- Math from Three to Seven d’Alexander Zvonkin montre, à travers le récit d’un cercle mathématique pour enfants d’âge préscolaire, que même de très jeunes enfants peuvent s’attaquer longtemps à de vrais problèmes, et pas seulement à des exercices scolaires
- Dans la culture mathématique russe et soviétique, le cercle mathématique ressemble moins à une préparation aux examens qu’à une communauté informelle où des participants de niveaux différents s’attaquent ensemble à des problèmes difficiles et en discutent
- Alors que l’exercise des mathématiques scolaires et des mathématiques de compétition consiste en un entraînement court avec une méthode attendue, le problem du cercle relève d’une exploration dont ni la possibilité de résolution, ni les techniques requises, ni le temps nécessaire ne sont garantis
- Zvonkin présentait aux enfants de 3 à 4 ans la même structure combinatoire à plusieurs mois d’intervalle, sous forme de perles, de coloriages, de trajets de taxi, de boîtes d’allumettes et de balles, afin qu’ils découvrent eux-mêmes les liens
- Avec le groupe d’enfants de l’âge de sa deuxième fille Evgenia, la même méthode n’a pas fonctionné, ce qui montre qu’il est difficile de réutiliser tel quel un journal pédagogique ou des techniques, tant les aptitudes et les centres d’intérêt varient d’un enfant à l’autre
La force des mathématiques soviétiques et les cercles mathématiques
- Pendant la guerre froide, l’URSS a longtemps maintenu un niveau comparable à celui des États-Unis sur le plan militaire et technologique, malgré une population plus faible, un PIB inférieur et un système économique moins efficace
- Dans les années 1990 et 2000, on retrouvait de manière marquée des immigrés d’origine russe dans des domaines techniques aux États-Unis, des échecs aux compétitions de mathématiques, en passant par Wall Street, la Silicon Valley et les départements de mathématiques de l’Ivy League
- On avance parfois des hypothèses comme la proportion de Juifs, la relative pauvreté de l’URSS et la répartition de son capital humain, ou encore le « maximalism » de la culture russe, mais l’élément qui revient sans cesse dans les entretiens avec les mathématiciens et scientifiques soviétiques, ce sont les mathematical circles
- Les cercles mathématiques sont une pratique née avant même l’époque de l’Empire russe et diffusée dans toute l’URSS : des groupes informels où adolescents et adultes passionnés de mathématiques se réunissent régulièrement pour réfléchir longuement et discuter
- Comme une équipe sportive, ils peuvent avoir une culture interne, une forte intensité d’engagement et des « coachs » compétents ou célèbres
- Mais ils ressemblent moins à une ligue ou à une compétition entre équipes qu’à un ensemble musical de quartier improvisant ensemble autour de problèmes mathématiques
- Le niveau des membres peut être très varié
La différence entre exercise et problem
- Les mathématiques scolaires et une partie des mathématiques de compétition américaines sont surtout composées d’exercises
- Un exercise est un problème fabriqué par un humain dans un but pédagogique
- Un élève brillant peut généralement le résoudre en moins de cinq minutes, il est lié au chapitre en cours du manuel, et on peut supposer qu’il existe une technique déterminée pour y répondre
- Il est possible de remonter vers la réponse en devinant l’intention de l’auteur, en éliminant des options ou par reconnaissance de motifs
- Au centre du cercle mathématique se trouve le problem, que l’on résout ensemble
- Un problem est une question intéressante qui naît quand quelqu’un essaie réellement de faire ou de comprendre quelque chose
- Il se peut qu’aucun participant, aucun coach, voire personne, ne sache le résoudre
- Même s’il est soluble, cela peut prendre des semaines ou des mois, et les techniques nécessaires peuvent être floues ou totalement inconnues
- Le coach peut choisir un problème légèrement au-dessus du niveau des participants, mais il arrive aussi que tout le groupe s’attaque à une question dont personne ne connaît la réponse
- Ce type d’expérience montre que même les personnes très douées peuvent se retrouver bloquées et échouer face à un problème, ce qui crée une culture du goût pour la difficulté
