- Comme il est impossible de tirer uniformément sur l’ensemble des entiers naturels, on définit un « entier aléatoire » en choisissant uniformément entre 1 et N, puis en étudiant la limite quand N → ∞
- Dans Those Fascinating Numbers, on lit que la probabilité que le deuxième facteur premier d’un entier aléatoire soit inférieur à 37 est d’environ 1/2, ce que l’on vérifie par un calcul de densité et par l’expérience
- Les petits nombres premiers apparaissent souvent comme petits facteurs premiers des entiers, ce qui rend intuitive l’idée qu’un petit nombre comme 37 puisse être la médiane
- La méthode de De Koninck et Tenenbaum calcule λ₂(p) en combinant des conditions de divisibilité par certains nombres premiers, à la manière du crible d’Ératosthène
- En additionnant λ₂(p) pour chaque nombre premier, la densité cumulée atteint environ 0.5002 à 37, très près de la valeur obtenue par calcul direct pour N=10⁷, soit 0.5002501
D’où vient ce nombre 37
- La préface de Those Fascinating Numbers contient l’affirmation selon laquelle 37 est la médiane du deuxième facteur premier d’un entier
- Autrement dit, la probabilité que le deuxième facteur premier d’un entier choisi au hasard soit inférieur à 37 est d’environ 1/2
- Au départ, 37 semble presque trop petit pour être crédible, mais cela devient plausible dès qu’on se rappelle que les petits nombres premiers apparaissent souvent comme petits facteurs premiers des entiers
- Par exemple, environ la moitié des entiers ont 2 comme plus petit facteur premier
- L’objectif est de vérifier ce fait expérimentalement, puis de calculer pourquoi 37 apparaît en s’appuyant sur l’article de De Koninck et Tenenbaum
Comment définir un « entier aléatoire »
- Il n’existe pas de distribution uniforme sur l’ensemble des entiers naturels, on fixe donc d’abord un grand entier N
- On choisit ensuite au hasard un entier entre 1 et N, puis on considère la limite des probabilités quand N → ∞
- Quand N est petit, on peut calculer directement le deuxième facteur premier de chaque entier pour vérifier la médiane
- Avec N=10⁷, on obtient une approximation de la probabilité cumulée égale à 0.5002501
- Sur SageCell en ligne, la factorisation à cette échelle peut être trop lente et provoquer un timeout, ce qui impose une exécution en local
λ₂(p) : densité pour laquelle p est le deuxième facteur premier
- L’article de De Koninck et Tenenbaum, Sur la loi de répartition du k-ième facteur premier d’un entier, note λ₂(p) la densité des entiers dont le deuxième facteur premier vaut p
- L’idée centrale du calcul consiste, un peu comme dans le crible d’Ératosthène, à compter les densités en combinant le fait d’être ou non divisible par certains nombres premiers
- Dans le cas où le deuxième facteur premier vaut 5, il n’y a que deux possibilités
2^a 3^0 5^b ...: des nombres multiples de 2 et de 5, mais non multiples de 32^0 3^a 5^b ...: des nombres multiples de 3 et de 5, mais non multiples de 2
- La densité du premier cas est
1/2 × 2/3 × 1/5 = 1/15 - La densité du second cas est
(1 - 1/2) × 1/3 × 1/5 = 1/30 - Ces deux ensembles étant disjoints, on peut les additionner, et la densité des entiers dont le deuxième facteur premier vaut 5 est donc 1/10
Formule générale pour un nombre premier p
- Pour que p soit le deuxième plus petit facteur premier, il faut qu’un nombre premier q inférieur à p soit présent, et que les autres nombres premiers r inférieurs à p, à l’exception de q, soient absents
- Cette condition s’écrit sous la forme suivante dans la décomposition en facteurs premiers
[ p^b q^a \prod_{q \neq r \lt p} r^0 ]
- En calculant la densité pour chaque q < p puis en faisant la somme, on obtient la formule suivante
[ \lambda_2(p) = \sum_{q \lt p} \frac{1}{p} \frac{1}{q} \prod_{q \neq r \lt p} \left ( 1 - \frac{1}{r} \right ) ]
- La même expression peut se réécrire ainsi
[ \lambda_2(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] \sum_{q \lt p} \frac{1}{q} \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} ]
Le calcul qui fait de 37 la médiane
- Le nombre premier (p^) recherché est celui pour lequel la somme des densités jusqu’à (p^) pour le deuxième facteur premier est d’environ 1/2
[ \lambda_2(2) + \lambda_2(3) + \lambda_2(5) + \ldots + \lambda_2(p^*) \approx \frac{1}{2} ]
- En implémentant λ₂(p) et en additionnant sur les nombres premiers, la densité cumulée atteint environ 1/2 pour 37
- La densité théorique effectivement calculée vaut environ 0.5002
- La valeur obtenue expérimentalement par factorisation directe pour N=10⁷, 0.5002501, en est elle aussi très proche
Extension au k-ième facteur premier
- La formule générale de la densité λₖ(p) pour laquelle le k-ième facteur premier vaut p est la suivante
[ \lambda_k(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] s_{k-1}(p) ]
- Ici, (s_j(p) = \sum \frac{1}{m}), où la somme porte sur les entiers m ayant exactement j facteurs premiers, tous strictement inférieurs à p
- L’asymptotique de la médiane (p_k^*) du k-ième facteur premier est donnée par
[ \log \log p_k^* = k - b + O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) ]
- où b vaut
[ b = \frac{1}{3} + \gamma - \sum_p \left( \log((1-1/p)^{-1}) - 1/p \right) ]
- (\gamma) est la constante d’Euler-Mascheroni
1 commentaires
Avis Hacker News
Cela ne veut pas dire qu’il y ait quelque chose de particulièrement intéressant dans 37 lui-même.
