Réflexions sur les méthodes qui ont été efficaces dans un cercle de mathématiques

• Dans un cercle de mathématiques mené pendant environ 7 mois avec 7 enfants de 7 à 8 ans, un grand écart est apparu entre les sujets que les adultes pensaient intéressants et ceux dans lesquels les enfants se sont réellement plongés
• Les activités visuelles et manipulatoires comme SET, les puzzles de pliage-découpage, les pavages, les flexagones ou les constructions à la règle et au compas n’ont pas aussi bien fonctionné qu’espéré, tandis que les problèmes avec une trame narrative, comme les énigmes de menteurs, ont suscité de fortes réactions
• Les formes géométriques ou les motifs numériques seuls faisaient vite retomber l’attention, mais dans des situations avec soupçon et indices, comme « qui est le menteur ? », les enfants ont commencé à raisonner sur les cas possibles et les contradictions, développant une intuition de la preuve
• Le problème des Seven Bridges a commencé comme une histoire, mais les enfants ont ensuite cherché eux-mêmes le plus petit problème de ponts impossible, découvrant ainsi la simplification de problème et la remontée en complexité
• Laisser les mathématiques parler d’elles-mêmes peut convenir à un groupe déjà intéressé, mais pour des enfants sans attrait préalable, un cadre narratif immersif semble davantage nécessaire

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7 mois de cercle de mathématiques : des écarts d’intérêt révélateurs

• Le groupe était composé de 7 garçons et filles âgés de 7 à 8 ans, et après environ 7 mois de cercle de mathématiques, l’auteur revient sur ce qui a réellement fonctionné
• Il y avait un grand décalage entre les thèmes mathématiques qui paraissent séduisants aux adultes et ceux sur lesquels les enfants se concentraient vraiment

Des activités qui ont moins bien marché que prévu

• Les activités suivantes semblaient prometteuses, mais se sont en réalité révélées proches de l’échec
  • The game SET
  • Fold-and-cut puzzles
  • Geometry snacks
  • Cutting a Mobius strip
  • Tessellations: Tooti Tooti
  • Prime Climb
  • fabriquer des flexagons
  • constructions à la règle et au compas
• La géométrie a particulièrement mal pris, et les problèmes sur l’aire de formes arbitraires ou de zones ombrées se prêtaient difficilement à un récit intéressant
• Les pavages ne semblaient pas beaux aux yeux des enfants, et dans les activités de pliage-découpage comme avec les flexagones, leur habileté manuelle ne suffisait pas encore pour couper et plier correctement le papier, ce qui a accentué la frustration

Des sujets qui ont marché contre toute attente

• Certaines activités que l’auteur pensait peu attrayantes ont en réalité très bien fonctionné
  • les Knights and Knaves puzzles, ainsi que des sujets de logique propositionnelle comme les blue-eyed islanders
  • le fait d’établir soi-même le calendrier d’un tournoi sportif en round-robin et de réduire le temps d’attente total de la compétition
    • au départ, c’était présenté comme un tournoi de football, mais comme l’enfant le plus fan de football était absent cette semaine-là, cela a été transformé en concours de danse, ce qui s’est révélé plus amusant
  • le problème des Seven Bridges et la recherche du plus petit problème de ponts « impossible »
  • décider qui est meilleur aux tirs au but à partir du nombre de réussites et d’échecs
  • construire soi-même des motifs de type Pascal’s triangle
• D’autres activités ont plu comme prévu
  • le jeu de la Function Machine : deviner une fonction qu’on peut interroger comme une boîte noire
  • des variantes de Nim
  • The Turing Tumble
  • le partage équitable d’un gâteau avec de vrais cookies et des garnitures inégalement réparties
  • des jeux de théorie des jeux comme le Prisoner’s dilemma et Chicken
  • préparer un mocktail pour 3 personnes à partir d’une recette pour 1 verre et d’une recette pour 5 verres
    • c’était un exercice sur les fractions, avec des unités de mesure par quarts d’once

