- Si les mathématiques ont longtemps servi de langage à la physique, l’intuition physique agit désormais aussi comme une source capable d’ouvrir des problèmes difficiles et de nouvelles structures en mathématiques
- Moins contraints par l’exigence de démonstration rigoureuse que les mathématiciens, les physiciens peuvent découvrir en amont de nouveaux concepts et connexions que les mathématiciens vérifieront ensuite
- La théorie des cordes, à travers les variétés de Calabi-Yau, les surfaces K3 et la M-theory, fait émerger des relations inattendues entre la géométrie algébrique, la topologie différentielle, la théorie des groupes et la topologie
- Même des théories physiques abandonnées peuvent laisser une trace durable en mathématiques ; la vortex theory de Lord Kelvin a disparu, mais ses mathématiques ont contribué au développement de la théorie des nœuds et à la compréhension de molécules entremêlées comme l’ADN
- Dans de grands problèmes comme le Langlands program, la Riemann hypothesis ou la Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, plus la frontière entre physique et mathématiques s’abaisse, plus de nouvelles percées deviennent possibles
L’inversion d’un mouvement où les mathématiques aidaient la physique
- En 1915, dans la relativité générale, Albert Einstein voyait comme une « véritable victoire » des mathématiques le fait que des mathématiques pures élaborées plus d’un demi-siècle auparavant décrivent précisément la structure de l’espace-temps
- Les mathématiques ont été créées à l’origine pour mesurer, calculer et comprendre le monde physique ; en Mésopotamie, les Sumériens ont laissé des tablettes d’argile portant des tables de multiplication afin de compter biens et propriétés
- Par la suite, les mathématiques, qui étaient un outil au service des États et du commerce, se sont étendues à des domaines hautement abstraits et ont continué à soutenir les grandes percées de la physique
- Récemment, le mouvement s’est inversé : les lois et motifs de la physique font avancer des domaines des mathématiques longtemps restés bloqués
La façon dont les physiciens explorent le paysage mathématique
- Timothy Gowers estime que les physiciens, moins liés que les mathématiciens par la démonstration rigoureuse, peuvent explorer plus rapidement le paysage mathématique
- Si les mathématiciens mesurent en profondeur de petites zones, les physiciens parcourent rapidement de vastes territoires inexplorés et peuvent repérer les premiers des concepts ou relations puissants
- Les mathématiciens reviennent ensuite à ces découvertes pour tenter de les démontrer ou les réfuter
- Ce mouvement se répète depuis longtemps
- Archimède a laissé entendre que les lois de la mécanique avaient conduit à d’importantes découvertes mathématiques
- Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz ont développé le calcul infinitésimal en cherchant à comprendre le mouvement des corps en chute
La rupture du milieu du XXe siècle et le rôle de Michael Atiyah
- Au milieu du XXe siècle, le flux de nouvelles mathématiques issues de la physique s’est presque tari, et mathématiciens comme physiciens s’intéressaient peu au domaine de l’autre
- En mathématiques, le groupe Bourbaki cherchait à rendre les mathématiques aussi précises que possible et à reconstruire plusieurs domaines depuis leurs fondations
- En physique, des idées comme le Standard Model se sont développées, mais pour beaucoup de physiciens les mathématiques restaient un outil pratique, avec peu d’intérêt pour la vision rigoureuse des mathématiques à la Bourbaki
- À partir du milieu des années 1970, Michael Atiyah a vu la physique théorique comme la source la plus prometteuse de nouvelles idées et a encouragé les interactions entre les deux domaines
- Traiter des problèmes mathématiques posés par des physiciens
- Démontrer des résultats de mathématiques pures à l’aide d’idées physiques
- Transmettre aux physiciens des pans importants des mathématiques modernes qui leur étaient peu familiers
Les connexions mathématiques créées par la théorie des cordes
- Edward Witten a rencontré Atiyah en 1977, est devenu un collaborateur de long terme, puis l’un des pionniers de la théorie des cordes
- La théorie des cordes voit les constituants fondamentaux de l’univers non comme les particules du Standard Model, mais comme de minuscules cordes vibrantes unidimensionnelles
- En physique, elle n’est pas encore devenue une « théorie du tout », mais elle a eu un impact majeur sur des domaines abstraits des mathématiques comme la géométrie algébrique et la topologie différentielle