Le fait intéressant, au contraire, c’est qu’il existe ici une médiane finie. Une fois cela établi, comme la médiane est définie comme un élément de la liste, elle ne peut être qu’un nombre premier. Dans cette liste, il se trouve simplement que c’est 37 ; cela aurait pu être une autre valeur.
Pour que 37 devienne vraiment intéressant, il faudrait assouplir la définition de sorte que la médiane puisse aussi être une valeur hors de l’ensemble, et que la limite converge malgré tout vers 37. Là, ce serait assez surprenant.
Les valeurs inférieures à 37 ne représentent qu’environ 49,061 %, et celles supérieures à 37 qu’environ 49,975 %. À partir d’un certain point, pour les N pairs, il y a toujours deux 37 de part et d’autre du point des 50 %, si bien que la médiane est exactement 37, et pas une autre valeur. J’ai donné une explication plus longue dans un autre commentaire [0].
[0] https://news.ycombinator.com/item?id=38245162
L’existence de la médiane suggère que tous les autres percentiles pourraient aussi avoir une limite. Plus généralement, pour n’importe quel nombre, il se pourrait qu’il existe une proportion limite d’entiers dont le deuxième facteur premier est supérieur à ce nombre ; pour 37, cette proportion vaut simplement 0,5 par hasard.
J’ai apprécié que l’article réponde aussi clairement à la question qui m’est venue en premier : « Mais comment diable prouve-t-on ça ? »
Fait intéressant, 37 apparaît aussi dans le problème d’arrêt optimal / problème du secrétaire.
Par coïncidence, 37 est aussi le premier nombre premier irrégulier. C’est lié à la difficulté du dernier théorème de Fermat.
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime
Il est écrit que « les nombres dont le deuxième nombre premier est 2 valent 0,000000000000000 » ; le titre de l’article est-il correct même sans préciser sans répétition ?
En anglais, expliciter complètement la notation rend souvent le texte verbeux. Si l’on écrivait « deuxième nombre premier distinct », quelqu’un pourrait demander s’il ne faut pas aussi préciser « deuxième plus petit » ou « dans l’ordre croissant ». Dans les articles, ce type de terme est généralement défini formellement avec une notation mathématique plus exacte, mais pas totalement exhaustive.
Ce n’est pas pour pinailler : c’est parce qu’en mathématiques, le fait de laisser les humains inférer les parties « invisibles », plutôt que de devoir tout expliciter une par une, améliore beaucoup l’utilisabilité des assistants de preuve. Il y a une bonne présentation d’Andrej Bauer à ce sujet : https://www.youtube.com/watch?v=wZSvuCJBaFU
Je me demande s’il existe des théorèmes ou résultats intéressants, du côté des fonctions L ou des formes modulaires, qui englobent ce résultat.
J’apprends cela en ce moment et le sujet est fascinant.
Je l’ai découvert en regardant la vidéo https://www.peakmath.org/quest-for-f1, et http://lmfdb.org vaut aussi le détour.
Je trouve que ce fait rend 37 assez intéressant.
En tout cas, certainement plus intéressant que 31.
31 est aussi premier, donc il a un certain intérêt, mais il n’est pas aussi intéressant que 37, qui, comme je viens de l’apprendre, est la médiane du deuxième facteur premier des entiers.
Y a-t-il des candidats encore plus intéressants parmi les entiers ? Et existe-t-il un nombre que l’on pourrait qualifier d’entier le plus intéressant ?
Ce sont respectivement les versions big-endian et little-endian de la chaîne ASCII « the most interesting ».
Il est intéressant que le premier apparaisse si tard, alors que les nombres premiers irréguliers représentent environ 41 % de tous les nombres premiers. Référence : https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irregular_prime_number#:~:text=An%20odd%20prime%20number%20p,prime%20numbers%20are%20called%20regular
La question de savoir quel est le nombre premier le plus intéressant dépend de ce que l’on trouve le plus intéressant. Si vous aimez la médiane du deuxième facteur premier, 37 est le meilleur ; si vous aimez le premier nombre premier irrégulier, 37 est aussi le meilleur. Au fond, tout est une question de point de vue.
Une autre raison d’aimer 37 est qu’il se termine par 7, ce qui le fait paraître « aléatoire » quand on demande à quelqu’un de citer un nombre, et il est meilleur que 27 parce qu’il est premier. 7 est trop petit et 17 a une connotation de malchance. Cela dit, 37 est aussi un nombre assez effrayant. Rien que parce qu’il est premier, il est déjà assez irrégulier, et en plus c’est un nombre premier irrégulier.
C’est sans doute pour cela que nos systèmes de mesure du temps et la trigonométrie sont basés sur 60. 360 = 6*60, et 360 a 24 diviseurs.
Je suis surpris que la preuve soit aussi simple. 37 est devenu mon nouveau nombre premier préféré.
Je me demande quel est le taux de croissance de la moyenne du deuxième facteur premier. J’imagine qu’elle tend vers l’infini, mais peut-être assez lentement.
J’ai été obsédé par ce nombre toute ma vie. Chaque fois que je regarde une horloge, chaque fois que je vois la plaque de la voiture devant moi, j’ai l’impression de voir 37.
Il y a aussi des associations aléatoires comme Channel 37 : https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_37