Le théorème de Pythagore figurait sur une tablette d’argile antérieure de 1 000 ans à Pythagore (2009)
(link.springer.com)- Le théorème de Pythagore est l’une des propositions les plus célèbres des mathématiques, mais il n’existe aucune preuve que Pythagore l’ait découvert ou démontré lui-même, et des tablettes d’argile babyloniennes en montrent une origine plus ancienne
- La tablette YBC 7289 de la collection babylonienne de Yale University date d’environ 1800–1600 av. J.-C. et consigne, en nombres sexagésimaux, la relation entre le côté d’un carré et sa diagonale
- L’inscription
1;24,51,10sur la tablette vaut 1,414213 en décimal, soit √2 avec une précision jusqu’à la cinquième décimale, et montre un cas particulier de la formule de la diagonale d’un carré - L’école pythagoricienne était une communauté secrète consacrée aux mathématiques, à la philosophie et à l’astronomie, et l’usage d’attribuer les découvertes à Pythagore rend difficile de distinguer les contributions individuelles
- Des Éléments d’Euclide au recueil de 371 démonstrations de Loomis, en passant par la démonstration d’Einstein à 12 ans et son usage en relativité, puis le dernier théorème de Fermat et la preuve de Wiles, ce théorème traverse de nombreuses époques de l’histoire des mathématiques
Pythagore et le nom du théorème
- Le théorème de Pythagore est connu sous plusieurs noms, dont Pythagorean Theorem, Pythagoras’ Theorem et Euclid I 47
- C’est l’une des propositions les plus célèbres des mathématiques, et le livre publié en 1927 par Elisha Scott Loomis en rassemble 371 démonstrations
- Parmi elles figurent des démonstrations d’Albert Einstein à 12 ans, de Leonardo da Vinci et du président américain James A. Garfield
- Pythagore est durablement associé à la découverte et à la démonstration de ce théorème, mais rien ne prouve qu’il l’ait découvert ou démontré lui-même
- Il existe des preuves sur tablettes d’argile indiquant que des mathématiciens babyloniens avaient découvert et démontré ce théorème 1 000 ans avant la naissance de Pythagore
Pythagore et l’école pythagoricienne
- Pythagoras of Samos est né vers 569 av. J.-C. à Samos et mort vers 475 av. J.-C.; les historiens le considèrent généralement comme le premier mathématicien
- Aucun écrit de Pythagore lui-même ne nous est parvenu, et les sources sur sa vie, rédigées plusieurs siècles plus tard et mêlées de légendes, sont difficiles à juger fiables
- On dit qu’il a fondé, près de Crotone dans l’actuelle Italie du Sud, une école appelée Semicircle of Pythagoras
- Cette école avait un caractère à la fois religieux et scientifique, et suivait des règles secrètes
- On y étudiait les mathématiques, la philosophie et l’astronomie, avec pour devise « Number Rules the Universe »
- Le savoir de l’école se transmettait oralement, et les découvertes des disciples étaient souvent attribuées à Pythagore
- Cela peut expliquer l’apparition du nom « Pythagoras’ Theorem »
- En raison de ce fonctionnement collectiviste, il est difficile de séparer les contributions réelles de Pythagore de celles de ses disciples
La tablette babylonienne YBC 7289
- Mesopotamia désigne la région située entre les fleuves Tigris et Euphrates, correspondant à peu près à l’Iraq actuel
- La civilisation babylonienne s’est imposée il y a 4 000 ans, et des milliers de tablettes d’argile ont été découvertes au cours des deux derniers siècles
- Ces tablettes témoignent d’une civilisation remarquable dans l’enregistrement des phénomènes astronomiques, les arts et la littérature
- Beaucoup de tablettes restent encore dans les sous-sols des musées, en attente de déchiffrement
- YBC 7289 est la tablette numéro 7289 de la Babylonian Collection de Yale University
- Elle date de l’Old Babylonian period, vers 1800–1600 av. J.-C.