- Witten et d’autres théoriciens des cordes ont formulé des conjectures précises que les mathématiciens ont ensuite démontrées
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Variétés de Calabi-Yau et géométrie énumérative
- En 1991, Philip Candelas, Xenia de la Ossa et leurs collègues ont appliqué la théorie des cordes à un vieux problème de géométrie énumérative
- La géométrie énumérative est un domaine des mathématiques qui compte le nombre de solutions de problèmes géométriques
- Elle traite de questions comme : il existe une seule droite passant par deux points d’un plan, ou huit cercles tangents à trois cercles donnés
- Ils ont utilisé les outils de la théorie des cordes pour compter le nombre de certaines courbes dans les variétés de Calabi-Yau
- Le résultat a relié la géométrie symplectique et la géométrie complexe, deux domaines que les mathématiciens étudiaient séparément depuis des décennies
- Quand deux domaines considérés comme sans rapport se trouvent connectés, les outils de l’un peuvent servir à résoudre des problèmes de l’autre, ce qui est considéré en mathématiques comme un résultat profond
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M-theory et duality
- En 1995, Witten a proposé que les cinq théories des cordes nécessitant 10 dimensions soient différentes facettes d’un même concept à 11 dimensions, la M-theory
- La M-theory n’a pas encore été prouvée, mais le suivi des correspondances entre différentes théories a produit des découvertes mathématiques surprenantes
- Yang-Hui He estime que la théorie des cordes fournit aux mathématiciens de nouvelles structures d’une manière sans précédent
Les surfaces K3 et les structures mathématiques inattendues
- En étudiant les surfaces K3, les variétés de Calabi-Yau les plus simples, Yang-Hui He et Federico Carta ont découvert une nouvelle relation
- Cette relation existe entre les groupes d’homotopie, utilisés en topologie pour classifier les formes, et le groupe de symétrie Matthieu 24
- Un lien inattendu apparaît ainsi entre deux domaines distincts des mathématiques pures, la topologie et la théorie des groupes
- He considère que les motifs et structures que les mathématiciens peuvent étudier sont infinis, mais que ceux qui proviennent de la réalité sont des objets pour lesquels on peut avoir, à un certain niveau, une intuition
- Nigel Hitchin estime lui aussi que la recherche mathématique ne fonctionne pas dans le vide, et que les nouvelles idées doivent se condenser autour d’un certain sens de la réalité, ou du sens de la réalité de quelqu’un
Quand une « mauvaise » physique produit de bonnes mathématiques
- La physique peut fournir aux mathématiques une motivation plus forte et un point focal pour l’exploration
- Avec une intuition sur la façon dont le monde réel devrait fonctionner et un point d’arrivée plausible, les mathématiciens peuvent progresser plus vite sur un problème
- Dans ce cadre, même des théories physiques abandonnées peuvent produire de bonnes mathématiques
- William Thomson, alias Lord Kelvin, voyait dans sa vortex theory les atomes comme des anneaux tournants noués de manière complexe, chaque nœud correspondant à un élément chimique
- Cette théorie a été abandonnée après la découverte de l’électron, mais ses mathématiques ont contribué au développement de la théorie des nœuds
- La théorie des nœuds est devenue un riche domaine de recherche en mathématiques pures
- Elle a aussi des applications inattendues en mécanique des fluides et dans la compréhension de molécules entremêlées comme l’ADN
Cerveau humain, monde physique et beauté mathématique
- Atiyah reliait la relation entre physique et mathématiques à l’évolution du cerveau humain
- Les humains sont le produit d’une longue évolution, et un cerveau puissant favorisait la survie et la réussite dans le monde physique
- Cela mène à l’interprétation selon laquelle le cerveau humain a évolué pour résoudre des problèmes physiques, et a dû développer pour cela le bon type de mathématiques
- Une étude d’imagerie cérébrale de 2014 à laquelle Atiyah a participé a conclu que l’expérience de la beauté mathématique stimule les mêmes régions du cerveau que la belle musique, l’art ou la poésie
- Les mathématiques issues de l’étude de la réalité pourraient être le type de mathématiques que le cerveau humain préfère
Les lois physiques sont-elles aussi nécessaires que des théorèmes mathématiques ?