- Quand la fatigue se fait sentir, on évoque de célèbres problèmes du passé et des histoires de mathématiciens, et les mathématiques fonctionnent aussi comme une culture partagée, avec ses récits et ses plaisanteries internes
Le cercle mathématique préscolaire de Zvonkin
- Math from Three to Seven est le récit d’une adaptation du cercle mathématique à des enfants d’âge préscolaire
- Alexander Zvonkin, qui y tient le rôle de coach, est mathématicien de profession et a lancé ce cercle pour son fils Dmitry et les enfants du voisinage
- La plupart des enfants avaient entre 3 et 4 ans
- Selon les expériences de Piaget, à cet âge certains modules cognitifs liés au nombre et au volume ne sont pas encore développés
- Zvonkin connaissait les travaux de psychologie du développement et reliait le faible sens du nombre des enfants à des idées plus profondes comme la taille des ensembles et les correspondances
- Le livre ressemble moins à un traité pédagogique bien ordonné qu’à un journal à peine retouché
- Il y avait de belles idées d’énigmes, mais aussi des échecs répétés, avec des enfants qui criaient ou vomissaient
- Les réussites comme les ratés de quatre années de cercle y sont consignés
- L’objectif initial relevait presque d’une contre-programmation des mathématiques scolaires
- Zvonkin détestait la manière dont l’école présentait les mathématiques comme un ensemble de formules à appliquer
- Il rejetait vivement le fait d’enlever des points à un élève parce qu’il n’écrivait pas sa réponse dans le format attendu ou parce qu’il utilisait une technique qu’il n’était « pas encore censé apprendre »
- Plus tard, après avoir enseigné un programme expérimental de mathématiques dans une école publique de Moscou, il a toutefois mieux compris les contraintes des enseignants et des administrateurs
Répéter un même problème combinatoire sous plusieurs formes
- Environ un an après le début du cercle, Zvonkin a proposé aux enfants leur premier vrai problem
- Il s’agit d’un problème de combinatoire : de combien de façons peut-on choisir 2 objets parmi 5 sans tenir compte de l’ordre ?
- Zvonkin estimait que ce thème, autrefois enseigné aux lycéens, avait disparu parce qu’on le jugeait trop difficile
- Il voulait que des enfants d’âge préscolaire en trouvent presque seuls la solution, avec très peu d’indices
- Son approche consistait à reproposer pendant plusieurs mois le même problème sous différentes formes déguisées
- Comme les enfants ne disposaient pas encore d’outils de raisonnement formel ou symbolique, il passait par des représentations tactiles et concrètes
- La première forme était un problème de perles
- Il demandait aux enfants de fabriquer des chaînes possibles avec 2 perles rouges et 3 perles bleues
- Une discussion est née sur le fait de considérer ou non une chaîne tournée à 180° comme identique ou différente
- Zvonkin répondait que l’on pouvait fixer la règle, et qu’alors un seul problème se divisait en deux problems distincts
- Ensuite, il leur donnait une feuille avec cinq cercles et leur demandait de trouver toutes les façons d’en colorier exactement deux
- Les enfants sentaient vaguement la similarité avec le problème précédent des perles, sans encore faire clairement le lien
- Quelques mois plus tard, il présentait une grille 4x3 comme un plan de ville et demandait combien de trajets un taxi pouvait suivre du coin inférieur gauche au coin supérieur droit sans jamais revenir en arrière
- Zvonkin donnait l’indice suivant : dans le trajet, un déplacement vers la droite correspondait à un cercle rouge, et un déplacement vers le haut à un cercle bleu, pour aider les enfants à relier cela au problème des perles
- Les enfants découvraient l’isomorphisme entre des problèmes en apparence différents mais de structure identique
- Enfin, il posait cinq boîtes d’allumettes vides et deux balles, puis demandait les différentes façons de mettre les balles dans les boîtes
- Les enfants comprenaient rapidement qu’il s’agissait du même problème que celui des perles
- La réponse à tous ces problèmes est 10, mais démontrer qu’il n’y en a pas davantage, ou voir comment la réponse change quand l’ensemble de départ contient 4 ou 6 éléments, restait une autre montagne à gravir
