Découverte de la première forme incapable de traverser elle-même

• Des mathématiciens ont découvert pour la première fois une forme tridimensionnelle incapable de traverser sa propre copie, une découverte qui bouleverse les intuitions géométriques établies
• La plupart des polyèdres peuvent faire passer une copie d’eux-mêmes grâce à une combinaison spécifique de rotation et de translation appelée passage de Rupert (Rupert passage), mais il a été confirmé que cette nouvelle forme ne le permet dans aucune orientation
• Les chercheurs ont généré et vérifié des centaines de millions de polyèdres par algorithme ; ils ont trouvé un passage dans presque tous les cas, mais il existe un nombre infime d’exceptions
• Inspirés par une vidéo YouTube, deux mathématiciens ont développé leur propre algorithme et ont estimé dans un article de 2021 qu’un certain polyèdre pourrait être infranchissable ; cette nouvelle étude renforce cette hypothèse
• Cette découverte ouvre de nouvelles pistes pour la recherche sur la symétrie géométrique et les algorithmes d’exploration de l’espace, et est considérée comme un cas révélant une limite fondamentale des formes mathématiques

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Rareté des formes Nopert et processus de recherche

• Les chercheurs ont confirmé que les candidats Nopert (formes incapables de se traverser elles-mêmes) sont extrêmement rares
  • Depuis 2023, Murphy a généré et testé des centaines de millions de polyèdres
  • Cela incluait des polyèdres aléatoires, des arrangements de sommets sur une sphère, des polyèdres à structure symétrique, ainsi que des formes obtenues en déformant intentionnellement certains sommets
• Son algorithme trouvait facilement un passage de Rupert pour presque toutes les formes, mais n’en trouvait finalement aucun pour certaines d’entre elles
  • Il reste incertain si ces formes exceptionnelles sont de véritables Nopert ou simplement des cas où la recherche d’un passage est particulièrement difficile
• Ces résultats suggèrent fortement parmi les mathématiciens la possibilité de l’existence de véritables Nopert
  • Cependant, avant août 2024, aucune preuve certaine n’existait

« No Passage » — découverte d’une forme sans passage possible

• Steininger (30 ans) et Yurkevich (29 ans) sont des amis et partenaires de recherche issus du circuit des olympiades de mathématiques ; même après avoir quitté le milieu académique, ils ont continué à explorer ensemble des problèmes non résolus
  • Dans une interview, ils ont illustré leur passion avec cette remarque : « Il y a encore trois heures, on mangeait une pizza en parlant presque uniquement de maths »
• Il y a cinq ans, les deux hommes ont été fascinés par le problème de Rupert après avoir vu une vidéo YouTube montrant un cube traversant un autre cube
  • Ils ont ensuite développé leur propre algorithme de recherche de passage de Rupert, ce qui les a amenés à être convaincus que certaines formes sont infranchissables
• Dans un article de 2021, ils ont estimé que le rhombicosidodecahedron (rhombicosidodécaèdre) ne serait pas une forme de Rupert
  • Cette hypothèse est considérée comme la première proposition d’un « solide infranchissable », antérieure aux travaux récents de Murphy et Grimmer
• Steininger a déclaré : « Notre étude a été la première à estimer qu’il pouvait exister un solide ne possédant pas cette propriété »

Conditions mathématiques pour démontrer un Nopert

• Pour prouver qu’une forme est un Nopert, il faut démontrer l’absence de passage de Rupert pour toutes les directions et combinaisons de rotation possibles
  • Chaque direction peut être représentée comme un ensemble d’angles de rotation
  • Cet ensemble d’angles peut être représenté comme un point dans un espace des paramètres (parameter space) de grande dimension
• Le processus de preuve revient donc à explorer l’ensemble de l’espace des paramètres pour confirmer l’absence de passage
  • C’est un problème extrêmement complexe sur le plan computationnel, et une preuve complète doit prendre en compte une infinité de combinaisons de directions
• À ce stade, les résultats reposent sur la vérification, par exploration informatique, d’un nombre fini de cas possibles, et une preuve mathématique complète est toujours en cours