- Dans un article de 2023, Daniele Molinini répond à l’essai de 1960 d’Eugene Wigner, « The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences », en traitant de « The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics »
- Sa réponse est que certaines lois physiques pourraient être aussi irréfutables que des théorèmes mathématiques
- En général, les philosophes considèrent les vérités mathématiques comme des vérités nécessaires qui doivent être vraies dans tous les mondes possibles, et les faits empiriques sur la nature comme des vérités contingentes qui pourraient être différentes
- Molinini voit dans les principes de conservation des candidats au statut de lois physiques nécessaires
- En physique, certaines propriétés d’un système, comme l’énergie ou la quantité de mouvement, ne changent pas
- Un cycliste qui descend une colline transforme l’énergie potentielle gravitationnelle en énergie cinétique, mais l’énergie totale de la personne et du vélo reste la même
- Si la conservation est nécessaire, cela peut expliquer comment Archimède a pu déduire avec succès la vérité d’une démonstration géométrique à partir de considérations mécaniques
Les limites de l’idée selon laquelle l’univers est fait de mathématiques
- L’idée, formulée par Galilée au début du XVIIe siècle et soutenue par de nombreux mathématiciens, est que l’univers est écrit dans le langage des mathématiques
- Cette idée a des origines anciennes, remontant à Pythagore et à ses disciples
- La mathematical universe hypothesis de Max Tegmark est plus extrême
- L’univers n’est pas seulement décrit par les mathématiques, il est fait de mathématiques
- Notre univers est l’un d’une infinité d’univers parallèles, et toute possibilité mathématique se réalise quelque part
- Mark Colyvan estime qu’il existe un lien intime entre les sciences empiriques et les mathématiques, et qu’on peut en conclure que le monde lui-même est mathématique d’une certaine manière
- Cependant, les mathématiques de la physique connue ne représentent qu’une toute petite partie de l’ensemble des mathématiques ; ce point de vue seul explique donc difficilement pourquoi les mathématiques issues de la physique sont aussi exceptionnellement riches
Le sens inverse difficile à expliquer par le mapping
- Molinini conteste le mapping, une approche philosophique populaire pour expliquer l’applicabilité des mathématiques
- Le mapping consiste à faire correspondre des concepts physiques comme la masse ou la distance à des objets mathématiques comme les équations de la loi de la gravitation de Newton, puis à faire correspondre les résultats du calcul à des propriétés physiques
- Si l’on tente d’inverser ce processus pour expliquer comment les mathématiques émergent de la physique, le mapping fonctionne mal
- Les philosophes se sont jusqu’ici concentrés sur la raison pour laquelle les mathématiques peuvent s’appliquer aux sciences empiriques, mais la raison pour laquelle la physique est efficace en mathématiques devient désormais elle aussi une question importante
Physique et mathématiques appelées à se rapprocher
- Yang-Hui He estime que la physique moderne fournit aux mathématiciens de nombreux nouveaux outils et indices inattendus, et que les deux domaines doivent collaborer plus étroitement pour résoudre les grands problèmes des mathématiques pures
- Le Langlands program est l’un de ces domaines
- Imaginé par Robert Langlands dans les années 1960, il est appelé la « grand unified theory » des mathématiques
- L’une de ses branches, le geometric Langlands, aurait récemment été résolue par une démonstration en cinq articles totalisant 800 pages
- Une partie centrale de cette démonstration s’appuie sur des intuitions venues de la conformal field theory, l’un des fondements de la théorie des cordes
- Les mathématiciens tentent déjà de progresser sur la Riemann hypothesis et la Birch and Swinnerton-Dyer conjecture en s’appuyant sur la physique
- He pense que l’alliance entre les deux domaines pourrait être essentielle pour ouvrir ces immenses problèmes
- La physique et les mathématiques se rapprochent à nouveau, presque comme à l’époque de Newton et Gauss, et certains des outils mathématiques les plus exotiques et sophistiqués restent peut-être encore à inventer
1 commentaires
Commentaires sur Hacker News
Un physicien, rentrant chez lui le soir, voit un collègue mathématicien qui regarde par terre sous un réverbère et lui demande : « Il y a un problème ? » Le mathématicien répond : « J’ai fait tomber mes clés. » Le physicien, voulant l’aider, demande : « À peu près où ? » Le mathématicien pointe un endroit plus loin et dit : « Là-bas. » Le physicien demande alors : « Pourquoi tu ne cherches pas là-bas ? » Et le mathématicien répond : « Parce qu’ici, il y a plus de lumière. »
Pour être transparent, je suis mathématicien.