- Elle porte un carré incliné avec deux diagonales, ainsi que des nombres cunéiformes sous un côté et sous la diagonale
- Les nombres babyloniens utilisaient le système sexagésimal; jusqu’à 59, ils ressemblent au système décimal moderne, mais sans zéro
- Les unités étaient représentées par des incisions verticales en forme de Y
- Les dizaines étaient indiquées par des incisions similaires placées horizontalement
√2 et un cas particulier du théorème de Pythagore
- Une inscription sur la tablette montre un calcul visant à trouver la largeur lorsque la longueur vaut 4 et la diagonale 5
4 × 4 = 165 × 5 = 2525 - 16 = 9- Comme
3 × 3 = 9, la largeur vaut 3
- Sur YBC 7289, le côté du carré porte le nombre 30
- Le
1;24,51,10inscrit sous la diagonale correspond, en notation moderne, à des valeurs de position en base 60- En décimal, cela donne
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1,414213 - Cette valeur représente √2 avec une précision au cent-millième
- En décimal, cela donne
- Cette tablette montre que les Babyloniens connaissaient la relation
d = √2 × aentre le côté et la diagonale d’un carré - Les Babyloniens connaissaient donc le théorème de Pythagore, ou du moins le cas particulier de la diagonale du carré
d² = a² + a² = 2a², plus de 1 000 ans avant Pythagore - La tablette montre que les Babyloniens savaient calculer des racines carrées avec une précision considérable
- La valeur 30 pour le côté a probablement été choisie parce qu’elle était pratique en base 60
- Les 60 secondes d’une minute, les 60 minutes d’une heure et les 360 degrés d’un cercle modernes sont également liés à ce système sexagésimal
La forme moderne du théorème et Euclide
- Aujourd’hui, le théorème de Pythagore est généralement compris sous la forme d’une équation algébrique :
a² + b² = c² - Pour Pythagore, ce théorème était une proposition géométrique portant sur les aires, et sa forme algébrique familière ne s’est imposée qu’après l’apparition de l’algèbre moderne, vers 1600
- Euclid of Alexandria était un mathématicien grec actif vers 300 av. J.-C., surnommé le « père de la géométrie »
- Les Elements d’Euclide sont considérés comme le manuel le plus réussi de l’histoire des mathématiques
- Ils se composent de 13 livres
- Ils contiennent définitions, axiomes, propositions et démonstrations
- Ils déduisent les principes de la Euclidean Geometry à partir d’un petit ensemble d’axiomes
- Dans les Elements, Euclide présente deux démonstrations du théorème de Pythagore
- Le Book I, Proposition 47 repose sur une relation d’aires et est très élaboré
- Le Book VI, Proposition 31 est fondé sur la notion de proportion et est plus simple
- Le Book I, Proposition 47 est aussi appelé Euclid I 47; par la suite, Proclus et d’autres l’ont désigné comme le théorème de Pythagore
- La première démonstration d’Euclide ne peut pas être celle de Pythagore lui-même, car elle n’était pas possible au niveau de géométrie de l’époque pythagoricienne
- Si la méthode avait été celle du Book VI Proposition 31, la démonstration aurait été incomplète, car une théorie complète des proportions n’a été développée par Eudoxus que près de deux siècles après Pythagore
Affirmations liées à l’Égypte et aux pyramides
- Les anciens Égyptiens appartenaient à une civilisation concentrée dans la moyenne et basse vallée du Nile, à environ 500 miles au sud-ouest de Mesopotamia
- L’Égypte et la Babylonie ont coexisté relativement pacifiquement pendant plus de 3 000 ans, d’environ 3500 av. J.-C. jusqu’à l’époque grecque
- Il n’existe aucune preuve que les Égyptiens connaissaient le théorème de Pythagore et l’aient utilisé pour construire les pyramides
- L’Égypte compte plus de 100 pyramides, construites pour la plupart comme tombes de Pharaohs
Loomis et les 371 démonstrations
- Elisha Scott Loomis était un professeur de mathématiques originaire de l’Ohio, qui a passé sa vie à collecter les démonstrations connues du théorème de Pythagore
- The Pythagorean Proposition de Loomis est un livre réunissant 371 démonstrations
- Le manuscrit a été préparé en 1907
- Il a été publié en 1927
- Une deuxième édition révisée est parue en 1940
- En 1968, le National Council of Teachers of Mathematics l’a réédité dans la série « Classics in Mathematics Education »
- Après la publication du livre, Loomis a reçu des centaines de nouvelles démonstrations jusqu’à sa mort, mais il n’a pas pu continuer à mettre à jour le recueil
- Le nombre exact de démonstrations n’est pas certain
- Même les géomètres peinent à déterminer quelles démonstrations sont réellement distinctes les unes des autres
Einstein et la relativité
- Dans son autobiographie, Albert Einstein raconte avoir été fortement impressionné, vers l’âge de 12 ans, par un livre de géométrie plane euclidienne
- Einstein dit avoir produit une « démonstration » du théorème de Pythagore à partir de la similitude des triangles
- Il met lui-même le mot « proof » entre guillemets