Une structure narrative qui crée l’engagement

• Dans Attention spans for math and stories, écrit en 2019, l’auteur racontait déjà comment le storytelling pouvait aider les enfants à participer à une activité et à se sentir bien accueillis dans le groupe
• En lisant la littérature sur les math circles, il a fini par adopter l’idée que « les mathématiques doivent parler d’elles-mêmes », et dans certaines séances le storytelling a moins bien fonctionné
• Dans cette approche, l’animateur commence par un mystère ouvert du type « peut-on tracer une figure parfaite ? », puis attend en silence que les participants posent eux-mêmes des questions et commencent à explorer
• Cette approche peut convenir à des élèves plus âgés ou à ceux qui ont déjà un certain intérêt pour les mathématiques
• En pratique, le groupe était composé d’enfants typiques de milieu aisé venant au cercle de mathématiques après l’entraînement de football, et lorsqu’ils s’ennuyaient, ils se mettaient à faire les pitres ou à se chamailler physiquement
  • ils n’avaient jamais joué à “Among Us”, mais traitaient quand même sans arrêt quelque chose de “sus”
  • même les motifs numériques ne suscitaient guère d’intérêt s’ils n’étaient pas enveloppés dans un format plus immersif

Comment Knights and Knaves a installé un sens de la preuve

• Le cadre « l’un des deux est un menteur invétéré, et il faut découvrir qui ment à partir des indices contenus dans leurs paroles » a extrêmement bien marché
• La première énigme Knights and Knaves a été présentée en écrivant les phrases d’Alice et Bob sur du papier, puis en les fixant sur des pailles en plastique et en les brandissant comme des pancartes
  • Alice: Bob is a liar!
  • Bob: Neither of us are liars
• Les enfants ont immédiatement désigné qui leur semblait le plus “sus”, et ont d’abord trouvé Alice suspecte parce qu’elle accusait Bob
• En discutant, ils ont compris que les propos d’Alice et de Bob étaient contradictoires, donc qu’ils ne pouvaient pas tous deux dire la vérité
  • ils ne connaissaient pas le mot « contradiction » et parlaient souvent plutôt d’“opposites”
• En raisonnant sur les cas possibles, ils sont d’abord partis de 2 possibilités avant d’arriver à 4
  • les deux sont des menteurs
  • Alice est menteuse et Bob dit la vérité
  • Alice dit la vérité et Bob est menteur
  • les deux disent la vérité
• Après avoir examiné chaque cas, ils se sont mis d’accord sur une seule possibilité : Alice dit la vérité et Bob ment
• Quand l’auteur a voulu passer à l’énigme suivante, les enfants ont demandé s’ils avaient bien résolu la première, et à la question « pensez-vous avoir raison ? », ils ont montré qu’ils manquaient encore de certitude
• Ils ont alors décidé de continuer à y réfléchir jusqu’à ce que tout le monde soit convaincu par la preuve, et plus tard un enfant a même lancé : « Non, ce cas-là, on l’a déjà prouvé ! »

Les évolutions observées avec Seven Bridges et les flexagones

• Le problème des Seven Bridges of Königsberg commençait comme une histoire, mais les enfants ont rapidement laissé tomber le récit pour se concentrer sur le défi lui-même
• Lors d’une séance ultérieure, ils ont voulu y revenir et chercher le « plus petit problème de ponts impossible »
• Ils n’ont pas résolu le problème d’origine, mais on voyait clairement apparaître une démarche consistant à simplifier le problème, à le réduire, puis à réintroduire de la complexité une fois arrivé à une version soluble
• L’activité de fabrication de flexagones ne leur avait pas plu, mais à la fin de la séance l’auteur leur a offert en cadeau un hexaflexagone basé sur un template, avec des images vives et bien distinctes sur chaque face
  • le template utilisé était printed template
• Quelques semaines plus tard, le père d’un enfant a raconté que son fils était devenu obsédé par cet hexaflexagone et qu’il venait seulement de découvrir la sixième face
• Les mouvements du flexagone, comme la carte des Seven Bridges, peuvent aussi être représentés sous forme de graphe pour rendre l’espace global des configurations plus lisible