La pensée de l’enfant et les limites des méthodes éducatives
- La homunculus theory, qui consiste à voir l’enfant comme un « petit adulte », repose sur une prémisse erronée
- L’enfant n’est pas simplement une version moins intelligente et moins instruite de l’adulte, mais plutôt un être doté d’une intelligence située autrement
- Les jeunes enfants pensent de manière plus concrète, et le fait qu’ils ne maîtrisent pas encore le raisonnement symbolique ou propositionnel ne signifie pas que leur pensée soit globalement inférieure
- La méthode que Zvonkin utilisait efficacement avec les enfants comme avec les adultes reposait sur la répétition et l’espacement
- Il reproposait le même problème plusieurs fois, avec de longs intervalles, et sous un angle différent à chaque fois
- Cette méthode exploite l’interaction entre pensée focalisée et pensée diffuse
- L’auteur ajoute qu’il a lui-même réussi, de cette façon, à faire comprendre à un enfant de 5 ou 6 ans pourquoi la somme des nombres d’une ligne du triangle de Pascal est une puissance de 2
- La leçon finale du livre est que la même méthode ne se reproduit pas toujours
- Zvonkin a consigné les succès et les échecs des quatre premières années du cercle, puis a lancé un second cercle avec des enfants de l’âge de sa deuxième fille, Evgenia
- Il pensait déjà savoir ce qui fonctionnait ou non, mais ce deuxième groupe avait des aptitudes et des centres d’intérêt différents, au point que ses notes existantes se sont révélées presque inutiles
- Environ un an plus tard, il a abandonné, et le journal s’interrompt brusquement
- Cette expérience montre sous une forme extrême une réalité familière à bien des parents ayant plusieurs enfants
- Même lorsqu’on élève ses enfants de la même façon, les différences entre eux apparaissent très tôt
- Les actions des parents n’influencent qu’à la marge ce que l’enfant devient fondamentalement
- Éduquer et élever un enfant ne consiste pas à le programmer, mais plutôt à observer le processus par lequel un être nouveau révèle ce qu’il va devenir
- En même temps, les parents peuvent relâcher un peu la pression et partager ensemble des activités agréables comme les livres, les films, le sport, la randonnée ou la réflexion
- Et dans certains cas, cette activité peut être cette pensée exigeante qu’implique le fait de se confronter à un problem
1 commentaires
Avis sur Hacker News
L’article est étonnamment intéressant et bien écrit ; mieux vaut donc lire aussi le texte lui-même, et pas seulement les commentaires ici
Je ne sais pas très bien si les « exercices scolaires sans intérêt » sont censés être inutiles, ou bien nécessaires mais insuffisants
Mon enfant, qui entre dans l’adolescence, aimait les maths auparavant et prenait plaisir à parler de problèmes de maths, mais maintenant il semble s’ennuyer avec les exercices scolaires et perdre tout intérêt ; je me demande s’il existe un moyen de raviver la flamme
De bons enseignants m’ont montré non pas seulement le « quoi », mais le comment et le pourquoi ; le moment où, en parcourant le cercle unité par pas de 10 degrés et en plaçant sur un graphe le rapport côté opposé/hypoténuse des triangles rectangles, j’ai vu la fonction sinus apparaître sous mes yeux avait quelque chose de magique
Un autre enseignant nous a fait fabriquer une boîte en papier, puis calculer son volume, avant de montrer avec le calcul différentiel les dimensions de la boîte de volume maximal pour une même surface de papier ; c’est là que j’ai ressenti pour la première fois que les maths n’étaient pas une perte de temps, mais quelque chose d’utile
3Blue1Brown sur YouTube est très bien, mais peut être un peu long et difficile ; Numberphile est bien aussi, avec beaucoup de vidéos courtes qui montrent de petites démonstrations
Des livres d’histoires mathématiques intéressantes ou de casse-têtes, comme ceux de Martin Gardner ou Ian Stewart, peuvent aussi convenir ; et il est plus utile que les parents aient eux-mêmes l’air intéressés par les maths plutôt que d’adopter une attitude consistant à pousser l’enfant à faire ce qu’ils veulent
Je pense que le problème des écoles ici est qu’elles se concentrent sur les notes plutôt que sur l’intérêt de l’enfant. Quand la pression est trop forte, le plaisir disparaît