- Cette démonstration est élégante et simple, et montre le lien entre longueurs et aires, au cœur du théorème
- Plus tard, Einstein a utilisé le théorème de Pythagore sous une forme quadridimensionnelle dans la relativité restreinte
dx² + dy² + dz² = (c dt)²relie la distancec dtparcourue par la lumière pendant le tempsdtaux différentielles des trois coordonnées spatiales- Cette équation métrique peut être vue comme le théorème de Pythagore appliqué à des différentielles de coordonnées
- Dans la relativité générale, les propriétés géométriques de l’espace sont déterminées par la matière, et l’explication inclut l’idée que le concept d’« empty space » perd son sens
- Une citation liée à la relativité explique que l’énergie, la quantité de mouvement et la masse sont reliées graphiquement par le théorème de Pythagore
Le dernier théorème de Fermat et Wiles
- Pierre de Fermat a étudié au XVIIe siècle le problème des solutions entières de la forme
xⁿ + yⁿ = zⁿ - Lorsque
n = 2, il existe des solutions entières grâce au théorème de Pythagore - Fermat a conjecturé que, pour
n > 2, il n’existe pas de solutions en entiers non nulsx,y,z, mais il n’a pas laissé de démonstration- Dans la marge de l’Arithmetica de Diophantus, il a écrit qu’il connaissait une démonstration, mais que la marge était trop étroite pour la contenir
- Cette proposition est connue sous le nom de Fermat’s Last Theorem
- Andrew Wiles a démontré en 1993 le dernier théorème de Fermat, vieux de 350 ans, et la nouvelle a fait la une du New York Times
- Wiles a découvert le dernier théorème de Fermat à l’âge de 10 ans, puis a étudié la théorie des nombres comme professeur à Princeton University
- Le résultat célèbre de Wiles montre que toute rational semi-stable elliptic curve est modular, ce qui implique le dernier théorème de Fermat
- La Shimura–Taniyama–Weil conjecture affirme que toute rational elliptic curve est modular; l’énoncé complet a été démontré en 1998 par Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor
Un théorème qui traverse 4 000 ans d’histoire des mathématiques
- Le théorème de Pythagore porte le nom de Pythagore, mais les tablettes d’argile babyloniennes montrent des calculs et des connaissances bien antérieurs
- Euclide a placé le théorème dans un système logique de géométrie, et les Elements restent, 23 siècles plus tard, un fondement du système de démonstration rigoureuse en mathématiques
- De la collection de démonstrations de Loomis à la preuve d’enfance d’Einstein et à son usage en relativité, jusqu’à la démonstration du théorème de Fermat par Wiles, ce théorème relie des mathématiciens de nombreuses époques
- Chaque année, étudiants, chercheurs et amateurs de résolution de problèmes tentent d’ajouter des démonstrations nouvelles et originales, faisant du théorème de Pythagore un sujet mathématique inépuisable
1 commentaires
Avis sur Hacker News
Pythagore était notamment connu comme quelqu’un qui avait rassemblé la sagesse de plusieurs cultures
Selon la tradition, il aurait rencontré Thalès, aurait été initié comme prêtre égyptien à Hermopolis, aurait passé du temps à Babylone après avoir été fait prisonnier, et aurait été initié à tous les cultes à mystères possibles. Dans sa ville natale de Samos, il a très probablement été exposé à la construction du temple d’Héra, le plus grand temple de pierre de la Grèce antique, ainsi qu’à l’exploit d’ingénierie remarquable qu’est le tunnel d’Eupalinos
La “Vie de Pythagore” d’Iamblique[1] vaut la peine d’être lue, car l’ouvrage pouvait s’appuyer sur d’anciennes sources aujourd’hui disparues. À l’époque, le lien entre mathématiques et spiritualité était très fort
Il existe aussi beaucoup d’anecdotes amusantes qui pourraient être vraies, mais que l’on ne pourra jamais vérifier. Dans “Vies des philosophes” de Diogène Laërce, il est dit que Pythagore, lorsqu’il découvrit ce que nous appelons le théorème de Pythagore, offrit en sacrifice 100 bœufs, c’est-à-dire une hécatombe[1]. Comme l’a dit Charles Dodgson, alias Lewis Carroll, “cela a dû produire une quantité de viande difficile à gérer”[3], surtout pour un végétarien. Iamblique, lui, parle d’un seul bœuf, et encore, d’un bœuf fait de farine
[1] Guthrie, K. S., & Fideler, D. R. (Eds.). (1987). The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Red Wheel/Weiser.
[2] “he sacrificed a hecatomb, when he had discovered that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle was equal to the squares of the sides containing the right angle.” DL, found in [1]
[3] Maor, E. (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton University Press
Mais Hippasos, un membre de ce groupe, aurait montré de manière convaincante que √2 ne peut pas être un nombre rationnel. Pythagore aurait tenté de lui faire jurer le silence, puis, comme cela ne fonctionnait pas, l’aurait tué. À cause de √2
[1] - https://sciencefocus.ust.hk/the-square-root-of-two-at-the-co...