Quelle approche adopter pour lancer un nouveau groupe

• Avec le temps, ce groupe commence lui aussi à s’habituer peu à peu à apprécier les mathématiques pour elles-mêmes
• Mais s’il fallait repartir avec un nouveau groupe d’enfants sans affection préalable pour les mathématiques, il faudrait concevoir beaucoup plus intentionnellement des problèmes enveloppés dans des histoires immersives

[GN⁺]

Commentaires sur Hacker News

• Ces enfants ont vraiment une chance immense d’être exposés à ces notions et à ces problèmes par un enseignant motivé à un âge aussi jeune.
  Même parmi les personnes qui enseignent les maths en K-12, peu seraient sans doute capables d’enseigner correctement un tel programme ; à en juger par le blog de l’auteur, il semble ne pas l’avoir fait pour beaucoup d’argent, mais gratuitement, et avoir plutôt essayé de convaincre d’autres parents de faire participer leurs enfants : https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
  Dans l’enseignement des mathématiques, il existe un grand écart de privilège que les personnes extérieures aux maths connaissent mal. Un élève qui n’a suivi que le programme standard ou accéléré est généralement moins bien préparé à une carrière en maths qu’un élève qui a été exposé dès l’enfance à ce type de notions non standard via des cours particuliers, des écoles pour élèves doués ou des parents mathématiciens.
  Le programme standard reste, jusque vers la deuxième année d’université, largement centré sur du calcul appris par cœur, puis bascule soudain vers des problèmes ouverts et des démonstrations ; or le monde dans lequel vivent les mathématiciens professionnels exige la capacité d’appliquer la logique de façon créative. Les élèves exposés très tôt à cela vivent cette transition beaucoup plus facilement et accumulent aussi plus tôt des atouts pour une carrière en maths, comme des publications ou des résultats en concours.
  D’autres parents ne s’en rendent peut-être pas compte, mais l’OP fournit un service très précieux, difficile à trouver dans certaines régions et pour lequel certains parents seraient prêts à payer cher.

  • En allant à l’université puis en faisant un doctorat dans un domaine proche des maths, je n’avais jamais considéré mon milieu d’origine comme défavorisé avant de me retrouver entouré de personnes qui avaient fait des activités d’approfondissement de type cercle mathématique pendant toute leur enfance.
    Je n’étais pas mauvais en maths, mais pas particulièrement précoce non plus ; j’ai représenté mon collège plusieurs fois à des concours régionaux de maths, sans grand résultat. Avec le recul, je trouve un peu étrange que personne ne m’ait aidé à m’y préparer.
    Depuis un ou deux ans, en y réfléchissant davantage, j’ai déplacé une part importante de mes dons vers des programmes du type cercles mathématiques. Leur vérifiabilité est plus faible que celle des causes d’altruisme efficace d’avant le long-termisme, mais je pense que ce type de pensée mathématique est extrêmement précieux et difficile à acquérir sans ces programmes.
  • Le fait qu’un élève ayant seulement suivi le programme standard ou accéléré soit moins bien préparé à une carrière en maths peut dépendre de la culture.
    Cela me rappelle l’histoire d’un élève de CE1 en France à qui l’on demandait combien faisait 2×3 et qui, ne connaissant que la commutativité de la multiplication, a répondu « 3×2 ».

• Si vous voulez participer à un cercle mathématique en ligne en tant que parent ou formateur potentiel, consultez https://theglobalmathcircle.org.
  Jeremy, l’auteur de cet article, est lui aussi diplômé de leur programme de formation.

• J’avais vu le jeu de la machine à fonctions sur HN et je l’ai essayé avec mon enfant quand il avait 6 ans ; il a adoré.
  À mesure qu’il apprenait des opérations mathématiques plus avancées, je les ajoutais à la boîte à outils, et quand nous inversions les rôles, s’il pouvait répondre correctement à mes requêtes, je savais qu’il avait compris le concept.