En particulier, retirer des points parce qu’un enfant a utilisé une « technique qu’il n’est pas encore censé connaître » est vraiment mauvais ; même si la répétition est nécessaire, l’enfant peut garder son intérêt s’il sent qu’il progresse
Même s’il faut une certaine dose de répétition difficile, il faut aussi fournir suffisamment de matière pour que la discipline elle-même paraisse intéressante ; et avoir un parent intéressé, capable de répondre aux questions, aide énormément
Avant la 4e, les maths m’ennuyaient, sans que je sache pourquoi ; je l’ai compris quand, à cause d’une erreur administrative, je me suis retrouvé en cours d’algèbre au lieu de pré-algèbre
J’ai dû rattraper l’équivalent d’un an de contenu condensé en un mois de révision, et pour la première fois j’ai dû faire des efforts ; j’ai eu C de moyenne, mais plus tard, quand le rythme a de nouveau ralenti, j’ai compris que j’aimais les maths elles-mêmes et que je détestais les cours trop lents parce qu’ils devaient s’adapter à tout le monde
En suivant ma curiosité et en bricolant toutes sortes de choses, j’ai « découvert » pas mal d’aspects utiles de la trigonométrie, de l’algèbre linéaire et des statistiques ; l’intuition acquise à ce moment-là m’a clairement aidé plus tard dans les maths à l’université
Axiom Maths essaie d’introduire au Royaume-Uni le concept de cercles mathématiques, en fournissant aux écoles un accompagnement et des ressources pour qu’elles puissent gérer leurs propres cercles
L’organisation est dirigée par une équipe ayant une grande expérience de l’enseignement des maths, comme le directeur fondateur de King’s Maths School ; cette école fait partie des sixth forms publics les plus performants du Royaume-Uni
https://axiommaths.com/how-we-work/
https://nrich.maths.org/about-nrich
Il y a aussi https://parallel.org.uk/ de Simon Singh, mais c’est plutôt destiné aux 10 ans et plus
Le livre de Rozhkovskaya contient de très bonnes activités https://www.amazon.co.uk/gp/product/1470416956
Le livre de Zvonkin mentionné dans l’article est motivant par ses récits honnêtes de séances qui tournent complètement mal ou de découpages de petits bouts de papier tard le soir, mais je le trouve assez difficile à utiliser comme véritable matériel pédagogique
La différence culturelle fondamentale est qu’aux États-Unis, le droit et le business sont davantage valorisés que les maths et la physique
Pour un enfant brillant, l’objectif reste Harvard Law School ; le MIT devient un objectif quand il est bon et vraiment passionné par ce domaine
En France, intégrer Polytechnique, l’école d’ingénieurs créée par Napoléon, est considéré comme la voie royale, ce qui pousse culturellement les enfants vers l’apprentissage des maths
Si l’enfant n’a ni aptitude ni goût pour les maths, j’imagine qu’on le pousse plutôt vers l’ENA
Le plus gros problème dans l’enseignement des maths, c’est qu’après avoir appris la théorie, on ne revient pas à la question de savoir comment élaborer un plan pour résoudre réellement les problèmes
Par exemple, même quand on apprend plusieurs techniques d’intégration, on ne construit pas en même temps de stratégies pratiques pour décider quel outil utiliser face à un problème
Résultat : l’émotion principale que les élèves associent aux problèmes de maths n’est pas la confiance, mais la peur. Chaque problème donne l’impression de se demander : « est-ce que ça va marcher, ou est-ce que je vais errer pendant des heures sans même trouver la réponse ? »
Si un enseignant doit absolument nous faire asseoir et nous expliquer, formule par formule, dans quels cas appliquer les techniques d’intégration de base, alors je pense qu’on n’a pas vraiment appris
À part les grands trucs comme le changement de variable en u, une approche consistant à enseigner directement des procédures mécaniques d’intégration précises aurait été, pour moi, une manière d’apprendre inconfortable
Quand mon enfant avait trois ans, j’ai découvert ce livre formidable, et même si l’auteur avertit à plusieurs reprises qu’il s’agit d’un « journal » et non d’un « guide », j’ai commencé à le lire en essayant de faire quelque chose de similaire.
