Introduction au calcul stochastique

Introduction au calcul stochastique

0. Introduction

• Ce document est une brève introduction au calcul stochastique. Il met l’accent sur l’intuition physique et la dérivation du mouvement brownien plutôt que sur le formalisme complexe de la théorie des probabilités.
• Les formalismes techniques tels que l’espace probabilisable, la théorie de la mesure et les filtrations sont évités, et seuls des cas bien définis sont considérés.
• L’objectif est de mieux faire connaître la manière dont le calcul stochastique apparaît naturellement dans le monde physique.

Applications

• Le mouvement brownien et le calcul d’Itô sont des exemples de mathématiques avancées utilisées pour modéliser le monde réel.
• Physique : Einstein a utilisé le mouvement brownien pour prouver l’existence des atomes.
• Finance : la tarification des options repose sur les équations différentielles stochastiques.
• Biologie : les marches aléatoires modélisent la diffusion des espèces ou le déclenchement des neurones.
• De plus en plus d’applications apparaissent également en apprentissage automatique.

1. Motivation

• Le triangle de Pascal est utilisé pour expliquer la loi binomiale.
• Il modélise le nombre de succès et d’échecs dans des essais indépendants.
• Le monde réel implique souvent des processus continus, ce qui rend le calcul différentiel et intégral plus naturel.

2. Des étapes discrètes à la limite continue

• Le texte explore la signification mathématique de la transformation continue de la loi binomiale.
• Il explique comment une marche aléatoire discrète converge vers une loi normale dans sa limite continue.
• D’après le théorème central limite, la somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes se rapproche d’une loi normale.

3. Définition du mouvement brownien (processus de Wiener)

• Le mouvement brownien est continu, aléatoire, et sa variance est proportionnelle au temps.
• Son modèle mathématique est globalement prévisible, mais localement totalement imprévisible.

4. Calcul d’Itô

• Le mouvement brownien est irrégulier et donc non dérivable.
• Le calcul d’Itô développe un nouveau système pour traiter l’aléa du mouvement brownien.
• Le lemme d’Itô fournit une règle de dérivation en chaîne adaptée à l’aléatoire.

5. Équations différentielles stochastiques

• Le calcul d’Itô fournit des outils pour traiter les équations différentielles stochastiques.
• Les équations différentielles stochastiques modélisent des systèmes en combinant comportement déterministe et bruit stochastique.

6. Calcul de Stratonovich

• Le calcul de Stratonovich supprime le terme de dérivée seconde du calcul d’Itô et préserve ainsi la règle de dérivation en chaîne standard.
• Il est utile pour simplifier les systèmes physiques ou les calculs.

Annexe

A.0. Lectures complémentaires

• Ressources proposant une introduction intuitive aux équations différentielles stochastiques et à leurs méthodes de résolution.

A.1. Notations

• Présentation de la liste des notations utilisées dans le document.

[GN⁺]

Avis sur Hacker News

• La dynamique de Langevin est une méthode qui utilise la quantité de mouvement amortie d’un système et le bruit injecté dans cette quantité de mouvement. Elle peut être utilisée dans les simulations de dynamique moléculaire et l’échantillonnage MCMC bayésien

  • Quand la dynamique de Langevin est mentionnée en lien avec l’IA, l’usage de la quantité de mouvement est souvent omis. C’est parce que la descente de gradient avec momentum est largement utilisée en IA
  • Le terme « stochastique » signifie que l’on approxime le gradient à chaque étape en utilisant un sous-échantillon des données. Les deux formes de stochasticité peuvent être appliquées simultanément
  • Il existe une introduction utile pour les lecteurs ayant un niveau avancé de mathématiques de licence/master : lien

• Le calcul stochastique soulève la question de savoir s’il faut simuler sur ordinateur un grand nombre de déroulements possibles d’un événement, ou s’il existe une méthode mathématique plus élégante qui permette de déterminer les sorties finales importantes et les distributions de probabilité dès lors qu’on connaît la distribution de dW. Cet article est excellent et donne l’impression de commencer enfin à comprendre le calcul stochastique

• Voici un exemple rencontré récemment

  • Supposons qu’on joue à un « jeu ». On tire un nombre aléatoire A entre 0 et 1 (distribution uniforme). On tire un deuxième nombre B selon la même distribution. Si A > B, alors on retire B (A est conservé). En moyenne, combien de tirages sont nécessaires ? (Autrement dit, quelle est en moyenne la « série de victoires » de A ?)
  • La réponse est infinie. La raison est que, parfois, A est très élevé et il peut alors falloir des millions de tirages

• Question aux lecteurs de HN : nous avons défini environ 50 positions (loci) incluant des différences d’ADN qui modulent la mortalité dans les gènes de souris. La plupart ont des effets d’« assurance » complexes et dépendants de l’âge. Je voudrais prédire l’âge au décès

  • Le calcul stochastique pourrait-il être une approche utile pour des prévisions de type assurance sur l’espérance de vie des souris ?

• Question à ceux qui travaillent dans la finance : quelle part de tout cela est utile au quotidien ?

• Demande d’aide pour interpréter une phrase

  • Dans la phrase « Le mouvement brownien et le calcul d’Itô sont des exemples remarquables de mathématiques assez avancées appliquées à la modélisation du monde réel », un commentaire demande ce que signifie « calcul d’Itô »

• Partage d’une compréhension du calcul d’Itô

  • Le seul processus aléatoire que nous comprenons au départ est le mouvement brownien
  • Heureusement, on peut changer de coordonnées

• Souvenir d’avoir étudié le calcul stochastique

  • J’avais remarqué qu’en statistiques générales, l’écart-type est légèrement différent de la « variation quadratique ». J’avais laissé une note pour chercher pourquoi. C’est probablement lié à la volatilité stochastique

• Il reste étonnant de voir à quelle vitesse les modèles de diffusion sont devenus la sauce secrète de la génération d’images par IA. Pourtant, leurs racines sont profondément enfouies dans le calcul stochastique

  • Qui aurait cru que le mouvement brownien finirait par aider à créer des mèmes de chats ?