Le recruteur demande : « Cette fois, même situation, mais le marteau est par terre. Que faites-vous ? » Le mathématicien répond : « Je déplace le marteau du sol vers la table, ce qui ramène le problème à un problème déjà résolu. »
Une blague liée à cet article dirait que le mathématicien passe son temps à concevoir la topologie d’un manteau pour une personne à trois bras, tandis que le physicien trouve une telle personne.
Ma blague préférée : le jour où le fils d’un mathématicien va à l’école pour la première fois, l’enseignante demande : « Qui sait combien font 1+2 ? » L’enfant se lève et répond : « Je ne sais pas combien ça fait, mais je sais que, dans le monoïde des entiers naturels, l’addition satisfait la commutativité, donc c’est égal à 2+1. »
Pour être transparent, je suis développeur logiciel.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
Le physicien fait tomber ses clés. Le mathématicien : « Eurêka ! »
La phrase de Hitchin, « la recherche en mathématiques ne fonctionne pas dans le vide », me semble proche de l’idée centrale. La physique n’est pas la seule à engendrer des mathématiques intéressantes, et ce type de relation n’est pas récent non plus.
Les mathématiques sont, à mon humble avis, le langage spécifique à un domaine ultime. C’est un outil utilisé pour modéliser quelque chose, et il arrive souvent que ce modèle devienne ensuite intéressant en lui-même.
Quand on essaie de modéliser un nouvel objet, par exemple une nouvelle conception de la réalité, on obtient des modèles intéressants d’une manière nouvelle, ou bien on recontextualise des modèles existants ; cela rend nécessaires reconstruction, condensation et généralisation, et fait avancer le domaine.
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
Il est facile de croire que les mathématiques décrivent le terrain fondamental lui-même, mais en réalité elles opèrent sur des modèles que nous partageons à propos de ce terrain. Donc, quand nous considérons d’autres choses, les mathématiques suivent.
À l’université, un enseignant de physique avait dit en passant que la distinction entre physique et mathématiques était une idée du XXe siècle. Au XIXe siècle et avant, cette distinction n’existait pas, et au XXIe siècle, elle semble de nouveau disparaître.
Si cette distinction s’estompe aujourd’hui, c’est pour la raison inverse : les gens pensent que tout ce qui est conçu avec des mathématiques solides doit être vrai, et l’observation est reléguée au second plan.
Les mathématiques n’ont pas cette exigence et n’ont pas besoin de modéliser les phénomènes naturels. Cet enseignant de physique me semble être platonicien.
Les avancées fondamentales du calcul infinitésimal à la fin des années 1600 ont permis de rassembler ces sujets sous une même méthode d’étude et d’analyse, ce que nous appelons aujourd’hui la physique.
Comme une grande partie des mathématiques modernes descend aussi du calcul, la frontière entre ce qui est modélisé et les outils de modélisation est naturellement floue, mais tout au long de cette période, la distinction est restée assez forte. Par exemple, avec les probabilités ou l’algèbre, beaucoup de chercheurs poursuivaient à la fois la physique et les mathématiques, mais ils savaient que les deux sujets étaient distincts.
Cette distinction ne peut pas disparaître au XXIe siècle. Les mathématiques ne sont plus liées au monde physique. Elles consistent à produire des théorèmes, indépendamment du fait que les axiomes et théorèmes s’appliquent ou non au monde physique.
