (a=0), on obtient un mouvement brownien mis à l’échelle
- Dans le cas simple, on peut écrire
- [
- dX(t)=\mu dt+\sigma dW(t)
- ]
- Si (X(0)=0), la solution est
- [
- X(t)=\mu t+\sigma W(t)
- ]
- Comme (W(t)\sim N(0,t)), on a la loi suivante
- [
- X(t)\sim N(\mu t,\sigma^2t)
- ]
- Il s’agit d’un processus avec drift linéaire dans le temps et diffusion du bruit, forme de base d’un modèle comme une action présentant croissance régulière et volatilité
-
Mouvement brownien géométrique
- Pour les systèmes dont la variation est proportionnelle à leur taille, on utilise le mouvement brownien géométrique (GBM)
- [
- dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)
- ]
- (\mu S(t)) est la drift proportionnelle, (\sigma S(t)) le bruit proportionnel
- (\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dW) représente une variation relative combinant tendance et aléa
- En posant (f=\ln S) et en appliquant le lemme d’Itô, on obtient
- [
- d(\ln S)=\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)dt+\sigma dW
- ]
- Après intégration, la solution est
- [
- S(t)=S(0)\exp\left(\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)t+\sigma W(t)\right)
- ]
- La correction de la drift de (-\frac12\sigma^2) vient de l’effet du second ordre du bruit, et cette forme sert de base au modèle de Black-Scholes en finance
- Les solutions analytiques comme le GBM sont l’exception ; la plupart des EDS nécessitent des simulations numériques ou une analyse statistique via des équations comme Fokker-Planck
Calcul de Stratonovich
- Le lemme d’Itô contient un terme de dérivée seconde, ce qui peut alourdir les calculs
- Le calcul de Stratonovich change le point d’évaluation de l’intégrale stochastique afin de préserver la règle de chaîne du calcul ordinaire
- L’intégrale d’Itô utilise l’extrémité gauche de chaque intervalle, tandis que l’intégrale de Stratonovich utilise une règle d’évaluation au point milieu
- Un point d’évaluation généralisé peut s’écrire ainsi
[ \int_0^T f(X(t))\diamond dW
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(X(t_i)+\lambda\Delta X(t_i,t_{i+1})) \Delta W(t_i,t_{i+1}) ]
- Dans le calcul déterministe, (O(dX^2)\to0), donc le choix du point d’évaluation importe peu ; en calcul stochastique, comme (O(dW^2)\to O(dt)), ce choix devient essentiel
- Pour préserver la règle de chaîne (df=f_X\circ dX), la comparaison des développements de Taylor impose (\lambda=\frac12)
- L’intégrale de Stratonovich se définit donc comme suit
[ \int_0^T f(X(t))\circ dW
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{X(t_i)+X(t_{i+1})}{2}\right) \Delta W(t_i,t_{i+1}) ]
-
Conversion entre Itô et Stratonovich
- Supposons qu’un même processus stochastique soit donné sous les deux formes suivantes
- [
- dX=adt+bdW=\tilde a dt+b\circ dW
- ]
- Les termes de drift vérifient alors la relation
- [
- a=\tilde a+\frac12 b_Xb
- ]
- Le coefficient de diffusion (b) reste le même, mais la fonction de drift diffère entre les écritures d’Itô et de Stratonovich
Contextes où l’on emploie l’approche de Stratonovich
- Le calcul de Stratonovich produit, via une règle d’évaluation au point milieu, une intégrale stochastique différente de l’approche à extrémité gauche d’Itô, adaptée à certains systèmes physiques ou à une simplification des calculs
- En physique, pour un oscillateur amorti avec bruit multiplicatif dépendant de l’état, on peut écrire
[ dX=-kXdt+\sigma X\circ dW ]
- En appliquant la règle de chaîne de Stratonovich à (f(X)=\ln X), on obtient
[ d(\ln X)=-kdt+\sigma\circ dW ]
[ X(t)=X(0)e^{-kt+\sigma W(t)} ]
- Le théorème de Wong-Zakai affirme que lorsqu’un bruit réel légèrement régulier tend vers une limite de bruit blanc, on obtient une EDS de Stratonovich
- En contrôle stochastique, pour des systèmes comme (dX=(aX+u)dt+\sigma X\circ dW), la règle de Stratonovich s’accorde avec l’intuition du contrôle classique et peut simplifier la conception de l’entrée de contrôle (u(t))
- En diffusion biologique, pour des modèles à bruit dépendant de la position comme (\sigma(X)=\sqrt{2D(1+kX^2)}), Stratonovich reflète les lois physiques de conservation
- En simulation numérique, Stratonovich s’accorde bien avec les méthodes du point milieu et peut servir à réduire les artefacts numériques dans des modèles comme ceux de cinétique des réactions chimiques
- Le choix dépend du contexte
- Stratonovich convient aux systèmes où le bruit est lié à une continuité ou à des symétries physiques
- Itô domine en finance grâce à sa propriété non anticipative, qui n’utilise pas d’information future
- La formule de conversion (a=\tilde a+\frac12bb_X) permet de passer d’une écriture à l’autre
1 commentaires
Commentaires sur Hacker News
Pour les lecteurs disposant de connaissances mathématiques de niveau licence avancée/master-doctorat, cette introduction au calcul stochastique s’est révélée utile : https://almostsuremath.com/stochastic-calculus/
Un manuel inspirant qui recoupe beaucoup de sujets connexes est aussi celui-ci : https://www.amazon.com/Stochastic-Integration-Differential-E...