Malheureusement, pas à cause du livre lui-même mais parce que j’ai été accaparé par d’autres choses, je ne l’ai pas terminé, et maintenant mon enfant a déjà plus de sept ans.
Cela dit, les passages que j’ai lus m’ont vraiment beaucoup plu.
D’autres programmes de cercles mathématiques sont moins inspirants, mais beaucoup plus faciles à suivre.
Je pense que l’hypothèse de départ selon laquelle quoi que ce soit était mieux en Union soviétique est fausse.
Ils consacraient une part bien plus importante de leur PIB à l’armée et à l’espace, et la vie en Russie était misérable.
Ils avaient des chars, des armes nucléaires et des fusées, mais aucune entreprise qui ait amélioré la vie des gens ; c’est ce qui a prolongé la guerre froide avant de finir par s’effondrer.
Si l’hypothèse de départ est fausse, chercher des indices ailleurs ne sert à rien.
Cela avait déjà été publié il y a 6 ans et 10 ans, avec quelques commentaires.
https://hn.algolia.com/?q=Math+from+Three+to+Seven
Ce livre et la culture dont il est issu ont eu beaucoup d’influence, si bien que les personnes ayant pratiqué des activités « d’approfondissement » ont probablement déjà rencontré bon nombre des activités du livre.
L’exemple le plus connu est peut-être une initiation à la programmation façon Scratch JR / code.org, mais au papier et au crayon.
Math from Three to Seven: The Story of a Mathematical Circle for Preschoolers [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=17018583 - May 2018 (20 comments)
Math from Three to Seven: Chapters One and Three [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=8811334 - Dec 2014 (21 comments)
L’Union soviétique était effectivement le pays où l’on lisait le plus de livres au monde.
D’après une enquête mondiale de 1966, les citoyens soviétiques lisaient des livres, journaux et magazines environ 11 heures par semaine en moyenne, soit à peu près deux fois plus que les Britanniques, les Nord-Américains et les Français.
Pour l’objectif de former des talents scientifiques, lire des romans peut n’être guère plus utile que regarder la télévision.
Quand on compare parfois de vieilles interviews de rue avec des interviews de rue actuelles, c’est complètement différent.
Même les ivrognes de la classe ouvrière dans les bars de la fin des années 80, au moment de l’effondrement, s’exprimaient mieux et paraissaient plus intellectuels que les gens d’aujourd’hui.
Que ce soit à cause de Poutine, de l’émigration ou du capitalisme, je pense qu’il y a une régression grave du grand public.
La fin de l’article annule en grande partie le reste du propos.
Dans le deuxième cercle mathématique, les enfants étaient différents, avec des aptitudes et des intérêts différents, si bien que les anciennes notes sont devenues entièrement inutiles, et les premiers cours tentés ont tous échoué.
Zvonkin, qui avait grandi dans une société communiste et croyait à la malléabilité absolue de la nature humaine, semble avoir été assez choqué de voir des différences apparaître dès un très jeune âge.
Entre les lignes, on comprend que le premier groupe d’enfants avait eu beaucoup de chance, que le deuxième était bien plus difficile à enseigner, et qu’au bout d’environ un an il a abandonné, le journal s’arrêtant brusquement.
« Un enseignant ordinaire qui retire des points parce que la réponse n’est pas rédigée dans le format imposé » : c’est exactement le prof de maths de nos enfants, et c’est vraiment frustrant.
Mais en pratique, ils les obligent à utiliser chacune des méthodes prescrites, même quand elles ne conviennent pas du tout à l’exercice.
Si l’on s’écarte de la méthode imposée pour ce problème, c’est considéré comme faux, et il n’est pas permis de créer sa propre variante.
Au final, les enseignants ont bien appris que les enfants devaient utiliser différentes méthodes, mais pas pourquoi ils devaient le faire.