Les textes anciens disent aussi que Platon a voyagé en Égypte et en Italie, mais, à ma connaissance, les chercheurs modernes doutent généralement que de tels voyages aient réellement eu lieu
L’une des activités qu’il appréciait était de creuser des tunnels sous sa maison, et il disait que les “visites des elfes” pendant qu’il travaillait dans les tunnels étaient le secret de sa réussite. Il aurait déclaré que “quand on creuse un tunnel, les elfes viennent souvent vous apporter la solution aux problèmes”[0]
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Seymour_Cray
Parmi les exemples, on trouve le transhumanisme, le rationalisme extrapolé jusqu’à l’absurde à la Yudkowsky (Basilisk, etc.), l’hypothèse de la simulation, ou encore le salut par l’intelligence artificielle générale
Je me demande comment nous pourrons préserver l’information numérique pendant des milliers d’années
Tout groupe capable de construire un bâtiment avec des fondations rectangulaires aurait probablement découvert la relation entre la longueur des côtés et la diagonale. Les Égyptiens mesuraient déjà des angles droits avec des triplets pythagoriciens bien avant la naissance de Pythagore.
Mais cela relève de l’observation, pas du théorème. Cela devient un théorème lorsqu’on le démontre, c’est-à-dire lorsqu’on explique pourquoi cette relation est toujours vraie à partir de choses plus évidentes. La tablette d’argile babylonienne mentionnée dans l’article ne semble pas avoir fait cela, mais les Grecs, eux, l’ont clairement fait. On ne sait pas si Pythagore lui-même l’a fait, car aucun de ses écrits n’a survécu, mais les Grecs postérieurs savaient le démontrer et le lui ont attribué.
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1,414213
Je suis toutefois d’accord avec le deuxième paragraphe. Il y a une grande différence entre une procédure transmise sous la forme « voici comment on estime un projet de construction » et un théorème énoncé comme une vérité universelle servant de base à toutes sortes d’autres théorèmes. Même si les deux disent exactement la même chose.
En pratique, c’était un diaporama des voyages du professeur en Europe et de photos de vieux sites. Ensuite, il montrait des schémas au trait des structures et choisissait parfois des points apparemment arbitraires pour former un triangle 3-4-5. Puis il s’exclamait : « Vous voyez ? Ils connaissaient déjà le théorème de Pythagore avant Pythagore ! »
Le seul travail noté consistait à rédiger un article où l’on « découvrait » un exemple similaire. J’ai choisi la photo d’une vieille église quelconque, j’ai « trouvé » un triangle rectangle dans ses fondations, et j’ai eu A. C’était clairement une simple observation, pas un théorème.
On peut aller assez loin en ajustant à l’œil et en coupant sur mesure les parties qui en ont besoin.
Je pensais donc que la véritable preuve n’était arrivée qu’après la découverte de l’algèbre, voire de la trigonométrie.
Pour ceux qui se demandent comment on a obtenu l’approximation √2 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3, voici l’explication.
L’idée centrale est simple.
Z = (a + b)^2 = (a^2 + (2a+b)b)
=> (2a+b) b < Z-a^2
Étant donnée une estimation initiale « a », il suffit de trouver le plus grand « b » tel que le terme de gauche reste inférieur au terme de droite. L’estimation reste alors toujours légèrement inférieure à la vraie réponse, et l’on peut répéter le processus pour s’en rapprocher peu à peu.
À la première itération, Z=2 et a=1. Si l’on pose b=x/60, alors
(2+x/60)*x/60 < 2-1^2
120x + x^2 < 3600
x = 24 ... 3456 < 3600
x = 25 ... 3625 > 3600
Le premier terme est donc 24/60.
En posant a=1+24/60 et b=x/60^2, puis en répétant, on obtient
(2(1+24/60)+x/60^2)*x/60^2< 2-(1+24/60)^2
10080x+x^2 < 518_400
x = 51 ... 516_681 < 518_400
x = 52 ... 526_864 > 518_400
Il suffit de répéter plusieurs fois.
En code, on peut facilement aller jusqu’à 1;24,51,10,7,46,6,4,44,50,28 = 1,4142135623730951.
Tout ce processus peut être formalisé comme l’algorithme de la division longue pour les racines carrées, et il fonctionne aussi assez proprement en base 10.