Je me demande si le calcul stochastique est un domaine où il faut un ordinateur pour simuler un grand nombre de déroulements possibles d’événements, ou bien si, lorsqu’on connaît la distribution de dW, on peut résoudre de façon plus élégante, mathématiquement, les sorties finales importantes et les distributions de probabilité.
Cet article était excellent ; j’avais déjà vu du calcul stochastique auparavant, mais c’est la première fois que j’ai vraiment l’impression de commencer à le comprendre.
Si le problème est complexe, ou la distribution est complexe, ou les deux, il faut des méthodes numériques. Cela ne veut pas forcément dire qu’il faut lancer beaucoup de simulations comme en Monte Carlo, même si cette méthode est raisonnable, quoique coûteuse.
On peut répondre à des questions plus directes sur certaines probabilités sans Monte Carlo. L’équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles qui peut être résolue par diverses méthodes non Monte Carlo, et les quasi-potentiels ainsi que les fonctions committor issus de la simulation d’événements rares peuvent aussi être calculés « directement ». La difficulté centrale est que l’application de méthodes numériques standard à ces objets se heurte à la malédiction de la dimensionnalité. Trouver de bonnes méthodes pour les calculer en grande dimension, voire en dimension infinie, est un domaine de recherche très actif en mathématiques appliquées. Personnellement, sauf lorsque les mathématiques correspondent proprement à des applications physiques réelles, je considère que tout cela relève globalement d’une perte de temps.
Les physiciens l’appellent équation de Fokker-Planck, les mathématiciens équation de Kolmogorov directe. Sauf exceptions particulières, il n’existe pas de solution analytique exacte et il faut une solution numérique. Cela dit, en grande dimension, résoudre l’équation aux dérivées partielles coûte très cher, si bien qu’il est moins coûteux de résoudre la SDE et de faire un échantillonnage Monte Carlo.
Il peut aussi y avoir d’autres types de questions, comme la solution conditionnée à la survenue d’un événement aléatoire ; une logique similaire s’applique. Par ailleurs, le calcul stochastique est très utile pour traiter les SDE, mais si l’on s’intéresse à d’autres types de processus de Markov ou à des processus non markoviens, d’autres outils peuvent être nécessaires.
Comme le mentionne un autre commentaire, dans des cas particuliers la SDE elle-même peut aussi admettre une solution exacte, mais ce n’est généralement pas le cas.
Cette explication se limite aux SDE, c’est-à-dire aux équations différentielles où un bruit blanc gaussien intervient comme terme de forçage. Pour d’autres processus stochastiques, comme les processus de saut markoviens, la forme de l’équation d’évolution de la distribution est différente, même si certains principes généraux, comme l’équation de Chapman-Kolmogorov, sont partagés.
Les équations plus complexes ne se résolvent généralement pas ainsi. Ce que l’on veut souvent, c’est l’espérance d’une fonction du processus stochastique à un certain instant, et l’on peut montrer que cette espérance suit une équation aux dérivées partielles déterministe donnée. On la résout ensuite avec un solveur numérique d’EDP.
Si la dimension est élevée ou si le processus dépend fortement de la trajectoire et n’est pas markovien, on finit par utiliser une simulation Monte Carlo qui simule réellement les « multiples déroulements possibles d’événements ».
