La médiane du deuxième facteur premier d’un entier est 37

Un fait surprenant sur 37, un nombre mathématiquement fascinant

• Le mathématicien Chris Grossack a découvert un fait étonnant sur le nombre 37 dans son livre Those Fascinating Numbers.
• Le nombre 37 est la médiane du deuxième facteur premier d’un entier : la probabilité que le deuxième facteur premier d’un entier choisi au hasard soit inférieur à 37 est d’environ 1/2.
• Ce fait paraît d’abord difficile à croire, mais il devient plausible si l’on considère que, parmi les plus petits facteurs premiers des nombres, les petits nombres premiers apparaissent plus souvent.

Vérification à l’aide de code Sage

• Du code SageMath a été écrit pour tester si le deuxième facteur premier d’un entier choisi au hasard est inférieur à 37.
• La probabilité est calculée en fixant un grand nombre N, puis en choisissant un entier aléatoire entre 1 et N.
• Les résultats de l’exécution montrent que la médiane est bien 37 et que la proportion d’entiers dont le deuxième facteur premier est inférieur ou égal à 37 est d’environ 0,5015.

Preuve mathématique

• Dans un article de De Koninck et Tenenbaum, une méthode fondée sur une application du crible d’Ératosthène est présentée pour calculer la densité des entiers dont le deuxième facteur premier est un nombre premier donné p.
• Cela permet de démontrer que la densité des entiers dont le deuxième facteur premier est 37 est d’environ 0,5002.
• En allant plus loin, il est aussi possible, en utilisant les idées de ce billet de blog, de calculer la médiane du troisième facteur premier, ou d’obtenir un équivalent asymptotique décrivant l’évolution de la médiane du k-ième facteur premier en fonction de k.

L’avis de GN⁺

L’essentiel de ce texte est le fait surprenant que 37 soit la médiane du deuxième facteur premier d’un entier choisi au hasard, et la manière dont il montre la combinaison des méthodes mathématiques et de la programmation informatique pour le démontrer. Ce texte offre un exemple intéressant de l’interaction entre les mathématiques et l’informatique, et de la façon dont elles peuvent aider à comprendre et à vérifier des concepts mathématiques complexes. Pour un ingénieur logiciel débutant, il peut offrir une occasion d’apprendre et de trouver de l’inspiration à travers le processus consistant à implémenter et vérifier des faits mathématiques par le code.

[GN⁺]

Avis Hacker News

• L’intérêt autour du 37e nombre premier

  • Ce n’est pas tant que 37 soit un nombre premier particulièrement intéressant, mais plutôt que le simple fait qu’il existe une médiane dans la liste des nombres premiers est en soi intéressant.
  • Comme la médiane doit être un élément de la liste des nombres premiers, le fait qu’il s’agisse d’un certain nombre premier relève du hasard.
  • Si la médiane conver­geait encore vers 37 même si c’était une valeur extérieure à la liste, ce serait bien plus surprenant.

• Comparaison entre 37 et d’autres nombres premiers

  • 37 est plus intéressant que 31 en ce qu’il est la médiane du deuxième facteur premier de certains entiers.
  • Des suggestions d’entiers plus intéressants en comparaison avec d’autres nombres premiers, ou une discussion sur l’entier le plus intéressant.

• Faits amusants sur 37

  • Des commentaires indiquant que 37 est devenu leur nouveau nombre premier préféré.
  • Des commentaires mentionnant que cela pourrait servir d’idée pour une carte d’anniversaire.

• Réactions à l’article et à la preuve

  • Des remerciements pour le fait que l’article explique clairement comment fonctionne la démonstration.
  • Des commentaires exprimant leur surprise face à la simplicité de la preuve.

• Questions techniques liées à la prédiction des nombres premiers

  • Une question demandant si quelqu’un a déjà essayé d’utiliser un réseau Transformer pour prédire les nombres premiers.

• Interrogations sur le titre de l’article

  • Des doutes sur le fait que le titre de l’article soit exact sans mentionner explicitement « non répété ».

• Apparition de 37 dans d’autres problèmes mathématiques

  • Des commentaires mentionnant que 37 apparaît aussi dans le problème de l’arrêt optimal / problème de la secrétaire.

• Questions sur l’expression mathématique

  • Une question demandant si la base du logarithme utilisée dans l’expression représentant le k-ième nombre premier médian est le logarithme naturel.
  • Une suggestion d’utiliser ln pour éviter toute ambiguïté.

• Évaluation générale de l’article

  • Un commentaire le qualifiant comme l’un des meilleurs articles lus depuis longtemps.