• Si ce type d’activité vous intéresse, il existe aussi quelques options payantes similaires, même si elles ne sont pas nombreuses.
  Une équipe de maths périscolaire pour les 7–11 ans à San Francisco : https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
  Des cercles mathématiques périscolaires dans quelques écoles du SFUSD : https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
  Une association à but non lucratif 501(c)(3), à distance, qui organise des sessions hebdomadaires en ligne de maths de concours pour élèves de primaire et de collège : https://mrmathonline.com/
  Si vous cherchez quelque chose à mi-chemin entre un cours et un cercle, Engaging Math Circles (https://emc.school) ou la Russian School of Math (RSM) valent aussi le coup d’œil.

• Pour en savoir plus sur les cercles mathématiques, il y a cette ressource : https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf

  • https://web.archive.org/web/20141231040717/https://www.msri....
  • L’auteur disait dans un précédent billet de blog avoir lu le livre de Zvonkin en préparant le cercle.

• À côté de ça, je peux recommander Mammoth Math pour les enfants.
  https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...

• Pour un autre âge, j’ai déjà réussi à intéresser des lycéens avec le minage de Bitcoin comme sujet.
  C’était une activité d’environ 15 minutes menée après un cours sur la blockchain dans un séminaire de cryptographie.
  L’algorithme original de preuve de travail de Bitcoin consiste à modifier une entrée intermédiaire du hachage pour que le résultat commence par plusieurs zéros binaires, autrement dit à trouver x tel que sha256(sha256(a || x || b)) < H. Je l’ai simplifié en x^2 % N < 10^H, j’ai autorisé l’usage de calculatrices et d’ordinateurs, et j’ai laissé N et H être modifiés librement.
  Les élèves se sont beaucoup amusés ; je pense que c’est parce que c’était plus actuel que les vieux casse-têtes, qu’ils étaient en concurrence, que la récompense était en partie aléatoire — ce qui donnait un avantage aux équipes rapides ou intelligentes —, que la récompense était un « Bitcoin physique » sous forme de pièce en chocolat, et que l’on pouvait presque gagner par force brute, tout en ayant beaucoup de raccourcis possibles à trouver.

• Il est dommage que les constructions à la règle et au compas n’aient pas suscité l’intérêt des enfants
  Comme je suis en train de numériser une traduction hébraïque des Éléments d’Euclide, j’espérais que l’aspect physique, presque proche d’un cours d’arts plastiques, serait plus intéressant que le contenu théorique, et que le fait d’être indépendant des nombres semblerait aussi moins intimidant qu’un cours de maths classique
  Je pense que les Éléments d’Euclide ont une valeur pédagogique, au-delà de leur importance historique, mais je me trompais peut-être en pensant que, pour la plupart des enfants, ils seraient plus amusants dans un contexte éducatif
  S’il y a des enfants intéressés par un sport en particulier, une activité consistant à déterminer qui tire le mieux les penalties à partir du nombre de buts marqués et de tirs manqués est une bonne façon d’enseigner l’algèbre linéaire. 'Who's #1? - The Science of Rating and Ranking' traite en détail de plusieurs méthodes d’évaluation et de classement, et faisait partie des lectures obligatoires de mon master en science des données