Par exemple, une marche aléatoire converge vers une distribution normale et l’on sait aussi que sa moyenne et sa variance tendent vers l’infini ; on peut donc, à partir des seules entrées, déterminer la fonction de variance au cours du temps, ce qui conduit à une solution analytique élégante.
Mais dans beaucoup de cas, il n’existe pas de solution analytique et il faut exécuter des algorithmes probabilistes. En cinétique chimique stochastique simple, l’algorithme de Gillespie en est un exemple.
Si vous voulez seulement connaître les statistiques des trajectoires, dans de nombreux cas vous pouvez établir et résoudre l’équation de Fokker-Planck, qui est une équation aux dérivées partielles, afin d’obtenir la densité des trajectoires.
L’étape suivante est la dynamique de Langevin, où le système possède une quantité de mouvement amortie et où le bruit entre dans la quantité de mouvement.
Elle est utilisée aussi bien dans les simulations de dynamique moléculaire que dans l’échantillonnage MCMC bayésien.
Curieusement, lorsque je vois la dynamique de Langevin mentionnée en lien avec l’IA, l’usage de la quantité de mouvement est souvent omis. Et ce, alors que la descente de gradient avec momentum est largement utilisée en IA. Pour rendre les choses encore plus confuses, le terme « stochastique » est aussi employé pour dire que, à chaque étape, le gradient est approximé à partir d’un échantillon d’une partie des données. Si l’on veut, on peut appliquer les deux types de stochasticité en même temps.
Je ne sais pas exactement pourquoi il est moins utilisé côté IA, mais la non-convexité des applications d’IA semble poser problème. Même dans un cadre log-concave, l’échantillonnage est déjà un problème suffisamment difficile.
Ma ressource préférée sur le calcul stochastique est Stochastic Processes in Information and Dynamical Systems d’Eugene Wong, McGraw-Hill, New York, 1971.
Je garde un souvenir de mes études de calcul stochastique
Je me souviens aussi avoir noté que, dans les statistiques ordinaires, l’écart-type et la variation quadratique diffèrent légèrement dans leur manière de calculer la variance. C’était quelque chose comme une différence de 1, ou une histoire de carré, et je l’avais noté pour chercher un jour pourquoi. C’est peut-être dû à la volatilité stochastique
sum i=1..N (x_i - mu)^2 / NIci, la moyenne
mu := sum x_i / Nest la vraie moyenne de la populationEn revanche, lorsqu’on obtient n échantillons i.i.d. d’une certaine distribution, le meilleur estimateur de la variance de cette distribution est
sum i=1..n (x_i - a )^2 / (n-1)Ici, on remplace la moyenne
mupar la moyenne empiriquea := sum x_i / n, et on divise par n-1 au lieu de N. « Meilleur » signifie estimateur sans biais, et on peut vérifier, par un calcul fastidieux mais pas difficile, que l’espérance de la deuxième formule est bien la variance de la populationPremièrement, la variance empirique dépend de la moyenne empirique
sum(x_i) / n. Si l’on connaît les n-1 premiers échantillons parmi les n, ainsi que la moyenne empirique, la dernière valeur est déterminée ; on peut donc au moins comprendre n-1 comme les degrés de liberté. Les moments empiriques d’ordre supérieur peuvent aussi se comprendre à peu près avec une logique similaire de degrés de liberté, mais je peux me tromperDeuxièmement, de manière plus mathématique, on a
biased_sample_variance = sum((x_i - sum(x_i) / n)^2) / n. En moyenne, sur de nombreux ensembles d’échantillons, cette variance empirique biaisée ne vaut pas la variance de la population, mais(n - 1) / n * population_variance. Donc, en multipliant parn / (n - 1), on obtient la variance empirique sans biaissum((x_i - sum(x_i) / n)^2) / (n - 1). Quand on suit le fil, ces maths deviennent assez amusantesJ’ai rencontré récemment un exemple de ce genre. Supposons qu’on joue à un « jeu ». On tire un nombre aléatoire A selon une loi uniforme entre 0 et 1, puis on tire un deuxième nombre B selon la même loi
Si A > B, on retire B, en gardant A inchangé. Quel est le nombre moyen de tirages nécessaires, autrement dit la « série de victoires » moyenne de A ?