Ce qui préoccupait les gens à l’époque, ce n’était pas la formule elle-même. Cette formule était connue empiriquement depuis des siècles.
Ce qui a créé le choc, c’est qu’il a été le premier à démontrer que, pour « la plupart » des triangles rectangles, il n’existe pas de nombres rationnels P, Q tels que PA = QC pour un côté A et l’hypoténuse C. C’est cela qui a provoqué le séisme intellectuel.
Il est assez approprié que le défunt « Journal for Targeting, Measurement and Analysis for Marketing » ait publié, avec un titre putaclic et trompeur, un article complètement hors sujet et apparemment de très faible qualité.
Peut-être un ancêtre, sponsorisé par Springer, des monstruosités optimisées pour les moteurs de recherche d’aujourd’hui.
Confondre calcul et preuve est une erreur inadmissible pour une revue académique sérieuse.
Il ne fait guère de doute que la démonstration de théorèmes est un outil cognitif développé à partir de régularités observées. Mais demander « pourquoi ? » et, plus important encore, y répondre par la logique, constitue une avancée loin d’être triviale.
La culture dominante a toujours été fascinée par la Grèce antique
La culture occidentale a fait du grec ancien la racine de son vocabulaire scientifique
Elle possède aussi une lignée philosophique qui va de la Grèce antique jusqu’au XIXe siècle
Ce n’est qu’au XIXe siècle que l’archéologie — un néologisme lui aussi formé à partir de racines grecques anciennes, ce qui, pour le grand public, laisse entendre que les Grecs anciens avaient une notion d’archéologie, alors que ce n’était évidemment pas le cas — nous a permis de voir la vérité. L’histoire remonte à des milliers d’années plus loin, et les origines de tout sont de plusieurs millénaires plus anciennes
La capitale de Hattuša n’a été découverte qu’il y a 30 ans, et ce n’est qu’au XXe siècle qu’on a commencé à comprendre les différentes strates de la ville historique de Troy
Nous n’avons compris que récemment que « cela n’a pas commencé en Grèce antique », mais la culture dominante, suivant encore la tradition des écoles de grammaire médiévales, ne regarde toujours pas au-delà de la Grèce antique
Je comprends que la « ligne de continuité » du développement de la science moderne commence en Grèce parce que c’est là que commence l’histoire écrite que les chercheurs modernes peuvent lire facilement
Nous avons toujours su que tout n’avait pas commencé en Grèce antique. Les Grecs eux-mêmes le disaient. Mais comme il n’existe pas d’abondantes sources primaires antérieures à la Grèce antique, on ne peut pas faire grand-chose de plus que tenir une bougie pour eux et lire, à sa lumière, des idées filtrées par Plato et d’autres
Bien sûr, ils ont aussi condamné à mort certains libres penseurs pour ne pas avoir vénéré les dieux, mais c’est une autre question
Les anciens Égyptiens et les habitants de Mesopotamia avaient eux aussi une notion d’archéologie ; pourquoi les Grecs n’en auraient-ils pas eu une ?
L’article affirme que les Babylonians ont « découvert » le théorème de Pythagore, mais ce qu’il montre réellement, c’est seulement la possibilité qu’ils l’aient cru vrai
Jusqu’à ce que de meilleures preuves apparaissent, au moins en « Occident » — je ne connais pas bien les mathématiques chinoises, par exemple — il semble toujours que ce soient les Grecs qui aient les premiers créé le concept de preuve mathématique déductivement valide, et non inductive
C’est le problème de la publication de masse
Les gens attribuent souvent à tort une découverte non pas à la première personne qui l’a faite, mais à celle qui a pu la transmettre ou la publier le plus largement
Dans l’Antiquité, c’était un problème particulièrement difficile
Le savoir se transmettait souvent oralement plutôt que par écrit
Et même lorsqu’il était écrit, les matériaux utilisés ont probablement pourri depuis longtemps
Ainsi, la plupart des idées antiques que nous connaissons reposent soit sur des savoirs si largement connus et si souvent consignés qu’il en reste plusieurs copies, soit sur des savoirs gravés sur des matériaux durs comme la pierre, comme les hiéroglyphes égyptiens. Mais cela ne signifie pas que les Anciens ont été les premiers à les connaître ; cela veut seulement dire que les traces écrites de ce savoir particulier ont résisté le plus longtemps à l’épreuve du temps
Une preuve parallèle trouvée dans un livre chinois vieux de 2 600 ans a été discutée sur HN il y a 7 ans
https://news.ycombinator.com/item?id=13952265
À ma connaissance, c’était connu en Chine au moins avant Pythagore
https://en.wikipedia.org/wiki/Zhoubi_Suanjing