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Commentaires Hacker News

• Il est intéressant de voir qu’au lieu de tester tous les cas, ils en choisissent un puis écartent un grand nombre de possibilités autour de celui-ci
  J’ai récemment vu une excellente vidéo sur le sujet Rupert/Nopert, et c’était une coïncidence amusante de voir que cette recherche arrive au même moment
  • En fait, ce n’est pas tellement une coïncidence. tom7 est aussi mentionné dans l’article, et il cite directement ce papier à la fin de sa vidéo. Autrement dit, tom7 essayait lui aussi de démontrer le même problème
• Le titre est quelque peu trompeur. Plus précisément, d’autres formes comme la sphère étaient déjà connues depuis longtemps ; la nouveauté ici est qu’il s’agit du premier polyèdre qui ne peut pas laisser passer une copie de lui-même
  • Pour être exact, il s’agit d’un polyèdre convexe. Cela dit, la remarque sur le titre reste valable
  • Une sphère peut être approchée par des polyèdres. En général, ces polyèdres semblent avoir la propriété de Rupert, mais ce Nopert se distingue par des sommets proches des plans supérieur et inférieur qui forment des angles plus doux par rapport à l’axe vertical.
    Je me demande si un tétrimino en T pourrait laisser passer une copie de lui-même
  • Du point de vue d’un non-spécialiste, un titre du genre « première forme sans courbes découverte » aurait sans doute été plus clair
  • Je me demande pourquoi une sphère ne pourrait pas se traverser elle-même. Comme sa projection en ombre a la taille de son diamètre, on pourrait croire que c’est possible
• Comme il y a deux faces plates, on ne peut pas l’utiliser comme dé de D&D. Moi, je continue de soutenir le rhombicosidodecahedron
• J’ai apprécié le niveau de détail de l’article. Il n’entrait pas dans les subtilités mathématiques, tout en donnant assez d’éléments pour comprendre réellement la recherche
• Je ne connaissais Prince Rupert qu’à travers les « Prince Rupert’s drops » qui portent son nom, mais il s’avère qu’il a été actif dans de nombreux domaines
  Voir Wikipédia
• J’ai du mal à croire qu’il n’existe pas encore de terme comme « anisotransient » pour désigner une telle propriété
• S’il a déjà été si difficile d’en trouver un, le prochain résultat sera probablement que « presque tous les polyèdres convexes ne peuvent pas laisser passer une copie d’eux-mêmes »
• Faut-il vraiment que le passage se fasse en ligne droite ? J’imagine aussi le cas où l’on passe en tournant, comme avec un puzzle de blocs ou un canapé qu’on fait pivoter dans un coin
  L’article se limite au passage en ligne droite, et la plupart des analyses reposent aussi sur des techniques de projection d’ombre, donc sur ce cadre. Mais le pari d’origine consistait simplement à « faire passer une copie », donc il me semble qu’autoriser la rotation pourrait aussi être une approche valable
  • Mais comme le problème est limité aux polyèdres convexes, il ne semble pas que la rotation aiderait beaucoup
• Je me demande pourquoi consacrer du temps à ce genre de recherche. Est-ce simplement de la curiosité, ou cela finit-il par avoir une utilité pratique ? Cela me paraît plus proche de l’art
  • Le problème lui-même n’est peut-être pas pratique, mais les techniques développées pour le résoudre peuvent être appliquées dans d’autres domaines.
    Et puis, faire de la recherche par pure curiosité a déjà en soi une vraie valeur
  • Par exemple, on a étudié pendant des décennies des mathématiques abstraites comme les transformations matricielles et les normales de surface, avant qu’elles ne deviennent des technologies clés en informatique graphique dans les années 1980
  • Ce type de recherche débouche parfois sur des inventions pratiques comme le Velcro ou des mécanismes autobloquants. Il suffit que quelqu’un trouve le lien pour changer un peu le monde
• Vu de l’extérieur, on a l’impression que les candidats Nopert deviennent simplement des formes de plus en plus proches de la sphère. Or une sphère ne peut pas avoir de tunnel de Rupert
  • Oui. Plus on ajoute de faces, plus ils ressemblent visuellement à une sphère. Mais une sphère est trivialement non-Rupert, et la question plus intéressante est de savoir si un polyèdre convexe peut être non-Rupert
  • Je me demande jusqu’où le passage reste possible si l’on continue d’ajouter des faces. Peut-être que cela reste possible à l’infini, ou bien que des Nopert apparaissent de temps en temps. Ou alors ils deviennent progressivement plus nombreux et plus difficiles à trouver. J’aimerais faire l’expérience moi-même
  • Mais ce qui compte, c’est qu’ils sont différents d’une sphère