La réponse est l’infini. Parce que, de temps en temps, A prend une valeur extrêmement élevée, et il faut alors des millions de tirages pour le battre
(1-p)Donc la probabilité qu’après n tirages de B, il devienne inférieur ou égal à A est une loi géométrique
p^(n-1) (1-p). Le nombre de tirages attendu est1/p, et commeE[draws] = E[E[draws|A=p]] = \int_0^1 E[draws|A=p] dp = \int_0^1 (1/p) dp, cela diverge vers l’infini comme indiquéCe n’est pas que j’en doutais, je voulais juste voir le calcul
1/(1-A), devrait suffireQuestion posée aux lecteurs de HN. J’ai défini environ 50 loci dans le génome de la souris contenant des différences d’ADN qui modulent la mortalité, et la plupart ont des effets actuariels complexes dépendants de l’âge.
Je voudrais prédire l’âge au décès ; le calcul stochastique serait-il une approche utile pour faire des prédictions actuarielles sur l’espérance de vie des souris ? C’est pourquoi je suis content de voir cet article monter en tête de HN.
Le nombre de questions, c’est-à-dire le nombre de loci, semble comparable au nombre d’intervalles dans lesquels on peut raisonnablement découper le temps. Un effet qui déplacerait le moment du décès d’un cinquantième de la durée de vie d’une souris serait, si je ne me trompe pas, difficile à détecter. Comme il n’y a pas beaucoup d’intervalles temporels, ni de modèle d’interaction entre variables d’état, vous allez probablement utiliser des méthodes statistiques non paramétriques ; vous pourrez donc sans doute tirer presque toute la valeur possible de méthodes discrètes.
Comme la cible est l’âge, je ne supposerais pas une distribution gaussienne sous-jacente. Ce changement n’est pas aussi difficile qu’on pourrait le penser : https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_linear_model
Comme toujours, il vaut mieux consulter le statisticien le plus proche.
Mais si ce que vous observez est survie/décès en fonction du temps, la sortie est binaire, et l’information réellement obtenue n’est que le moment du décès ; un modèle de marche aléatoire ne serait donc probablement ni nécessaire ni souhaitable, et un modèle statistique plus général paraît plus approprié. Si vous mesurez d’autres variables que le décès, un modèle probabiliste pourrait aider.
Par ailleurs, si cela signifie que les 50×X octets d’information influencent tous l’espérance de vie, c’est un problème difficile, mais avec de nombreuses entrées discrètes et une seule sortie lisse, cela correspond assez bien aux réseaux de neurones. En essayant à la fois un réseau de neurones et un modèle linéaire, puis en voyant dans quelle mesure le réseau fait mieux, on peut juger s’il existe des interactions plus complexes que du linéaire.
Si je devais aborder cela de façon pratique, je discrétiserais le temps et j’appliquerais du machine learning classique pour ajuster les données en prédisant « la probabilité de mourir à X mois, sachant que l’individu a survécu jusque-là ». Cela permettrait de repérer beaucoup plus facilement les erreurs dans les données et les problèmes potentiels.
Je ne choisirais le calcul stochastique ou une véritable analyse de survie que si je voulais démontrer ou dériver un lien entre des propriétés mathématiques existantes, comme l’absence de mémoire, et des propriétés physiques ou biologiques, comme le comportement d’une protéine donnée. Ce serait très élégant, mais assez difficile, surtout avec des données limitées. C’est aussi, grosso modo, ainsi que je comprends l’usage de l’analyse stochastique dans les articles de finance : on pose une hypothèse sur une propriété mathématique universelle du système, puis on démontre qu’elle correspond aux données réelles.
Voici ma compréhension du calcul d’Itô : au départ, le seul processus aléatoire que nous comprenons est le mouvement brownien et, heureusement, nous pouvons changer de coordonnées.
C’est un très bon modèle de ce que devrait être une introduction accessible aux débutants.
J’ai particulièrement apprécié la motivation du lemme d’Itô par le fait que le terme
dW^2, qui disparaîtrait dans le calcul classique, reste ici important, ainsi que la partie sur la conversion vers Stratonovich.Je demande de l’aide pour comprendre comment lire cette phrase : “Brownian motion and Itô calculare a notable example of fairly high-level mathematics that are applied to model the real world”
Je ne vois pas ce qu’aurait dû être “Itô calculare”. “Its calculation” ?
calculareressemble probablement à une faute de frappe oùcalculus area été collé.calculareaurait dû être calculus are.