  • Si le sujet vous intéresse et que vous ne le connaissez pas encore, il existe une numérisation visuellement très réussie des Éléments d’Euclide : https://www.c82.net/euclid/#books
    Je ne sais toutefois pas si c’est le meilleur support pour étudier. En général, l’essentiel est d’interagir activement avec le contenu, par exemple en faisant soi-même les constructions sans modèle, mais les règles efficaces avec des enfants peuvent être différentes
    Le fait que les enfants aient montré de l’intérêt pour la logique propositionnelle est plutôt une bonne surprise. Cela peut servir de base à une pensée cohérente. Comme l’auteur, je m’attendais moi aussi à ce qu’ils préfèrent les activités manuelles
  • D’après la description de l’article lié, la géométrie euclidienne semble manquer de “récit” mathématique
    Quelle était, au départ, la motivation originelle des constructions à la règle et au compas ? Les idées de complétude, de symétrie ou de constructibilité sont toutes assez abstraites
    https://www.euclidea.xyz/ était amusant, mais j’aime aussi dessiner des motifs girih et je n’ai pas 8 ans
  • Je n’ai compris la beauté des constructions à la règle et au compas qu’au début du secondaire ; à 7 ans, je pense que je n’aurais pas pleinement saisi la beauté qui consiste à tirer un vaste système à partir d’axiomes
    Pour rendre Euclide amusant auprès des enfants, je me souviens que le jeu Euclidea fonctionnait bien : https://www.euclidea.xyz/
  • Je me souviens avoir appris la géométrie hyperbolique et la géométrie sphérique au collège, et c’était assez génial
    Ce n’était pas tant pour l’aspect axiomatique que pour les questions qui bousculaient les hypothèses mathématiques, du genre “combien de droites peut-on tracer passant par deux points ? Comme tu veux !”, et pour les schémas amusants. Le modèle du plan projectif de Fano et le modèle du disque de Poincaré étaient aussi intéressants, et il y avait également des animations et des logiciels interactifs
    Cela dit, au bout d’environ une semaine, j’en ai eu assez. Une session de deux heures consacrée à différentes géométries et constructions me semble être le bon format
    La géométrie axiomatique façon Éléments d’Euclide est intéressante et peut convenir au lycée. Avant que les élèves n’apprennent l’algèbre, il leur est difficile d’avoir vraiment le sens de la manière dont on dérive des équations ou des démonstrations à partir de petits points de départ, et la géométrie analytique est beaucoup plus pratique. Avec une règle et un compas, certaines choses sont de toute façon impossibles à construire
  • Je ne sais pas comment les constructions à la règle et au compas ont été menées, mais un jeu appelé Euclidea pourrait être intéressant
    La progression par niveaux, le système de score et la manière de débloquer de nouveaux “outils” en résolvant des démonstrations étaient très bien faits
    https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...

• Comme activité à enseigner à des enfants d’un âge similaire, j’aimerais ajouter compter jusqu’à 1000 avec les doigts
  Pour un programmeur, c’est quelque chose de naturel, mais cela contient des éléments essentiels utiles à l’enseignement des mathématiques
  La question “tu sais compter jusqu’à 1000 avec tes doigts ?” amuse les enfants parce qu’elle ressemble à de la magie ou à un superpouvoir. Au début, je leur montre comment compter jusqu’à environ 20, en passant rapidement sur 4 et 6. Ensuite, je leur demande de prédire une configuration précise de doigts qu’ils ne voient pas, et s’ils échouent, je leur montre à nouveau
  Une fois qu’ils ont compris le motif, je leur pose une devinette : quel est le nombre avec tous les doigts levés ? En général, ils bloquent, mais si je leur donne un indice du type “s’il y avait un doigt de plus, et que seul ce doigt était levé tandis que tous les autres étaient repliés, ce serait quel nombre ? Est-ce que tu peux en déduire l’autre nombre ?”, ils finissent presque toujours par trouver, même si cela prend du temps
  Ce qui est beau, c’est que la barrière d’entrée est basse. L’enfant doit seulement savoir multiplier par 2 et connaître les noms des nombres jusqu’à 1024. En même temps, cela permet d’enseigner plusieurs représentations, la formalisation adaptée à un objectif, et cette sensation d’obtenir un “superpouvoir” en s’écartant des attentes ordinaires
  Le puzzle ci-dessus montre aussi qu’on peut mieux résoudre un problème en trouvant un motif. Au lieu d’une approche brute force consistant à additionner la valeur de chaque doigt, on peut utiliser comme point de référence le fait que la position de l’indice ne diffère que d’une unité de la position souhaitée. Le point de référence est un concept très important en mathématiques, et il se trouve à la racine de nombreuses solutions célèbres
  Si l’on va plus loin, on peut aussi parler de démonstration et de conception d’algorithmes. On peut expliquer l’algorithme comme une preuve par récurrence. À l’étape initiale, la paume est tournée vers l’utilisateur et tous les doigts sont repliés ; on commence par la droite et on incrémente le doigt le plus à droite. À l’étape n, en partant de l’extrémité droite, si un doigt est replié, on le lève ; s’il est levé, on le replie puis on incrémente récursivement, selon la même condition, le doigt suivant à droite
  Pour n’importe quel “jeu”, il vaut mieux partir de ce que l’enfant préfère. S’il a du mal dans un jeu, on utilise un autre jeu dans lequel il est à l’aise pour lui enseigner celui qui lui pose problème. Au fond, les mathématiques sont un langage, et beaucoup de choses peuvent être reformulées
  À mon avis, l’une des difficultés est que beaucoup de gens intériorisent les mathématiques comme quelque chose de trop strict. Si l’on enseigne en disant “voici la bonne méthode” et qu’on ne reconnaît pas les autres approches, la capacité à généraliser les concepts diminue. Les problèmes énoncés essaient de résoudre cela, mais cela ressemble à une approche brute force, plus proche de la manière dont on enseignerait à une machine qu’à un humain
  À cela s’ajoute le fait que, très jeunes, beaucoup apprennent les mathématiques auprès de personnes qui n’en sont pas passionnées. Cette indifférence se transmet de l’enseignant à l’élève. Beaucoup se souviennent sans doute de la bouffée d’air frais que représente la rencontre, par chance, avec un enseignant qui aime les maths et en encourage l’aspect créatif. Moi aussi, jusqu’à ce que je tombe sur un tel cours en première, je détestais les maths, alors même que j’y étais bon et que j’étais dans le groupe avancé