Les mathématiques utilisées en physique ne représentent qu’une toute petite partie de l’ensemble des mathématiques possibles.
— V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)
Essayez de créer un produit logiciel innovant sans dire un mot aux utilisateurs, et vous comprendrez pourquoi la physique est si bonne pour faire émerger de nouvelles mathématiques.
La physique est aussi excellente pour le machine learning, mais son approche peut être assez contre-intuitive. Par exemple, le passage de messages et la propagation de croyances pour modéliser des variables latentes dans des arbres et des graphes sont généralement enseignés avec l’analogie des probabilités marginales autour des fenêtres et du temps pluvieux, et les équations bayésiennes et statistiques sont décomposées en sous-composants via la règle de la chaîne de marginalisation
Les physiciens, eux, ont tendance à enseigner cela avec le modèle d’Ising et les spins magnétiques, ce qui est une analogie complètement différente
Les modèles génératifs de machine learning plus récents utilisent eux aussi beaucoup des approches fondées sur des équations différentielles ou sur la distribution de Boltzmann ; comme les modèles à espace d’états ou les modèles à énergie, leur formalisation statistique est presque entièrement empruntée à la physique statistique et à la mécanique statistique, puis branchée sur des réseaux de neurones et des systèmes de différenciation automatique
Le meilleur exemple est sans doute l’algorithme de Metropolis-Hastings, créé par des chercheurs du domaine nucléaire
https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...
https://arxiv.org/abs/1503.03585
L’un de mes professeurs de physique disait : « les mathématiques sont de la physique sans but »
Il avait été un physicien assez brillant, donc je suis peut-être biaisé
Je ne suis pas un génie de la physique ni des mathématiques, mais j’ai l’impression que leur relation ressemble plutôt à un cercle vertueux
Il me semble avoir lu que le XXe siècle avait été révolutionnaire grâce à l’union de la physique et des mathématiques. Les quaternions sont importants pour la relativité, et les mathématiques discrètes se retrouvent partout en mécanique quantique et dans le modèle standard. U(1) décrit l’électromagnétisme, SU(2) l’interaction faible, et SU(3) l’interaction nucléaire forte. En particulier, la masse des trois bosons médiateurs de l’interaction faible a directement conduit à la théorisation du mécanisme de Higgs, qui a finalement été confirmé expérimentalement
L’un des grands accomplissements du XXe siècle a été d’identifier, de manière démontrable, tous les groupes finis, et ces groupes continuent d’apparaître en physique
L’article dit que la théorie des cordes a conduit à de nouvelles mathématiques, et c’est vraiment fascinant. Je suis sceptique vis-à-vis de la théorie des cordes faute de preuves expérimentales des « dimensions enroulées », et elle me paraît un peu bricolée, mais il est aussi intéressant de voir que, si l’on suppose la théorie des cordes correcte, elle produit des résultats utiles à la fois en physique et en mathématiques
Sait-on si la physique produit mieux de nouvelles mathématiques que d’autres domaines ? Par exemple, l’informatique a elle aussi engendré beaucoup de nouvelles mathématiques, et la statistique a été entièrement poussée par les pressions externes de la médecine, des sciences sociales et du business
La finance et l’économie ont également créé beaucoup de mathématiques autour de la modélisation et des probabilités, et il existe bien d’autres exemples du même genre
L’arithmétique elle-même est le résultat d’une conservation physique. Si vous avez un tas de 4 glands et un tas de 3 glands, puis que vous les réunissez sans en faire tomber aucun, vous devez obtenir un tas de 7 glands
Grâce à notre compréhension physique profonde de l’espace et de la causalité, l’arithmétique simple devient intuitivement vraie pour la plupart, voire pour tous les vertébrés
Si un écureuil n’obtenait que 6 glands après les avoir réunis, il faudrait une explication causale à cette différence quantitative. Un autre écureuil a peut-être volé un gland dans l’ancien tas, ou bien il est tombé dans un trou
Il faut aussi : « le brassage de la bière est absurdement efficace pour produire de nouvelles statistiques »