  • Il faut être prudent quand on joue à ce jeu avec des enfants. Les miens ont commencé à se crier “645 !” dessus

• L’an dernier, avec ma fille, j’ai enseigné SET à sa classe de CP. J’ai conçu l’essentiel du dispositif pédagogique, mais les enfants ont pu apprendre et ont aussi montré de l’intérêt
  Ce n’était pas un cadre de cercle de maths, mais un cours avec toute la classe ; il serait intéressant d’examiner ce qui change

  • SET est un jeu que j’aime depuis que j’ai environ 5 ans, et je me souviens l’avoir apporté en classe en CP pour la « journée du jeu de société préféré ». J’ai donc été vraiment surpris que les enfants ne l’aient pas aimé
    Il y a aussi beaucoup de maths à faire avec ce jeu. On peut commencer par de l’arithmétique modulaire simple et aborder l’idée d’abstraire les attributs en 0, 1 et 2. En allant un peu plus loin, on peut aussi parler de théorie des groupes et du fait que le jeu correspond à Z3^4, c’est-à-dire à quatre copies de Z3
    S’ils s’intéressent à la théorie des groupes, on peut imprimer et utiliser des jeux de cartes similaires représentant d’autres groupes, puis aborder les axiomes des groupes, la manière dont le jeu représente un groupe et pourquoi cela tient debout
    On peut aussi introduire un peu de programmation. En utilisant l’invariant selon lequel, pour tout i, la définition d’un set est sum c_i = 0, on peut expliquer comment apprendre ce jeu à un ordinateur. On peut aussi généraliser facilement la durée des parties en ajoutant ou en retirant des caractéristiques, comme la couleur de fond des cartes
    Bref, ce jeu est génial
  • J’ai joué à Set avec mon fils quand il avait environ 6 ans et demi, et il a tout de suite accroché
    Après quelques parties, il trouvait les sets aussi vite que nous, mais son niveau et son intérêt variaient selon qu’il était distrait ou fatigué
    Si vous voulez jouer à Set en solo, il existe une bonne version open source : https://playset.netlify.app/
    Ici, l’« IA » trouve les réponses au hasard. En mode facile, toutes les 2 secondes, elle choisit arbitrairement deux cartes visibles et vérifie si la carte nécessaire pour compléter un set est à l’écran
    Si un enfant découvre Set, il peut être préférable de régler le délai autour de 5 secondes. Bien sûr, Set est plus amusant quand on joue contre des humains